1、2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值 最新考纲考情考向分析 1.理解函数的单调性、 最大值、 最小值 及其几何意义 2.会运用基本初等函数的图象分析函 数的性质. 以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、 单调区间及函数最值的确定与应用；强化对 函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨 论思想的考查，题型既有选择、填空题，又 有解答题. 1函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定义 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 任意两个自变量的值 x1，x2 当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数
2、 当 x1f(x2)，那么就 说函数 f(x)在区间 D 上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 yf(x)在这一区间具有(严格 的)单调性，区间 D 叫做 yf(x)的单调区间 2函数的最值 前提设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 条件 (1)对于任意的 xI， 都有 f(x)M； (2)存在 x0I，使得 f(x0)M (3)对于任意的 xI，都有 f(x)M； (4)存在 x0I，使得 f(x0)M 结论M 为最大值M 为最小值 知识拓展 函数单调性
3、的常用结论 (1)对x1，x2D(x1x2)，fx1fx2 x1x2 0f(x)在 D 上是增函数，fx1fx2 x1x2 0)的增区间为(， a和 a， )， 减区间为 a， 0)和(0， a (3)在区间 D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数 (4)函数 f(g(x)的单调性与函数 yf(u)和 ug(x)的单调性的关系是“同增异减” 题组一思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若定义在 R 上的函数 f(x)，有 f(1)f(3)，则函数 f(x)在 R 上为增函数() (2)函数 yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，
4、)() (3)函数 y1 x的单调递减区间是(，0)(0，)( ) (4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到() 题组二教材改编 2P39B 组 T1函数 f(x)x22x 的单调递增区间是_ 答案1，)(或(1，) 3P31 例 4函数 y 2 x1在2,3上的最大值是_ 答案2 4P44A 组 T9若函数 f(x)x22mx1 在2，)上是增函数，则实数 m 的取值范围是 _ 答案(，2 解析由题意知，2，)m，)，m2. 题组三易错自纠 5函数 y 2 1 2 log (4)x 的单调递减区间为_ 答案(2，) 6若函数 f(x)|2xa|的单调增区间是3，)，则 a 的值为_
5、 答案6 解析由图象(图略)易知函数 f(x)|2xa|的单调增区间是 a 2，令a 23，得 a6. 7函数 f(x) 1 x，x1， x22，x1 的最大值为_ 答案2 解析当 x1 时，函数 f(x)1 x为减函数，所以 f(x)在 x1 处取得最大值，为 f(1)1；当 x1 时，易知函数 f(x)x22 在 x0 处取得最大值，为 f(0)2.故函数 f(x)的最大值为 2. 题型一题型一确定函数的单调性确定函数的单调性(区间区间) 命题点 1给出具体解析式的函数的单调性 典例 (1)(2017全国)函数 f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是() A(，2)B(，1) C(1，
6、)D(4，) 答案D 解析由 x22x80，得 x4 或 x2. 设 tx22x8，则 yln t 为增函数 要求函数 f(x)的单调递增区间，即求函数 tx22x8 的单调递增区间 函数 tx22x8 的单调递增区间为(4，)， 函数 f(x)的单调递增区间为(4，) 故选 D. (2)函数 yx22|x|3 的单调递减区间是_ 答案1,0，1，) 解析由题意知，当 x0 时，yx22x3(x1)24；当 x0 时，yx22x3 (x1)24， 二次函数的图象如图 由图象可知，函数 yx22|x|3 的单调递减区间为1,0，1，) 命题点 2解析式含参数的函数的单调性 典例 判断并证明函数
