1、4.7解三角形的综合应用解三角形的综合应用 最新考纲考情考向分析 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法 解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、 角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、 三角函数的性质结合考查，加强数学知识的 应用性题型主要为选择题和填空题，中档 难度. 实际测量中的常见问题 求 AB图形需要测量的元素解法 求 竖 直 高 度 底部 可达 ACB， BCa 解直角三角形 ABatan 底部不 可达 ACB， ADB， CDa 解两个直角三角形 AB atan tan tan tan 求 水 平 距 离 山两侧ACB， ACb， BCa
2、 用余弦定理 AB a2b22abcos 河两岸ACB， ABC， CBa 用正弦定理 AB asin sin 河对岸 ADC， BDC， BCD， ACD， CDa 在ADC 中，AC asin sin； 在BDC 中，BC asin sin； 在ABC 中，应用 余弦定理求 AB 知识拓展 实际问题中的常用术语 1仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角， 目标视线在水平视线上方叫仰角， 目标视线在水平视线下方叫俯角(如图) 2方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东 30，北偏西 45等 3方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为(如图
3、) 4坡度(又称坡比) 坡面的垂直高度与水平长度之比 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)从 A 处望 B 处的仰角为，从 B 处望 A 处的俯角为，则，的关系为180.() (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 0， 2 .() (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系() (4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是 0， 2 .() 题组二教材改编 2.P11 例 1如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB10
4、5后，就可以计算出 A，B 两点的距 离为_ m. 答案50 2 解析由正弦定理得 AB sinACB AC sin B， 又B30， ABACsinACB sin B 50 2 2 1 2 50 2(m) 3P13 例 3如图，在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 30，沿倾斜角为 15的斜坡向上走 a 米到 B，在 B 处测得山顶 P 的仰角为 60，则山高 h_米 答案 2 2 a 解析由题图可得PAQ30， BAQ15，PAB 中，PAB15， 又PBC60， BPA(90)(90)30， a sin 30 PB sin 15，PB 6 2 2 a， PQPCCQPBsin asin 6
5、 2 2 asin 60asin 15 2 2 a. 题组三易错自纠 4在某次测量中，在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角是 60，C 点的俯角是 70，则 BAC 等于() A10B50 C120D130 答案D 5.如图所示，D，C，B 三点在地面的同一条直线上，DCa，从 C，D 两点测得 A 点的仰角 分别为 60，30，则 A 点离地面的高度 AB_. 答案 3 2 a 解析由已知得DAC30，ADC 为等腰三角形，AD 3a，所以在 RtADB 中，AB 1 2AD 3 2 a. 6在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中 漂行，此时，
6、风向是北偏东 30，风速是 20 km/h；水的流向是正东，流速是 20 km/h，若不 考虑其他因素， 救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东_， 速度的大小为_ km/h. 答案6020 3 解析如图， AOB60， 由余弦定理知 OC2202202800cos 1201 200， 故 OC20 3， COy303060. 题型一题型一求距离、高度问题求距离、高度问题 1(2018吉林长春检测)江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平 面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部连线成 30角，则两条 船相距_m. 答案10 3 解析如图， OMAO
7、tan 4530(m)， ONAOtan 30 3 3 30 10 3(m)， 在MON 中，由余弦定理得， MN90030023010 3 3 2 30010 3 (m) 2.(2017郑州一中月考)如图所示，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为， 在塔底 C 处测得 A 处的俯角为.已知铁塔 BC 部分的高为 h，则山高 CD_. 答案 hcos sin sin 解析由已知得，BCA90，ABC90，BAC，CAD. 在ABC 中，由正弦定理得 AC sinABC BC sinBAC， 即 AC sin90 BC sin， AC BCcos sin hcos sin. 在 Rt
