1、第第 1 讲讲合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 一、选择题 1.(2016西安八校联考)观察一列算式：11，12，21，13，22，31，14， 23，32，41，则式子 35 是第() A.22 项B.23 项C.24 项D.25 项 解析两数和为 2 的有 1 个，和为 3 的有 2 个，和为 4 的有 3 个，和为 5 的有 4 个，和为 6 的有 5 个，和为 7 的有 6 个，前面共有 21 个，35 为和为 8 的第 3 项，所以为第 24 项，故选 C. 答案C 2.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小 数”是假命题，推理错误的原因是() A.使
2、用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论” ，但推理形式错误 D.使用了“三段论”，但小前提错误 解析由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误. 答案C 3.观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理得：若定义在 R 上的 函数 f(x)满足 f(x)f(x)，记 g(x)为 f(x)的导函数，则 g(x)() A.f(x)B.f(x)C.g(x)D.g(x) 解析由已知得偶函数的导函数为奇函数，故 g(x)g(x). 答案D 4.观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511， 则 a10b10等于() A.2
3、8B.76C.123D.199 解析观察规律，归纳推理. 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的 右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则 a10b10123. 答案C 5.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： “mnnm”类比得到“abba”； “(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”； “(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”； “t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”； “|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”； “ac bc a b”类比得到“ ac bc a b”. 以上式子中，类比得
4、到的结论正确的个数是() A.1B.2C.3D.4 解析正确；错误. 答案B 6.(2017宜昌一中月考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试， 考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好”； 乙说：“我们四人中有人考的好”； 丙说：“乙和丁至少有一人没考好”； 丁说：“我没考好”. 结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是() A.甲，丙B.乙，丁C.丙，丁D.乙，丙 解析甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确， 则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确.故答案为 D. 答案D 7.平面内有 n
5、条直线，最多可将平面分成 f(n)个区域，则 f(n)的表达式为() A.n1B.2n C.n 2n2 2 D.n2n1 解析1 条直线将平面分成 11 个区域； 2 条直线最多可将平面分成 1(12) 4 个区域；3 条直线最多可将平面分成 1(123)7 个区域；n 条 直线最多可将平面分成 1(123n)1n（n1） 2 n 2n2 2 个区 域，选 C. 答案C 8.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是 1 个点(算第 1 层)，第 2 层每边有 2 个点，第 3 层每边有 3 个点，依此类推，如果一个 六边形点阵共有 169 个点，那么它的层数为() A.6B.7 C.8D.9 解析
6、由题意知， 第 1 层的点数为 1， 第 2 层的点数为 6， 第 3 层的点数为 26， 第 4 层的点数为 36，第 5 层的点数为 46，第 n(n2，nN*)层的点 数为6(n1).设一个点阵有n(n2， nN*)层， 则共有的点数为1662 6(n1)166（n1） 2 (n1)3n23n1，由题意得 3n23n1 169，即(n7)(n8)0，所以 n8，故共有 8 层. 答案C 二、填空题 9.仔细观察下面和的排列规律： 若依此规律继续下去， 得到一系列的和 ，那么在前 120 个和中，的个数是_. 解析进行分组 |， 则前 n 组两种圈的总数是 f(n)234(n1)n（n3）
7、 2 ，易知 f(14) 119，f(15)135，故 n14. 答案14 10.观察下列等式： 1312， 132332， 13233362， 13233343102， ， 根据上述规律，第 n 个等式为_. 解析观察所给等式左右两边的构成易得第 n 个等式为 1323n3 n（n1） 2 2 n 2（n1）2 4 . 答案1323n3n 2（n1）2 4 11.(2017重庆模拟)在等差数列an中，若公差为 d，且 a1d，那么有 aman am n， 类 比 上 述 性 质 ， 写 出 在 等 比 数 列 an 中 类 似 的 性 质 ： _. 解析等差数列中两项之和类比等比数列中两项之
8、积，故在等比数列中，类似 的性质是“在等比数列an中，若公比为 q，且 a1q，则 amanamn.” 答案在等比数列an中，若公比为 q，且 a1q，则 amanamn 12.已知点 A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数 yax(a1)的图象上任意不同两点，依 据图象可知，线段 AB 总是位于 A，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论 ax1ax2 2 a x1x2 2 成立.运用类比思想方法可知，若点 A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数 ysin x(x(0，)的图象上任意不同两点，则类似地有_ 成立. 解析对于函数 yax(a1)的图象上任意不同两点 A，
9、 B，依据图象可知，线段 AB 总是位于 A，B 两点之间函数图象的上方，因此有 结论ax1ax2 2 a x1x2 2 成立；对于函数 ysin x(x(0，)的图象上任意不同 的两点 A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)，线段 AB 总是位于 A，B 两点之间函数图象 的下方， 类比可知应有sin x1sin x2 2 sin x1x2 2 成立. 答案 sin x1sin x2 2 sin x1x2 2 13.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数. 比如： 他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其 称为三角形数；类似地，称图 2
10、中的 1，4，9，16，这样的数为正方形数. 下列数中既是三角形数又是正方形数的是() A.289B.1 024C.1 225D.1 378 解析观察三角形数：1，3，6，10，记该数列为an，则 a11，a2a1 2，a3a23， anan1n. a1a2an(a1a2an1)(123n)an123 nn（n1） 2 ， 观察正方形数：1，4，9，16，记该数列为bn，则 bnn2.把四个选项的 数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得 n 都为正整数的只有 1 225. 答案C 14.(2017青岛模拟)若数列an的通项公式为 an 1 （n1）2(nN *)，记 f(n)(1 a1)(1
11、a2)(1an)， 试通过计算 f(1)， f(2)， f(3)的值， 推测出 f(n)_. 解析f(1)1a111 4 3 4，f(2)(1a 1)(1a2)3 4 11 9 2 3 4 6，f(3)(1 a1)(1a2)(1a3)2 3 1 1 16 5 8，推测 f(n) n2 2n2. 答案 n2 2n2 15.若 P0(x0，y0)在椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)外，过 P 0作椭圆的两条切线的切点为 P1，P2，则切点弦 P1P2所在的直线方程是x0 x a2 y0y b2 1，那么对于双曲线则有 如下命题：若 P0(x0，y0)在双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，
12、b0)外，过 P 0作双曲线的两 条切线，切点为 P1，P2，则切点弦 P1P2所在直线的方程是_. 解析设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则 P1，P2的切线方程分别是x1x a2 y1y b2 1，x2x a2 y2y b2 1. 因为 P0(x0，y0)在这两条切线上， 故有x1x0 a2 y1y0 b2 1，x2x0 a2 y2y0 b2 1， 这说明 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线x0 x a2 y0y b2 1 上， 故切点弦 P1P2所在的直线方程是x0 x a2 y0y b2 1. 答案 x0 x a2 y0y b2 1 16.(2017郑州模拟)如图所示，一回形图，其回形通道的宽 和 OB1的长均为 1，且各回形线之间或相互平行、或相互 垂直.设回形线与射线 OA 交于 A1，A2，A3，从点 O 到 点 A1的回形线为第 1 圈(长为 7)， 从点 A1到点 A2的回形线 为第 2 圈，从点 A2到点 A3的回形线为第 3 圈，依此类推，第 8 圈的长为 _. 解析第 1 圈的长为 2(12)17，第 2 圈的长为 2(34)115， 第 3 圈的长为 2(56)123，则第 n 圈的长为 2(2n1)2n18n1， 当 n8 时，第 8 圈的长度为 88163. 答案63
