1、第三章三角函数、解三角形 第一节第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数任意角、弧度制及任意角的三角函数 内容要求考题举例考向规律 1.了解任意角的概念 2了解弧度制概念，能 进行弧度与角度的互化 3 理解任意角的三角函 数(正弦、余弦、正切) 的定义 2020全国卷T2(三角 函数的符号) 2020北京高考T10(圆周 率的近似值) 2016四川高考T3(诱导 公式) 考情分析：本部分内容高考较 少直接考查，而是与三角函数 的恒等变换、三角函数的图象 与性质结合考查，低档难度 核心素养：数学建模、直观想 象 教材回扣基础自测 自主学习知识积淀 1角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条
2、射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 2分类 按旋转方向不同分为正角、负角、零角。 按终边位置不同分为象限角和轴线角。 (3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 S|2k，kZ。 2弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，弧度记作 rad。 (2)公式： 角的弧度数 公式 |l r(l 表示弧长) 角度与弧度的 换算 1 180 rad；1 rad 180 弧长公式l|r 扇形面积公式S1 2lr 1 2|r 2 有关角度与弧度的两个注意点 1角度与弧度的换算的关键是180，在同一个式子中，采用的度量制度必须
3、一致，不可混用。 2利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度。 3任意角的三角函数 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 sin y，cos x，tan y x(x0)。 三角函数定义的推广 设点 P(x，y)是角终边上的任意一点且不与原点重合，r|OP|，则 sin y r，cos x r，tan y x(x0)。 一、常规题 1角870的终边所在的象限是() A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 解析因为8701 080210，所以角870的终边在第三象限。故选 C。 答案C 2已知角的终边过点 P(1,2)，则 sin () A. 5 5 B2
4、 5 5 C 5 5 D2 5 5 解析因为|OP| 1222 5(O 为坐标原点)，所以 sin 2 5 2 5 5 。故选 B。 答案B 3若角同时满足 sin 0 且 tan 0，则角的终边一定位于() A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 解析由sin 0， 可知的终边可能位于第三象限或第四象限， 也可能与y轴的非正半轴重合。 由tan 0， 可知的终边可能位于第二象限或第四象限，故的终边只能位于第四象限。故选 D。 答案D 二、易错题 4(忽视角的范围)在ABC 中，若 sin A 2 2 ，则 A_。 解析因为 0A且 sin A 2 2 ，所以 A 4或 3 4 。 答案
5、4或 3 4 5(不同象限三角函数值的符号不同)当为第三象限角时，|sin | sin cos |cos | tan |tan |的值是_。 解析因为为第三象限角，所以 sin 0，cos 0，所以|sin | sin cos |cos | tan |tan |1(1) 11。 答案1 6(公式中角的单位不是度而是弧度)单位圆中，200的圆心角所对的弧长为_，由该弧及半径 围成的扇形的面积为_。 解析单位圆的半径 r1,200的弧度数是 200 180 10 9 ，由弧度数的定义得10 9 l r，所以 l 10 9 ，S 扇形1 2lr 1 2 10 9 15 9 。 答案 10 9 5 9
6、 考点例析对点微练 互动课堂考向探究 考点一角的概念及表示自主练习 1.(多选)下列给出的角中，与11 3 终边相同的角有() A. 3 B13 3 C2 3 D29 3 解析与11 3 终边相同的角为11 3 2k 32(k2)，kZ，由 32(k2) 3，得 k2，A 正确； 由 32(k2) 13 3 ，得 k4，B 正确；由 32(k2) 2 3 ，得 k3 2Z，C 错误；由 32(k2) 29 3 ， 得 k3，D 正确。故选 ABD。 答案ABD 2若角是第二象限角，则 2是( ) A第一象限角B第二象限角 C第一或第三象限角D第二或第四象限角 解析因为是第二象限角，所以 22k
7、2k，kZ，所以 4k 2 2k，kZ。当 k 为偶数时， 2是第一象限角；当 k 为奇数时， 2是第三象限角。综上， 2是第一或第三象限角。 答案C 3若角的顶点为坐标原点，始边在 x 轴的非负半轴上，终边在直线 y 3x 上，则角的取值集合是 () A |2k 3，kZ B |2k 2 3 ，kZ C |k 2 3 ，kZ D |k 3，kZ 解析因为直线 y 3x 的倾斜角是 2 3 ，所以终边落在直线 y 3x 上的角的取值集合为 |k 3，kZ。 答案D 4与2 010终边相同的最小正角是_。 解析因为2 010(6)360150， 所以 150与2 010终边相同， 又终边相同的两
8、个角相差 360 的整数倍，所以在 0360中只有 150与2 010终边相同，故与2 010终边相同的最小正角是 150。 答案150 1表示区间角的三个步骤 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界。 (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间。 (3)起始、终止边界对应角，再加上 360的整数倍，即得区间角集合。 2象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角。 (2)转化法：先将已知角化为 k360(0cos B是第三象限角 Csin 0Dtan 0 解析因为 1 rad57.