7、f(x)ax21 x(其中 1a3)在1,2上的单调性 解函数 f(x)ax21 x(1a3)在1,2上单调递增 证明：设 1x1x22，则 f(x2)f(x1)ax221 x2ax 2 1 1 x1 (x2x1) ax1x2 1 x1x2， 由 1x1x22，得 x2x10,2x1x24， 1x1x24，1 1 x1x2 1 4. 又因为 1a3， 所以 2a(x1x2)12， 得 a(x1x2) 1 x1x20， 从而 f(x2)f(x1)0，即 f(x2)f(x1)， 故当 a(1,3)时，f(x)在1,2上单调递增 引申探究 如何用导数法求解本例？ 解因为 f(x)2ax1 x2 2a
8、x31 x2 ， 因为 1x2，1x38， 又 1a3， 所以 2ax310， 所以 f(x)0， 所以函数 f(x)ax21 x(其中 1a3)在1,2上是增函数 思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导 数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单 调区间不能用“”连接 跟踪训练 (1)(2017郑州模拟)函数 y 2 231 1 ( ) 3 xx 的单调递增区间为() A(1，)B. ，3 4 C. 1 2，D. 3 4， 答案B 解析易知函数 y 1 3 t为减函数，t2x23x1 的单调递减区间为
9、 ，3 4 . 函数 y 2 231 1 ( ) 3 xx 的单调递增区间是 ，3 4 . (2)函数 f(x)|x2|x 的单调递减区间是() A1,2B1,0 C(0,2D2，) 答案A 解析由题意得，f(x) x22x，x2， x22x，x2， 当 x2 时，2，)是函数 f(x)的单调递增区间； 当 xx11 时，f(x2)f(x1)(x2 x1)abBcbaCacbDbac 答案D 解析根据已知可得函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，且在(1，)上是减函数，因为 a f 1 2 f 5 2 ，且 25 2ac. 命题点 2解函数不等式 典例 若 f(x)是定义在(0，)上的单调
10、增函数，且满足 f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，则当 f(x) f(x8)2 时，x 的取值范围是() A(8，)B(8,9 C8,9D(0,8) 答案B 解析211f(3)f(3)f(9)， 由 f(x)f(x8)2，可得 fx(x8)f(9)， 因为 f(x)是定义在(0，)上的单调增函数， 所以有 x0， x80， xx89， 解得 80)在区间2,4上单调递减， 则实数 a 的值是_ 答案8 解析f(x)x|2xa| x2xa，xa 2， x2xa，xa 2 (a0)， 作出函数图象(图略)可得该函数的单调递减区间是 a 4， a 2 ，所以 a 42， a 24， 解得 a8
11、. (2)(2017珠海模拟)定义在 R 上的奇函数 yf(x)在(0，)上单调递增，且 f 1 2 0，则不等 式 f( 1 9 log x)0 的解集为_ 答案x|0 x 1 3或 1x3 解析由题意知，f 1 2 f 1 2 0， f(x)在(，0)上也单调递增 f( 1 9 log x)f 1 2 或 f( 1 9 log x)f 1 2 ， 1 9 log x1 2或 1 2 1 9 log x0， 解得 0 x1 3或 1x3. 原不等式的解集为 x|0 x 1 3或 1x3. 1下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是() Ay x1By(x1)2 Cy2 x Dylog0.5(
12、x1) 答案A 解析函数 y x1的增区间是(1，)，在(0，)上为增函数，故选 A. 2(2017河南中原名校第一次质检)函数 y 2 1 2 log (6)xx的单调递增区间为() A. 1 2，3B. 2，1 2 C. 1 2，D. ，1 2 答案A 解析由x2x60，得2x3，故函数的定义域为(2,3)，令 tx2x6，则 y 1 2 log t，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数 tx2x6 在(2,3)上的单调递减区间 利用二次函数的性质可得 tx2x6 在定义域(2,3)上的单调递减区间为 1 2，3，故选 A. 3已知函数 f(x) log2x，x1，
