1、1.3.1空间直角坐标系 第一章 1.3空间向量及其运算的坐标表示 1.了解空间直角坐标系. 2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标. 学 习 目 标 我国著名数学家吴文俊先生在数学教育现代化问题 中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就 是形与数，欧几里得几何体系的特点是排除了数量关 系，对于研究空间形式，你要真正的腾飞，不通 过数量关系，我想不出有什么好的办法.” 导 语 吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐 标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数 化”，我们引入了坐标及其运算. 随堂演练课时对点练 一、空间直角坐标系 二、求空间
2、点的坐标 三、空间点的对称问题 内容索引 四、空间向量的坐标 一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底i，j，k，以 O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立 三条数轴： ，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个 . 2.相关概念： 叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过 的 平面叫做坐标平面，分别称为 平面、 平面、 平面，它们把空 间分成八个部分. x轴、y轴、z轴 空间直角坐标系Oxyz 知识梳理 O每两条坐标轴 OxyOyz Ozx 注意点：注意点： (1)基向量：|i|j|k|1，ijikjk0. (2)画空间直角坐标系O
3、xyz时，一般使xOy135(或45)，yOz 90. (3)建立的坐标系均为右手直角坐标系. 二、求空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空 间任意一点A，对应一个向量 ，且点A的位置由向 量 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有 序实数组(x，y，z)，使 .在单位正交 xiyjzk 知识梳理 基底i，j，k下与向量 对应的有序实数组 ，叫做点A在空 间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的 ，y叫 做点A的 ，z叫做点A的 . (x，y，z) 横坐标 纵坐标竖坐标 问题空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标有什么特点？ 提示 点
4、的位置x轴上y轴上z轴上 坐标的形式(x,0,0)(0，y,0)(0,0，z) 点的位置Oxy平面内Oyz平面内Ozx平面内 坐标的形式(x，y,0)(0，y，z)(x,0，z) 例1(1)画一个正方体ABCDA1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB， AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度， 建立空间直角坐标系，则 顶点A，D1的坐标分别为_； 棱C1C中点的坐标为_； 正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为_. (0,0,0)，(0,1,1) (2)已知正四棱锥PABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的 空间直角坐标系，写出各顶点的坐标. 解正
5、四棱锥PABCD的底面边长为4，侧棱长为10， 以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的 直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，2,0)，B(2,2,0)，C(2,2,0)， D(2，2,0)， 答案不唯一. 反思感悟(1)建立空间直角坐标系的原则 让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内. 充分利用几何图形的对称性. (2)求某点M的坐标的方法 作MM垂直于平面Oxy，垂足为M，求M的横坐标x，纵坐标y， 即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M 点的竖坐标z，于是得到M点
6、的坐标(x，y，z). 跟踪训练1设正四棱锥SP1P2P3P4的所有棱长均为2，建立适当的空间 直角坐标系，求各个顶点的坐标. 解如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心， P1P2Oy轴，P1P4Ox轴，SO在Oz轴上. P1P22，且P1，P2，P3，P4均在Oxy平面上， P1(1,1,0)，P2(1,1,0). 在Oxy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称， P3(1，1,0)，P4(1，1,0). (答案不唯一，也可选择其他的点建系) 三、空间点的对称问题 例2在空间直角坐标系中，已知点P(2,1,4). (1)求点P关于x轴对称的点的坐标； 解由
7、于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变， 在y轴、z轴的分量变为原来的相反数， 所以对称点坐标为P1(2，1，4). (2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标； 解由点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变， 在z轴的分量变为原来的相反数， 所以对称点坐标为P2(2,1，4). (3)求点P关于点M(2，1，4)对称的点的坐标. 解设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x22(2)6， y2(1)13，z2(4)412， 所以P3的坐标为(6，3，12). 反思感悟空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称
8、问题，要掌握 对称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论. 跟踪训练2已知点P(2,3，1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关 于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐 标为_. 解析点P(2,3，1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2,3,1)， 点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(2,3,1)， 点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，3,1). (2，3,1) 四、空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作 a，由空 间向量基本定理，
9、存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使axiyjzk. 有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作 a . (x，y，z) 知识梳理 0i4j4k (0,4,4)， 4i4j4k(4,4,4). 反思感悟向量坐标的求法 (1)点A的坐标和向量 的坐标形式完全相同； (2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得. 跟踪训练3如图所示，以长方体ABCDA1B1C1D的顶点D为坐标原点， 过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 的坐标 为(4,3,2)，则C1的坐标是 A.(0,3,2) B.(0,4,2) C.(4,0,2) D.(2,3,4)