9、3，所以3 rad171.9为第二象限角，所以 sin 0，cos 0，tan 0Bcos 20Dsin 20 解析解法一：由题意，知 22k2k(kZ)，所以4k24k(kZ)，所以1cos 21， sin 20 时，cos 5 5 ；当 t0 时，cos 5 5 。因此 cos 22cos212 51 3 5。故选 B。 答案B 3(微考向 2)已知点 P(cos ，tan )在第三象限，则角的终边在() A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 解析由题意得 cos 0， tan 0 cos 0， 所以角的终边在第二象限。 答案B 4(微考向 3)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(
10、x0，y0)在单位圆 O 上，设xOP，且 4， 3 4 。若 cos 4 12 13，则 x 0的值为_。 解析因为点P(x0， y0)在单位圆O上， 且xOP， 所以由三角函数的定义知x0cos 。 因为 4， 3 4 ， 所以 4 2，又 cos 4 12 13，所以 sin 4 5 13，所以 x 0cos cos 4 4 cos 4 cos 4 sin 4 sin 4 7 2 26 。 答案7 2 26 教师备用题 【 例 1 】( 配 合 考 点 一 使 用 ) 设 集 合 M x|x k 218045，kZ， N x|x k 418045，kZ，那么两集合的关系是什么？ 解因为
11、Mx|x(2k1)45，kZ表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合 N x|x(k1)45，kZ表示终边落在坐标轴或四个象限的平分线上的角的集合，从而 MN。 【例 2】(配合例 1 使用)已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2，那么这个圆心角所对的弧长是() A2Bsin 2 C. 2 sin 1 D2sin 1 解析如图，AOB2 弧度，过 O 点作 OCAB 于 C，并延长 OC 交AB 于 D。则AODBOD1 弧度，且 AC1 2AB1，在 RtAOC 中，AO AC sinAOC 1 sin 1，即 r 1 sin 1，从而AB 的长 lr 2 sin 1。 答案C
12、【例 3】(配合例 3 使用)设是第三象限角，且|cos 2|cos 2，则 2是( ) A第一象限角B第二象限角 C第三象限角D第四象限角 解析由是第三象限角知， 2为第二或第四象限角， 因为| cos 2|cos 2， 所以 cos 20， 综上可知， 2为第二象限角。 答案B 【例 4】(配合例 4 使用)已知锐角的终边经过点 P(sin 40，1cos 40)，则() A10B20 C70D80 解析设坐标原点为 O，由题意可知直线 OP 的斜率 tan 1cos 40 sin 40 12cos 2201 2sin 20cos 20 cos 20 sin 20 sin 70 cos 7
13、0tan 70，由为锐角，可知为 70。故选 C。 答案C 第二节第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式同角三角函数的基本关系与诱导公式 内容要求考题举例考向规律 1.理解同角三角函数的基 本关系式：sin2cos2 1，sin cos tan 2 能利用单位圆中的三角 函数线推导出 2，的 正弦、余弦、正切的诱导 公式 2019全国卷T10(同角 三角函数的关系、二倍 角公式) 2017北京高考T12(诱导 公式、两角和差公式) 2016全国卷T9(同角 三角函数的关系、二倍 角公式) 考情分析：考查利用同角三 角函数的基本关系、诱导公 式解决条件求值问题，常与 三角恒等变换相结合，可起 到
14、化简三角函数关系的作 用，强调利用三角公式进行 恒等变形的技能以及基本的 运算能力 核心素养：数学运算 教材回扣基础自测 自主学习知识积淀 1同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2cos21。 (2)商数关系：sin cos tan 。 2三角函数的诱导公式 公式一：sin (2k)sin ，cos(2k)cos ，tan(2k)tan ，其中 kZ。 公式二：sin()sin ，cos()cos ，tan()tan 。 公式三：sin()sin ，cos()cos ，tan()tan 。 公式四：sin()sin ，cos()cos ，tan()tan 。 公式五：sin 2cos