8、ACD 中，CDACsinCADACsin hcos sin sin . 故山高 CD 为hcos sin sin . 3(2018日照模拟)一船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏 东 60的方向上，行驶 4 h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15的方向上，这时船与 灯塔的距离为_ km. 答案30 2 解析如图，由题意知，BAC30，ACB105， B45，AC60，由正弦定理得 BC sin 30 AC sin 45， BC30 2(km) 思维升华 求距离、高度问题的注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形
9、，若其他量已知则直接解； 若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解 (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理 题型二题型二求角度问题求角度问题 典例 如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇 险， 在原地等待营救 信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、 相距 20 海里的 C 处的乙船， 现乙船朝北偏东的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos 的值为_ 答案 21 14 解析在ABC 中，AB40，AC20，BAC120， 由余弦定理得 BC2AB2AC22ABACcos 1202 800， 得 BC2
10、0 7. 由正弦定理，得 AB sinACB BC sinBAC， 即 sinACBAB BCsinBAC 21 7 . 由BAC120，知ACB 为锐角，则 cosACB2 7 7 . 由ACB30，得 cos cos(ACB30) cosACBcos 30sinACBsin 30 21 14 . 思维升华 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义； (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用 跟踪训练如图所示， 已知两座灯塔 A 和 B 与海
11、洋观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东40的方向上， 灯塔B在观察站C的南偏东60的方向上， 则灯塔A在灯塔B的_ 的方向上 答案北偏西 10 解析由已知ACB180406080， 又 ACBC，AABC50，605010， 灯塔 A 位于灯塔 B 的北偏西 10的方向上 题型三题型三三角形与三角函数的综合问题三角形与三角函数的综合问题 典例 (2018石家庄模拟)在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，(2ac)cos Bbcos C0. (1)求角 B 的大小； (2)设函数 f(x)2sin xcos xcos B 3 2 cos 2x， 求函数f(x
12、)的最大值及当 f(x)取得最大值时x 的值 解(1)因为(2ac)cos Bbcos C0， 所以 2acos Bccos Bbcos C0， 由正弦定理得 2sin Acos Bsin Ccos Bcos Csin B0， 即 2sin Acos Bsin(CB)0， 又 CBA，所以 sin(CB)sin A. 所以 sin A(2cos B1)0. 在ABC 中，sin A0， 所以 cos B1 2，又 B(0，)，所以 B 3. (2)因为 B 3， 所以 f(x)1 2sin 2x 3 2 cos 2xsin 2x 3 ， 令 2x 32k 2(kZ)，得 xk 5 12(kZ)
13、， 即当 xk5 12(kZ)时，f(x)取得最大值 1. 思维升华 三角形与三角函数的综合问题， 要借助三角函数性质的整体代换思想， 数形结合思 想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题 跟踪训练设 f(x)sin xcos xcos2 x 4 . (1)求 f(x)的单调区间； (2)在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 f A 2 0，a1，求ABC 面积的 最大值 解(1)由题意知 f(x)sin 2x 2 1cos 2x 2 2 sin 2x 2 1sin 2x 2 sin 2x1 2. 由 22k2x 22k，kZ, 可得 4kx 4k
14、，kZ； 由 22k2x 3 2 2k，kZ, 可得 4kx 3 4 k，kZ. 所以 f(x)的单调递增区间是 4k， 4k (kZ)； 单调递减区间是 4k， 3 4 k (kZ) (2)由 f A 2 sin A1 20，得 sin A 1 2， 由题意知 A 为锐角，所以 cos A 3 2 . 由余弦定理 a2b2c22bccos A， 可得 1 3bcb2c22bc， 即 bc2 3，当且仅当 bc 时等号成立 因此 1 2bcsin A 2 3 4 . 所以ABC 面积的最大值为2 3 4 . 函数思想在解三角形中的应用 典例 (12 分)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一
15、艘正在航行的轮船上在小艇出发时， 轮船位于港口 O 北偏西 30且与该港口相距 20 海里的 A 处， 并正以 30 海里/小时的航行速度 沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小 时与轮船相遇 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时， 试设计航行方案(即确定航行方向和航行 速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由 思想方法指导已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列 方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转