10、 B1的坐标为(4,3,2)， BC4，DC3，CC12， C1的坐标为(0,3,2). 1.知识清单： (1)空间直角坐标系的概念. (2)空间点的坐标. (3)空间向量的坐标. 2.方法归纳：数形结合、类比联想. 3.常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的 向量的坐标才和终点的坐标相同. 课堂小结 随堂演练 1.在空间直角坐标系中，点P(1,3，5)关于平面Oxy对称的点的坐标是 A.(1,3，5) B.(1,3,5) C.(1，3,5) D.(1，3,5) 1234 2.在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)到平面Oyz的距离是 A.1 B.2 C.3 D. 123
11、4 解析点到平面Oyz的距离就是点的横坐标的绝对值. 3.点P(1,1,1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为_，点P关于z轴 的对称点P2的坐标为_. 1234 (1,1，1) (1，1,1) 解析点P(1,1,1)关于Oxy平面的对称点P1的坐标为(1,1，1)， 点P关于z轴的对称点P2的坐标为(1，1,1). 4.在长方体ABCDA1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)， A1(4,0,3)，则向量 的坐标为_. (4,2,3) 1234 课时对点练 1.(多选)下列命题中正确的是 A.在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c) B.在
12、空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c) C.在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c) D.在空间直角坐标系中，在Ozx平面上的点的坐标是(a,0，c) 解析空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标是(a,0,0).故A错误，B，C， D正确. 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，2,4)关于y轴对称的点为 A.(1，2，4) B.(1，2,4) C.(1,2，4) D.(1,2,4) 解析关于y 轴对称，则y值不变，x和z的值变为原来的相反数， 故所求的点的坐标为(1，2，4). 1
13、2345678910 11 12 13 14 15 16 3.如图，在长方体OABCO1A1B1C1中，OA3，OC5，OO14，点P 是B1C1的中点，则点P的坐标为 解析由题图知，点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为P1，P2，P3， 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.在空间直角坐标系中，点(1,2,3)与点(1,2,3) A.关于Oxy平面对称 B.关于Ozx平面对称 C.关于Oyz平面对称 D.关于x轴对称 解析空间中的两个点(1,2,3)和(1,2,3)，y，z轴上的两个坐标相同，x 轴上的坐标相反， 故此两点关于Oyz平面对称. 12345678910
14、 11 12 13 14 15 16 解析由于垂足在平面Oyz上， 所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.设i，j，k是空间向量的一个单位正交基底，a2i4j5k，bi2j 3k，则向量a，b的坐标分别为_. (2，4,5)，(1,2，3) 解析由空间向量坐标概念知a(2，4,5)，b(1,2，3). 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.如图是一个正方体截下的一角PABC，其中PAa， PBb，PCc.建立如图所示的空间直角坐标系，则 ABC的
15、重心G的坐标是_. 解析由题意知A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c). 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.建立空间直角坐标系如图所示，正方体DABC DABC的棱长为a，E，F，G，H，I，J分 别是棱CD，DA，AA，AB，BC，CC 的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标. 解正方体DABCDABC的棱长为a，且E，F，G，H，I，J分 别是棱CD，DA，AA，AB，BC，CC的中点， 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP平面 ABCD，已知正方形的边长为2，OP2，连
16、接AP，BP， CP，DP，M，N分别是AB，BC的中点，以O为原点， 为单位正交基底建立空间直角坐标系. 12345678910 11 12 13 14 15 16 若E，F分别为PA，PB的中点，求点A，B，C，D，E，F的坐标. 解由题意知，点B的坐标为(1,1,0). 由点A与点B关于x轴对称，得A(1，1,0)， 由点C与点B关于y轴对称，得C(1,1,0)， 由点D与点C关于x轴对称，得D(1，1,0). 又P(0,0,2)，E为AP的中点，F为PB的中点， 12345678910 11 12 13 14 15 16 11.在空间直角坐标系中，点M(1,2,3)到z轴的距离为 12
17、345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 12.(多选)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB5，AD4，AA13， 以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下 列说法正确的是 A.点B1的坐标为(4,5,3) B.点C1关于点B对称的点为(5,8，3) C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3) D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0) 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析根据题意知，点B1的坐标为(4,5,3)，选项A正确； B的坐标为(4,5,0)，C1的坐标为(0,5,3)， 故点
18、C1关于点B对称的点为(8,5，3)，选项B错误； 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分， 即点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3)，选项C正确； 点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)，选项D正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 A.(2,1，3) B.(1,2，3) C.(1，8,9) D.(1,8，9) 14.在三棱锥PABC中，ABC90，PB平面ABC， ABBCPB1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图 所示的坐标系Bxyz，则向量 的坐标为_. 12
19、345678910 11 12 13 14 15 16 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 15.已知向量p在基底a，b，c下的坐标为(2,1，1)，则p在基底 2a，b，c下的坐标为_，在基底ab，ab，c下的坐 标为_. (1,1,1) 解析由题意知p2abc， 则向量p在基底2a，b，c下的坐标为(1,1,1). 设向量p在基底ab，ab，c下的坐标为(x，y，z)，则 px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc， 又p2abc， 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.如图所示， 正四面体ABCD的棱长为1， G是BCD的中 心，建立如图所示的空间直角坐标系，则 的坐标为 _， 的坐标为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：