15、 ，cos 2sin 。 公式六：sin 2cos ，cos 2sin 。 1同角三角函数关系式的常用变形 (sin cos )212sin cos ； sin tan cos 。 2诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指 2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。 一、常规题 1已知 sin 5 5 2，则 tan () A2B2 C.1 2 D1 2 解析因为 2，所以 cos 1sin 2 1 5 5 22 5 5 ，所以 tan sin cos 1 2。故选 D。 答案D 2求值：sin(1 200)cos 585cos(300)sin(750)_。 解析
16、原式sin(3360120)cos(2360135)cos(36060)sin(236030)sin 120cos(135)cos(60)sin 30sin(9030)cos(18045)cos 60sin 30cos 30(cos 45) cos 60sin 30 3 2 2 2 1 2 1 2 61 4 。 答案 61 4 3化简： sin2coscos2 tansin3 2sin2 _。 解析原式sin 2cos cos tan cos3sin sin2cos2 sin2cos21。 答案1 二、易错题 4(不会运用消元思想)已知 tan 2，则sin cos sin sin2的值为()
17、 A.19 5 B.16 5 C.23 10 D.17 10 解析原式sin cos sin sin2sin cos sin sin2 sin2cos2 tan 1 tan tan2 tan21，将 tan 2 代入上 式，则原式23 10。 答案C 5(未注意角的范围出错)若 sin 5 13，则 tan _。 解析因为 sin 5 130， 所以为第三象限角或第四象限角， 当为第三象限角时， cos 1sin 2 12 13，因此 tan sin cos 5 12。当为第四象限角时，cos 1sin 212 13，因此 tan sin cos 5 12。 答案 5 12或 5 12 考点例
18、析对点微练 互动课堂考向探究 考点一同角三角函数基本关系的简单应用自主练习 1.已知是第四象限角，sin 12 13，则 tan 等于( ) A 5 13 B 5 13 C12 5 D12 5 解析因为是第四象限角，sin 12 13，所以 cos 1sin 25 13，故 tan sin cos 12 5 。故选 C。 答案C 2若角的终边落在第三象限，则 cos 1sin2 2sin 1cos2的值为( ) A3B3 C1D1 解析由角的终边落在第三象限，得 sin 0，cos 0，cos 0。又 sin 2cos21，所以 sin 4 5， cos 3 5。因此，sin 3 2 cos
19、2cos sin 7 5。 答案C (2)(多选)已知角 A，B，C 是锐角三角形 ABC 的三个内角，下列结论一定成立的是() Asin(BC)sin ABsin AB 2cosC 2 Csin Bcos ADcos(AB)1 2cos A，错误；对于 D，cos(AB)cos(C)cos C， 由 C 为锐角，可得 cos C0，可得 cos(AB)cos Ccos C，正确。故选 ABD。 答案ABD 考点三同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用微专题 微考向 1：弦切互化 【例 2】(1)已知sin 3cos 3cos sin 5，则 cos 21 2sin 2的值是( ) A.3
20、5 B3 5 C3D3 解析由 sin 3cos 3cos sin 5 得 tan 3 3tan 5，可得 tan 2，则 cos21 2 sin 2cos2sin cos cos2sin cos cos2sin2 1tan 1tan2 3 5。故选 A。 答案A (2)已知为第四象限角，sin 3cos 1，则 tan _。 解析由(sin 3cos )21sin2cos2，得 6sin cos 8cos2，又因为为第四象限角，所以 cos 0，所以 6sin 8cos ，所以 tan 4 3。 答案4 3 本类型主要利用公式 tan xsin x cos x进行切化弦或弦化切，如 asin