16、化为函数最值问题解决 规范解答 解(1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里，则1 分 S 900t2400230t20cos9030 900t2600t400900 t1 3 2300.3 分 故当 t1 3时，S min10 3，v 10 3 1 3 30 3. 即小艇以 303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小6 分 (2)设小艇与轮船在 B 处相遇 则 v2t2400900t222030tcos(9030)，8 分 故 v2900600 t 400 t2 .0v30， 900600 t 400 t2 900，即2 t2 3 t 0，解得 t2 3. 又当 t2 3时，v30，
17、 故当 v30 时，t 取得最小值，且最小值为2 3. 此时，在OAB 中，有 OAOBAB20.11 分 故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东 30，航行速度为 30 海里/小时12 分 1(2018武汉调研)已知 A，B 两地间的距离为 10 km，B，C 两地间的距离为 20 km，现测得 ABC120，则 A，C 两地间的距离为() A10 kmB10 3 km C10 5 kmD10 7 km 答案D 解析如图所示，由余弦定理可得，AC210040021020 cos 120700，AC10 7. 2(2018襄阳模拟)如图，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯
18、塔 A 在观察站南 偏西 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的() A北偏东 10B北偏西 10 C南偏东 80D南偏西 80 答案D 解析由条件及图可知，ACBA40， 又BCD60，所以CBD30， 所以DBA10， 因此灯塔 A 在灯塔 B 的南偏西 80. 3一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟后 到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B 处观察灯 塔，其方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是() A10 2 海里B10 3 海里 C20 3 海里
19、D20 2 海里 答案A 解析如图所示，易知， 在ABC 中，AB20，CAB30，ACB45， 根据正弦定理得 BC sin 30 AB sin 45， 解得 BC10 2. 4 (2018广州模拟)如图， 从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B， C 的俯角分别为 75， 30， 此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于() A240( 31)mB180( 21)m C120( 31)mD30( 31)m 答案C 解析如图，ACD30，ABD75，AD60 m， 在 RtACD 中， CD AD tanACD 60 tan 30 60 3(m)， 在 RtABD 中，BD AD
20、 tanABD 60 tan 75 60 2 3 60(2 3)m， BCCDBD60 360(2 3)120( 31)m. 5.如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB，CD 的高度分别为 20 m，50 m，BD 为水平面，则从建 筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为() A30B45 C60D75 答案B 解析依题意可得 AD20 10，AC30 5， 又 CD50，所以在ACD 中， 由余弦定理得 cosCADAC 2AD2CD2 2ACAD 30 5 220 102502 230 520 10 6 000 6 000 2 2 2 ， 又 0CAD180，所以CAD45，
21、所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45. 6(2018郑州质检)如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两 个测点 C 与 D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60，则塔高 AB 等于() A5 6B15 3 C5 2D15 6 答案D 解析在BCD 中，CBD1801530135. 由正弦定理得 BC sin 30 CD sin 135，所以 BC15 2. 在 RtABC 中，ABBCtanACB15 2 315 6. 故选 D. 7轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 C，两船航行方向的夹角为
22、120，两船的航行 速度分别为 25 n mile/h,15 n mile/h，则下午 2 时两船之间的距离是_n mile. 答案70 解析设两船之间的距离为 d，则 d250230225030cos 1204 900，d70，即 两船相距 70 n mile. 8(2018哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为 100 m，倾斜角为 75的斜坡改造成倾斜角 为 30的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长_m. 答案100 2 解析设坡底需加长 x m， 由正弦定理得 100 sin 30 x sin 45，解得 x100 2. 9(2018青岛模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距 10 海里
23、的两个灯塔恰好与它在一条 直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60，另一灯塔在船的南偏西 75，则 这艘船的速度是每小时_海里 答案10 解析如图所示，依题意有BAC60，BAD75， 所以CADCDA15，从而 CDCA10， 在 RtABC 中，得 AB5， 于是这艘船的速度是 5 0.510(海里/时) 10.如图，在山底 A 点处测得山顶仰角CAB45，沿倾斜角为 30的斜坡走 1 000 米至 S 点，又测得山顶仰角DSB75，则山高 BC 为_米 答案1 000 解析由题图知BAS453015， ABS45(90DSB)30， ASB135， 在ABS 中，由正弦定理
