1、第2课时抛物线的标准方程及性质的应用 第三章 3.3.2抛物线的简单几何性质 1.了解抛物线的简单应用. 2.掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题. 学 习 目 标 一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒里， 经过适当调节，就能射出一束较强的平行光，这是什么原因呢？ 导 语 随堂演练课时对点练 一、直线与抛物线的位置关系 二、弦长问题 三、抛物线的轨迹问题 内容索引 一、直线与抛物线的位置关系 问题1类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置 关系. 提示如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、 两个交点. 设直线l：ykxm，抛物线：y22
2、px(p0)，将直线方程与抛物线方程 联立整理成关于x的方程k2x22(kmp)xm20. (1)若k0，当 时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当 时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当 时，直线与抛物线相离，没有公共点. (2)若k0，直线与抛物线有 交点，此时直线平行于抛物线的对称轴 或与对称轴重合. 0 0 知识梳理 0，即k1，且k0时， l与C有两个公共点，此时直线l与C相交； 当0，即k1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切； 当1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离. 综上所述，当k1或0时，l与C有一个公共点； 当k1时，l与C没有公共点. 反思感悟判断直线与抛物线
3、的位置关系的方法：联立方程组消元， 当二次项系数不等于零时，用判别式来判定；当二次项系数等于0时， 直线与抛物线相交于一点. 跟踪训练1已知抛物线方程为y28x，若过点Q(2,0)的直线l与抛物线 有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_. 解析由题意知，直线l的斜率存在， 设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y并整理， 得k2x2(4k28)x4k20，当k0时，显然满足题意； 当k0时，(4k28)24k24k264(1k2)0， 解得1k0或00)的焦点的直线交抛物 线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，那么线段AB叫做焦 点弦，如图.如何求弦AB的长度？ 提示1.利用
4、弦长公式. 2.根据抛物线的定义|AB|x1x2p. 设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| . x1x2p 知识梳理 注意点：注意点： (2)y1y2p2. 所以直线AB的斜率存在，设为k， 消去x，整理得ky22pykp20. 解得k2. 所以AB所在的直线方程为2xyp0 或2xyp0. 延伸探究 若本例条件不变，求弦AB的中点M到y轴的距离. 反思感悟求弦长问题的方法 (2)焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1 x2p. 跟踪训练2已知yxm与抛物线y28x交于A，B两点. (1)若|A
5、B|10，求实数m的值； 得x2(2m8)xm20. 由(2m8)24m26432m0，得m0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位 置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 1234 解析当直线l与y轴平行或重合时， 直线l与抛物线x22py(p0)有一个交点， 此时直线l与抛物线是相交的.当直线l的斜率存在， 直线l与抛物线x22py(p0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切. 3.若直线xy2与抛物线y24x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是 _. 1234 (4,2) 得x28x40，0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x28，y1y2x1x244， 故
6、线段AB的中点坐标为(4,2). 4.直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k_. 0或1 1234 解析当k0时，直线与抛物线有唯一交点， 当k0时，联立方程消去y，得k2x24(k2)x40， 由题意16(k2)216k20， k1. 综上，k0或1. 课时对点练 1.过抛物线C：y212x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若 x1x26，则|AB|等于 A.16 B.12 C.10 D.8 解析由题意得p6， |AB|x1x2p6612. 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线
7、y0相切，则圆心C的轨迹为 A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 解析设圆C的半径为r， 则圆心C到直线y0的距离为r， 由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r1， 所以圆心C到点(0,3)的距离和它到直线y1的距离相等，符合抛物线的 特征， 故圆心C的轨迹是抛物线. 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.直线2xy40与抛物线y26x交于A，B两点，则线段AB的长度为 消去y并整理得2x211x80，0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.抛物线yx2上的点到直线4x3y80的距离的最
8、小值是 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析方法一设与抛物线相切的直线， 且与直线4x3y80平行的直线方程为4x3ym0. 与抛物线yx2联立，消去y可得3x24xm0， 由题意知，1612m0， 12345678910 11 12 13 14 15 16 方法二设抛物线yx2上一点为(m，m2)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.设抛物线y22px(p0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线相交于 A，B两点，若线段AB的中点为E，O为坐标原点，且|OE| 则p等于 A.2 B.3 C.6 D.12 12345678910 1
9、1 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.已知过抛物线y22px(p0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两 点，|AF|BF|16，则p的值为 A.2 B.4 C. D.8 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 2p216， 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若 |AB|7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_. 解析抛物线的焦点为(1,0)，
10、准线方程为x1，p2. 12345678910 11 12 13 14 15 16 3 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设直线l的方程为yk(xx0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解得x03(负值舍去). 9.过抛物线y22px(p0)的顶点O作两条互相垂直的弦交抛物线于A，B两 点.求证： (1)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值； 证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x0，y0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 OAOB，kOAkOB1
11、，x1x2y1y20， y10，y20， y1y24p2，x1x24p2. (2)直线AB过定点. 12345678910 11 12 13 14 15 16 证明当直线AB的斜率存在时， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (y1y2)(y1y2)2p(x1x2)， AB过定点(2p,0). 当直线AB的斜率不存在时，则kOA1， 直线OA：yx，与抛物线方程联立，得x22px， A(2p,2p)，故直线AB过定点(2p,0)， 综上，AB过定点(2p,0). 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.如图，已知抛物线y24x，其焦点为F. (
12、1)求以M(1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由题意知，中点弦所在的直线斜率存在. 设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 所求直线方程为2xy10. (2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相 交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解依题意知，直线m，n的斜率存在， 设直线m的方程为yk(x1)，与抛物线方程联立， 12345678910 11 12 13 14 15 16 同理，|CD|4k2
13、4， 当且仅当k1时取得最小值. 11.设抛物线y24x上一点P到y轴的距离为d1，到直线l：3x4y120的 距离为d2，则d1d2的最小值为 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 得3y216y480，25612480， 则y1y24m，y1y216， 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.已知点M(1,1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C 交于A，B两点.若AMB90，则k_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 2 解析由抛物线的方程y24x可知其焦点F的坐标为(1,0)， 所以直线
14、AB的方程为yk(x1)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 得k2x22(k22)xk20， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为AMB90， 所以 (x11，y11)(x21，y21)(x11)(x21)(y11)(y2 1)(x11)(x21)k(x11)1k(x21)1 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1kk2)(x1x2)(1k2)x1x2k22k2 解得k2. 经检验，k2符合题意. 15.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物 线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物 线y22px(p0)，如图，一
15、平行于x轴的光线射向抛物线 上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 y23x 平行于x轴的方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方 程为_. 当直线PQ的斜率不存在时，易得|PQ|2p； 当直线PQ的斜率存在时， 12345678910 11 12 13 14 15 16 整理得4k2x2(4k2p8p)xk2p20， 综上，当直线PQ与x轴垂直时，弦长最短， 又因为两平行光线间的最小距离为3，故2p3， 所以抛物线的方程为y23x. 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.
16、如图，已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的 直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|8. (1)求抛物线C的方程； 12345678910 11 12 13 14 15 16 代入y22px(p0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1x23p. |MN|8，x1x2p8， 即3pp8，解得p2， 抛物线C的方程为y24x. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解设直线l的方程为yxb，代入y24x， 得x2(2b4)xb20. 直线l为抛物线C的切线，0，解得b1. 直线l的方程为yx1. 由(1)可知x1x26，x1x21. 设P(m，m1)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 x1x26，x1x21， (y1y2)216x1x216，y1y24. 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：