21、 xbcos x csin xdcos x，asin 2xbsin xcos xccos2x 等 类型可进行弦化切。 微考向 2：sin cos 与 sin cos 的关系 【例 3】已知 x(，0)，sin xcos x1 5。 (1)求 sin xcos x 的值； (2)求sin 2x2sin 2x 1tan x 的值。 解(1)由 sin xcos x1 5， 平方得 sin2x2sin xcos xcos2x 1 25， 整理得 2sin xcos x24 25。 所以(sin xcos x)212sin xcos x49 25。 由 x(，0)，知 sin x0， 所以 cos x
22、0，则 sin xcos x0， 故 sin xcos x7 5。 (2)sin 2x2sin 2x 1tan x 2sin xcos xsin x 1sin x cos x 2sin xcos xcos xsin x cos xsin x 24 25 1 5 7 5 24 175。 对于 sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，知一可求二，若令 sin cos t，则 sin cos t 21 2 ，sin cos 2t2(注意根据的取值范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用。 【题组对点练】 1(微考向 1)已知 sin(5)3sin 3 2 ，则 2 2 cos
23、 sin sin 2cos () A.2 2 5 B 2 5 C2 2D 2 解析由 sin(5)3sin 3 2 ，可得 sin 3cos ，所以 tan 3，则 2 2 cos sin sin 2cos 2 2 1tan tan 2 2 2 4 1 2 2。故选 C。 答案C 2(微考向 1)若 sin x3sin x 2 ，则 cos xcos x 2 () A. 3 10 B 3 10 C.3 4 D3 4 解析由 sin x3sin x 2 3cos x，可得 tan x3，所以 cos xcos x 2 sin xcos xsin xcos x sin2xcos2x tan x t
24、an2x1 3 10。故选 A。 答案A 3(微考向 2)已知 20，sin cos 1 5，则 1 cos2sin2的值为( ) A.7 5 B25 7 C. 7 25 D24 25 解析因为 20，sin 0，因为(sin cos ) 2(cos sin )2 2，所以(cos sin )22(sin cos )22 1 25 49 25，cos sin 7 5，cos 2sin21 5 7 5 7 25，所以 1 cos2sin2的值为 25 7 。 答案B 教师备用题 【例 1】(配合考点一使用)(1)若 sin 78m，则 sin 6() A. m1 2 B 1m 2 C. m1 2
25、 D 1m 2 解析因为 sin 78m，所以 cos 12m，则 sin261cos 12 2 1m 2 ，又 sin 60，所以 sin 6 1m 2 。故选 D。 答案D (2)化简 cos 1sin 1sin sin 1cos 1cos 3 2 _。 解析原式cos 1sin 2 cos2 sin 1cos 2 sin2 cos 1sin |cos | sin 1cos |sin | ，因为3 2 ， 所以 cos 0，sin 0，所以为第一或第二象限角，tan() sin 5 2 cos 5 2 tan cos sin sin cos cos sin 1 sin cos 。 当是第一
26、象限角时，cos 1sin2 5 5 ，原式 1 sin cos 5 2。 当是第二象限角时，cos 1sin2 5 5 ，原式 1 sin cos 5 2。综合知，原式 5 2或 5 2。 答案 5 2或 5 2 【例 4】(配合例 3 使用)已知x0，sin(x)cos x1 5，则 sin xcos x_。 解析由已知得 sin xcos x1 5，两边平方得 sin 2x2sin xcos xcos2x 1 25，整理得 2sin xcos x 24 25， 所以(sin xcos x)212sin xcos x49 25。由x0 得 sin x0，又 2sin xcos x 24 2