24、可得 1 000 sin 30 AB sin 135， AB1 000 2，BCAB 21 000. 11(2018泉州质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形 AOB，C 是该小区的一 个出入口， 且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟， 从 D 沿 DC 走到 C 用了 3 分钟若此人步行的速度为每分钟 50 米，则该扇形的半径为_米 答案50 7 解析如图，连接 OC，在OCD 中，OD100，CD150，CDO60.由余弦定理得 OC2 100215022100150cos 6017 500，解得 OC50 7. 12
25、.如图，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60方向的 B 处，且与岛屿 A 相距 12 海里，渔船乙以 10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行， 若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东的方 向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上 (1)求渔船甲的速度； (2)求 sin 的值 解(1)依题意知，BAC120，AB12，AC10220，BCA. 在ABC 中，由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcosBAC 12220221220cos 120784， 解得 BC28. 所以渔船甲的速度为BC 2 14(海里/小时) (2)在ABC 中，因为 AB12，BAC120，BC28，BCA，
26、由正弦定理，得 AB sin BC sin 120， 即 sin ABsin 120 BC 12 3 2 28 3 3 14 . 13.(2018德阳模拟)如图，在水平地面上有两座直立的相距 60 m 的铁塔 AA1和 BB1.已知从塔 AA1的底部看塔 BB1顶部的仰角是从塔 BB1的底部 看塔 AA1顶部的仰角的 2 倍， 从两塔底部连线中点 C 分别看两塔顶部的 仰角互为余角则从塔 BB1的底部看塔 AA1顶部的仰角的正切值为 _；塔 BB1的高为_ m. 答案 1 3 45 解析设从塔 BB1的底部看塔 AA1顶部的仰角为， 则 AA160tan ，BB160tan 2. 从两塔底部连
27、线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角， A1ACCBB1， AA1 30 30 BB1， AA1BB1900，3 600tan tan 2900， tan 1 3，tan 2 3 4， 则 BB160tan 245. 14. 如图， 据气象部门预报， 在距离某码头南偏东 45方向 600 km 处的热带风暴中心正以 20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心 450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热 带风暴影响的时间为_h. 答案15 解析记现在热带风暴中心的位置为点 A，t 小时后热带风暴中心到达 B 点位置，在OAB 中， OA600， AB20t， OAB45， 根据
28、余弦定理得 OB26002400t2260020t 2 2 ， 令 OB24502，即 4t2120 2t1 5750，解得30 215 2 t30 215 2 ，所以该码头将受到 热带风暴影响的时间为30 215 2 30 215 2 15. 15.如图所示，经过村庄 A 有两条夹角为 60的公路 AB，AC，根据规划要 在两条公路之间的区域内建一工厂 P，分别在两条公路边上建两个仓库 M，N(异于村庄 A)，要求 PMPNMN2(单位：千米)记AMN. (1)将 AN，AM 用含的关系式表示出来； (2)如何设计(即 AN，AM 为多长时)，使得工厂产生的噪声对居民的影响 最小(即工厂与村
29、庄的距离 AP 最大)? 解(1)AMN， 在AMN 中，由正弦定理，得 MN sin 60 AN sin AM sin120， 所以 AN4 3 3 sin ，AM4 3 3 sin(120) (2)AP2AM2MP22AMMPcosAMP 16 3 sin2(60)416 3 3 sin(60)cos(60) 8 31cos(2120) 8 3 3 sin(2120)4 8 3 3sin(2120)cos(2120) 20 3 20 3 16 3 sin(2150)，(0，120)(其中利用诱导公式可知 sin(120)sin(60)， 当且仅当 2150270，即60时，工厂产生的噪声对
30、居民的影响最小，此时 ANAM 2 千米 16已知ABC 的三内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，向量 m(cos B，cos C)，n(2a c，b)，且 mn. (1)求角 B 的大小； (2)若 b 3，求 ac 的取值范围 解(1)m(cos B，cos C)，n(2ac，b)，且 mn， (2ac)cos Bbcos C0， 由正弦定理，得 cos B(2sin Asin C)sin Bcos C0， 2cos Bsin Acos Bsin Csin Bcos C0， 即 2cos Bsin Asin(BC)sin A. A(0，)，sin A0，cos B1 2. 0B，B2 3 . (2)由余弦定理，得 b23a2c22accos 2 3 a2c2ac(ac)2ac(ac)2 ac 2 23 4(ac) 2， 当且仅当 ac 时取等号 (ac)24，故 ac2. ac 的取值范围是( 3，2