13、xc，x0 且 a10，即 a1. 5(2017天津)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数若 af log21 5 ，bf(log24.1)，cf(20.8)， 则 a，b，c 的大小关系为() AabcBbac CcbaDca0， 0，x0， 1，x1， 0，x1， x2，x1， 若 f(x)在(0，)上单调递增，则实数 a 的取值 范围为_ 答案(1,2 解析由题意，得 121 2a20，则 a2，又 ya xa (x1)是增函数，故 a1，所以 a 的 取值范围为 1a2. 11已知 f(x) x xa(xa) (1)若 a2，试证 f(x)在(，2)上单调递增； (2)若 a0 且
14、f(x)在(1，)上单调递减，求 a 的取值范围 (1)证明设 x1x22， 则 f(x1)f(x2) x1 x12 x2 x22 2x1x2 x12x22. 因为(x12)(x22)0，x1x20， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 所以 f(x)在(，2)上单调递增 (2)解设 1x1x2， 则 f(x1)f(x2) x1 x1a x2 x2a ax2x1 x1ax2a. 因为 a0，x2x10，所以要使 f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0 恒成立， 所以 a1.综上所述，0a1. 12函数 f(x)4x24axa22a2 在区间0,2上有最小值 3
15、，求 a 的值 解f(x)4 xa 2 22a2， 当a 20，即 a0 时，函数 f(x)在0,2上是增函数 f(x)minf(0)a22a2. 由 a22a23，得 a1 2. a0，a1 2. 当 0a 22，即 0a4 时， f(x)minf a 2 2a2. 由2a23，得 a1 2(0,4)，舍去 当a 22，即 a4 时，函数 f(x)在0,2上是减函数， f(x)minf(2)a210a18. 由 a210a183，得 a5 10. a4，a5 10. 综上所述，a1 2或 a5 10. 13已知函数 f(x)x22axa 在区间(，1)上有最小值，则函数 g(x)fx x 在
16、区间(1，) 上一定() A有最小值B有最大值 C是减函数D是增函数 答案D 解析由题意知 a0， 不等式 f(xa)f(2ax)在a，a1上恒成立，则实数 a 的取值范围是_ 答案(，2) 解析二次函数 y1x24x3 的对称轴是 x2， 该函数在(，0上单调递减， x24x33，同样可知函数 y2x22x3 在(0，)上单调递减， x22x3f(2ax)得到 xa2ax， 即 2xa，2xa 在a，a1上恒成立， 2(a1)a，a2， 实数 a 的取值范围是(，2) 15函数 f(x)的定义域为 D，若对于任意 x1，x2D，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，则称函数 f(x)在
17、 D 上为非减函数，设函数 f(x)在0,1上为非减函数，且满足以下三个条件： f(0)0；f x 3 1 2f(x)；f(1x)1f(x)则 f 1 3 f 1 8 _. 答案 3 4 解析由，令 x0，可得 f(1)1.由，令 x1，可得 f 1 3 1 2f(1) 1 2. 令 x1 3，可得 f 1 9 1 2f 1 3 1 4. 由结合 f 1 3 1 2，可知 f 2 3 1 2， 令 x2 3，可得 f 2 9 1 2f 2 3 1 4， 因为1 9 1 80，试确定 a 的取值范围 解(1)由 xa x20，得 x22xa x 0， 当 a1 时，x22xa0 恒成立， 定义域
18、为(0，)； 当 a1 时，定义域为x|x0 且 x1； 当 0a1 时，定义域为x|0 x1 1a (2)设 g(x)xa x2， 当 a(1,4)，x2，)时， g(x)1a x2 x2a x2 0 恒成立， 所以 g(x)xa x2 在2，)上是增函数 所以 f(x)lg xa x2在2，)上是增函数 所以 f(x)lg xa x2在2，)上的最小值为 f(2)lga 2. (3)对任意 x2，)恒有 f(x)0，即 xa x21 对 x2，)恒成立 所以 a3xx2， 令 h(x)3xx2， 而 h(x)3xx2 x3 2 29 4在2，)上是减函数， 所以 h(x)maxh(2)2， 所以 a2.