27、50，所以 sin xcos x0，故 sin xcos x7 5。 答案7 5 第三节第三节三角恒等变换三角恒等变换 内容要求考题举例考向规律 1.会用向量的数量积推导出两角 差的余弦公式 2能利用两角差的余弦公式推 导出两角差的正弦、正切公式 3能利用两角差的余弦公式推 导出两角和的正弦、余弦、正切 公式，推导出二倍角的正弦、余 弦、正切公式，了解它们的内在 联系 4能运用上述公式进行简单的 恒等变换(包括推导出积化和差、 和差化积、半角公式，但对这三 组公式不要求记忆) 2020全国 卷T9(二倍角公式的 运用) 2020全国 卷T9(两角和正切公 式的运用) 2018全国 卷T15(两
28、角和与差 正弦公式) 考情分析： 三角恒等变换是三角 变换的工具， 主要考查利用两角 和与差的三角函数公式、 二倍角 公式进行三角函数的化简与求 值，重在考查化简、求值，公式 的正用、 逆用以及变式运用， 可 单独考查， 也可与三角函数的图 象和性质、向量等知识综合考 查， 增强转化与化归思想的应用 意识。选择、填空、解答题均有 可能出现，中低档难度 核心素养： 逻辑推理、 数学运算 教材回扣基础自测 自主学习知识积淀 1两角的和与差的三角公式 (1)基本公式 sin()sin cos cos sin 。 cos()cos cos sin sin 。 tan() tan tan 1tan ta
29、n 。 (2)公式变形 asin bcos a2b2sin()(化一公式)， 其中 cos a a2b2，sin b a2b2。 或 asin xbcos x a2b2cos(x)， 其中 cos b a2b2，sin a a2b2。 sin cos 2sin 4 。 tan tan tan()(1tan tan )。 1tan 1tan tan 4。 1tan 1tan tan 4。 2二倍角公式 (1)基本公式 sin 22sin cos 。 cos 2cos2sin22cos2112sin2。 tan 2 2tan 1tan2 k 2 4且k 2，kZ。 (2)公式变形 由 cos 22
30、cos2112sin2可得 降幂公式：cos21cos 2 2 ；sin21cos 2 2 ； 升幂公式：cos 22cos2112sin2。 一、常规题 1cos 18cos 42cos 72sin 42() A 3 2 B 3 2 C1 2 D1 2 解析原式cos 18cos 42sin 18sin 42cos(1842)cos 601 2。故选 D。 答案D 2若 cos 4 5，是第三象限的角，则 sin 4 等于() A 2 10 B 2 10 C7 2 10 D7 2 10 解析因为是第三象限角，所以 sin 1cos23 5，所以 sin 4 3 5 2 2 4 5 2 2 7
31、 2 10 。故选 C。 答案C 3已知 tan 2，所以 tan 4 () A.1 4 B1 3 C.1 2 D3 解析因为 tan 2，所以 tan 4 tan 1 1tan 1 3。 答案B 二、易错题 4(未注意角的范围致错)设 sin 2sin ， 2，则 tan(2)_。 解析因为 sin 2sin ， 2， 所以 cos 1 2， 2 3 ， 因此 tan(2)tan 4 3 tan 3 3。 答案 3 5(不会逆用公式致错)化简： cos 40 cos 25 1sin 40_。 解析原式 cos 40 cos 25 1cos 50 cos 40 cos 25 2sin 25 c
32、os 40 2 2 sin 50 2。 答案2 6(不会合理配角致错)若 tan 1 3，tan() 1 2，则 tan _。 解析tan tan() tantan 1tantan 1 2 1 3 11 2 1 3 1 7。 答案 1 7 第 1 课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式 考点例析对点微练 互动课堂考向探究 考点一基本公式的应用自主练习 1.已知 sin sin 3 1，则 sin 6 () A.1 2 B. 3 3 C.2 3 D. 2 2 解析因为 sin sin 3 3 2sin 3 2 cos 3sin 6 1，所以 sin 6 3 3 。故选 B。 答案B 2(2020全
33、国卷)已知(0，)，且 3cos 28cos 5，则 sin () A. 5 3 B.2 3 C.1 3 D. 5 9 解析因为 3cos 28cos 5， 所以 3(2cos21)8cos 5， 所以 6cos28cos 80， 所以 3cos2 4cos 40，解得 cos 2(舍去)或 cos 2 3。因为(0，)，所以 sin 1cos 2 5 3 。故选 A。 答案A 3(2020全国卷 )已知 2tan tan 4 7，则 tan () A2B1C1D2 解析由已知得 2tan tan 1 1tan 7，得 tan 2。 答案D 4(2020江苏高考)已知 sin2 42 3，则
34、sin 2的值是_。 解析因为 sin2 42 3，所以 1cos 22 2 2 3， 1sin 2 2 2 3，得 sin 2 1 3。 答案 1 3 1使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征。 2使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值。 考点二公式的逆用与变形微专题 微考向 1：公式的逆用 【例 1】(1)已知 2cos()cos cos(2) 2 4 ，则1tan 2 1tan2( ) A3 4 B4 3 C.3 4 D4 3 解析因为 2cos()cos cos(2)2cos()cos cos()2cos()cos cos( )cos sin()sin c
35、os()cossin()sin cos()cos 2 4 ， 所以 sin21cos27 8， 所以 tan27，故1tan 2 1tan2 17 17 3 4。故选 A。 答案A (2)(1tan 10)(1tan 11)(1tan 34)(1tan 35)_。 解析(1tan 10)(1tan 35)1tan 10tan 35tan 10tan 351tan(1035)(1tan 10tan 35)tan 10tan 352，同理可得(1tan 11)(1tan 34)2，所以原式4。 答案4 1逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式。 2和(差)角公式变形： sin s
36、in cos()cos cos ， cos sin sin()sin cos ， tan tan tan()(1tan tan )。 微考向 2：辅助角公式的运用 【例 2】化简：(1)sin 12 3cos 12； (2)cos 15sin 15； (3) 1 sin 10 3 sin 80； (4)3 15sin x3 5 cos x。 解(1)解法一：原式2 1 2sin 12 3 2 cos 12 2 sin 6sin 12cos 6cos 12 2cos 6 12 2cos 4 2。 解法二：原式2 1 2sin 12 3 2 cos 12 2 cos 3sin 12sin 3cos
37、 12 2sin 3 12 2sin 4 2。 (2)解法一：cos 15sin 15 2(cos 45cos 15sin 45sin 15) 2cos(4515) 2 3 2 6 2 。 解法二：因为(cos 15sin 15)21sin 303 2， 所以 cos 15sin 15 6 2 。 (3)原式cos 10 3sin 10 sin 10cos 10 2 1 2cos 10 3 2 sin 10 sin 10cos 10 4sin 30cos 10cos 30sin 10 2sin 10cos 10 4sin3010 sin 20 4。 (4)解法一：3 15sin x3 5cos
38、 x 6 5 3 2 sin x1 2cos x 6 5 sin xcos 6cos xsin 6 6 5sin x 6 。 解法二：3 15sin x3 5cos x 6 5 3 2 sin x1 2cos x 6 5 cos 3cos xsin 3sin x 6 5cos x 3 。 1辅助角公式是两角和差公式的一个常用变形公式。 2对 asin xbcos x 化简时，辅助角的值如何求要清楚。 【题组对点练】 1(微考向 1)sin 42cos 18cos 138cos 72_。 解析sin 42cos 18cos 138cos 72sin 42cos 18cos 42sin 18sin
39、(4218)sin 60 3 2 。 答案 3 2 2(微考向 1)(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)_。 解析(1tan 20)(1tan 25)1tan 20tan 25tan 20tan 251tan(2025)(1tan 20tan 25)tan 20tan 252，同理可得(1tan 21)(1tan 24)2，所以原式4。 答案4 3(微考向 2)已知为锐角，且 cos (1 3tan 10)1，则的值为() A20B40C50D70 解析由 cos (1 3tan 10)1 可得 cos 3sin 10cos 10 cos 10 1，所以 c
40、os 2sin 40 cos 10 1，所以 cos cos 10 2sin 40 sin 80 2sin 40 2sin 40cos 40 2sin 40 cos 40，又为锐角，所以40。故选 B。 答案B 考点三角的变换微专题 【例 3】(1)已知 sin 4 4 5，且 4 3 4 ，则 cos 的值为_。 解析因为 sin 4 4 5，且 4 3 4 ，所以 2 4。所以 cos 4 1sin2 4 3 5。所以 cos cos 4 4 cos 4 cos 4sin 4 sin 4 3 5 2 2 4 5 2 2 2 10。 答案 2 10 (2)若 cos(75)1 3，则 cos
41、(302)_。 解析因为 cos(75)sin(15)1 3，所以 cos(302)12sin 2(15)121 9 7 9。 答案 7 9 常见的角变换： 222 4，2()()， 2 2 ， 3 2 6等。 【变式训练】(1)若 0 4， 20，cos 41 3，cos 4 2 3 3 ，则 cos 2 () A.5 3 9 B 3 3 C.7 3 27 D 6 9 解析由题意可知， 4 4 2， 4 4 2 2，所以 sin 42 2 3 ，sin 4 2 6 3 ，所以 cos 2 cos 4 4 2 cos 4cos 4 2 sin 4sin 4 2 1 3 3 3 2 2 3 6
42、3 5 3 9 。故选 A。 答案A (2)已知 2 3 4 ，cos()12 13，sin() 3 5，则 sin 2( ) A.56 65 B56 65 C.16 65 D16 65 解析因为 2 3 4 ，所以 0 4， 3 2 ，由 cos()12 13，得 sin() 5 13，由 sin() 3 5，得 cos() 4 5，则 sin 2sin()()sin()cos()cos()sin() 5 13 4 5 12 13 3 5 56 65。故选 B。 答案B 教师备用题 【例 1】(配合考点一使用)(1)已知 cos sin 1 5，则cos 2 2 () A24 25 B4 5
43、 C.24 25 D4 5 解析由 cos sin 1 5，得 1sin 2 1 25，所以 sin 2 24 25，所以 cos 2 2 sin 224 25。故选 C。 答案C (2)已知 cos 22cos()，则tan 4() A3B3 C1 3 D1 3 解析因为 cos 22cos()，所以sin 2cos ，所以 tan 2，所以 tan 41tan 1tan 3。故选 A。 答案A 【例 2】(1)(配合例 1 使用)在ABC 中，若 tan Atan Btan Atan B1，则 cos C_。 解析由 tan Atan Btan Atan B1，可得 tan Atan B
44、1tan Atan B1，即 tan(AB)1，又因为 AB(0， ) ，即 AB3 4 ，则 C 4，cos C 2 2 。 答案 2 2 (2)(配合例 2 使用) sin 10 1 3tan 10_。 解析 sin 10 1 3tan 10 sin 10cos 10 cos 10 3sin 10 2sin 10cos 10 4 1 2cos 10 3 2 sin 10 sin 20 4sin3010 1 4。 答案 1 4 【例 3】(配合例 3 使用)已知，为锐角，tan 3 4，cos() 4 5。 (1)求 sin ； (2)求 2。 解(1)因为 tan sin cos 3 4，
45、 sin2cos21， 所以 sin2 9 25， 又因为为锐角，所以 sin 3 5。 (2)因为，为锐角，cos()4 50。 所以 2， 所以 sin() 1cos23 5。 由(1)可知 sin 3 5，cos 4 5， 所以 sin(2)sin()sin cos()cos sin()3 5 4 5 4 5 3 50， 又因为 0， 2 ， 2， 所以 2 2， 3 2 ， 所以 2。 第 2 课时简单的三角恒等变换 考点例析对点微练 互动课堂考向探究 考点一三角函数式的化简 【例 1】化简：(1) 2sinsin 2 cos2 2 ； (2)sin2sin2cos2cos21 2co
46、s 2cos 2。 解(1) 2sinsin 2 cos2 2 2sin 2sin cos 1 21cos 2sin 1cos 1 21cos 4sin 。 (2)原式1cos 2 2 1cos 2 2 1cos 2 2 1cos 2 2 1 2cos 2cos 2 1cos 2cos 2cos 2cos 2 4 1cos 2cos 2cos 2cos 2 4 1 2cos 2cos 2 1 2 1 2cos 2cos 2 1 2cos 2cos 2 1 2。 三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂。 在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律， 根
47、号中含有三角函数式时， 一般需 要升次。 【变式训练】(1)sin1802 1cos 2 cos2 cos90等于( ) Asin Bcos Csin Dcos 解析原式 sin 2cos2 2cos2sin 2sin cos cos2 2cos2sin cos 。 答案D (2)化简： 2cos4x2cos2x1 2 2tan 4xsin2 4x _。 解析原式 1 24cos 4x4cos2x1 2 sin 4x cos 4x cos2 4x 2cos2x12 4sin 4xcos 4x cos22x 2sin 22x cos22x 2cos 2x 1 2cos 2x。 答案 1 2cos
48、 2x 考点二三角函数式的求值微专题 微考向 1：给角求值 【例 2】sin 40(tan 10 3)() A1 2 B1 C 3 2 D 3 3 解析sin 40(tan 10 3) sin 40sin 10 3cos 10 cos 10 sin 402sin1060 cos 10 2sin 40cos 40 cos 10 sin 80 cos 10 cos 10 cos 101。故选 B。 答案B 该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消， 或者能够约分相消，最后得到具体的值。 微考向 2：给值求值 【例 3】(2021百校联盟月考)已知，都
49、是锐角，cos() 5 13，sin() 3 5，则 sin ( ) A9 130 130 B7 130 130 C7 65 65 D4 65 65 解析因为，都是锐角，所以 0， 20，所以 sin 9 130 130 。 故选 A。 答案A 给值求值是指已知某个角的三角函数值， 求与该角相关的其他三角函数值的问题， 解题的基本方法是通 过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来。 微考向 3：给值求角 【例 4】若 sin 2 5 5 ，sin() 10 10 ，且 4， ，3 2 ，则的值是() A7 4 B9 4 C5 4 或7 4 D5 4 或9 4 解析因为 4，所以 2 2
50、，2，因为 sin 2 5 5 ，所以 2 2，。所以 4， 2 且 cos 2 2 5 5 ，又因为 sin() 10 10 ， ，3 2 ，所以 2， 5 4 ，cos()3 10 10 ，所以 cos() cos()2cos()cos 2sin()sin 2 3 10 10 2 5 5 10 10 5 5 2 2 ，又 5 4 ，2 ，所以7 4 。故选 A。 答案A “给值求角”实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某个三角函数值来求角(注意角的范围)，在 选取函数时，遵循以下原则： 1已知正切函数值，选正切函数。 2已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数。若角的范围是 0， 2 ，选
