1、题组层级快练题组层级快练(三十三十) 一、单项选择题 1已知ABC，a 5，b 15，A30，则 c() A2 5B. 5 C25或 5D均不正确 答案C 解析 a sinA b sinB， sinBbsinA a 15 5 sin30 3 2 . ba，B60或 120. 若 B60，则 C90，c a2b22 5. 若 B120，则 C30，ca 5. 2在ABC 中，若 AB 13，BC3，C120，则 AC 等于() A1B2 C3D4 答案A 3(2021安徽合肥模拟)在ABC 中，A60，AB2，且ABC 的面积为 3 2 ，则 BC 的长为() A. 3 2 B. 3 C2 3D
2、2 答案B 解析因为 S1 2ABACsinA 1 22 3 2 AC 3 2 ，所以 AC1， 所以 BC2AB2AC22ABACcosA221222cos603. 所以 BC 3. 4(2021保定市一模)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 acosC， bcosB，ccosA 成等差数列，若ABC 外接圆的半径为 1，则 b() A.3 2 B2 C. 3D. 2 答案C 解析方法一：因为 acosC，bcosB，ccosA 成等差数列，所以 2bcosBacosCccosA， 由正弦定理，得 2sinBcosBsinAcosCsinCcosAsin(AC)s
3、inB，又 sinB0，所以 cosB 1 2，则 sinB 3 2 .因为ABC 外接圆的半径为 1，所以由正弦定理，得 b sinB2，所以 b 2sinB 3，故选 C. 方法二：因为 acosC，bcosB，ccosA 成等差数列，所以 2bcosBacosCccosA，由余 弦定理，得 2ba 2c2b2 2ac aa 2b2c2 2ab cb 2c2a2 2bc b，即 a2c2b2ac，所以 cosB a2c2b2 2ac 1 2，又 sinB0，所以 sinB 3 2 .因为ABC 外接圆的半径为 1，所以由正弦定理， 得 b sinB2，所以 b2sinB 3，故选 C. 5
4、(2020昆明市高三诊断测试)在平面四边形 ABCD 中，D90，BAD120， AD1，AC2，AB3，则 BC() A. 5B. 6 C. 7D2 2 答案C 解析如图， 在ACD 中， D90， AD1， AC2， 所以CAD 60.又BAD120，所以BACBADCAD60.在 ABC 中，由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcosBAC7， 所以 BC 7.故选 C. 6 (2019课标全国)ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知 asinAbsinB 4csinC，cosA1 4，则 b c等于( ) A6B5 C4D3 答案A 7 (2021
5、江西七校一联)在ABC 中， 若 sin(AB)12cos(BC)sin(AC)， 则ABC 的形状一定是() A等边三角形B不含 60的等腰三角形 C钝角三角形D直角三角形 答案D 解析sin(AB)12cos(BC)sin(AC)12cosAsinB， sinAcosBcosAsinB1 2cosAsinB，sinAcosBcosAsinB1，即 sin(AB)1，则有 AB 2 ，故ABC 为 直角三角形 8(2021广东七校第二次联考)若ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已 知 2bsin2A3asinB，且 c2b，则a b等于( ) A.3 2 B. 2 C.
6、4 3 D. 3 答案B 解析由 2bsin2A3asinB 及正弦定理可得 4sinBsinAcosA3sinAsinB，由于 sinA0， sinB0，所以 cosA3 4，又 c2b，所以 a 2b2c22bccosAb24b22b2b3 42b 2， 所以a b 2，故选 B. 二、多项选择题 9对于ABC，有如下判断，其中正确的判断是() A若 cosAcosB，则ABC 为等腰三角形 B若 AB，则 sinAsinB C若 a8，c10，B60，则符合条件的ABC 有两个 D若 sin2Asin2Bsin2C，则ABC 是钝角三角形 答案ABD 三、填空题与解答题 10(2021深
7、圳市高三统一测试)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若(a b)(sinAsinB)(ac)sinC，b2，则ABC 的外接圆面积为_ 答案 4 3 解析利用正弦定理将已知等式转化为(ab)(ab)(ac)c，即 a2c2b2ac，所以 由余弦定理，得 cosBa 2c2b2 2ac 1 2，因为 0B180，所以 B60.设ABC 的外接 圆半径为 R，则由正弦定理知，2R b sinB 4 3，所以ABC 的外接圆面积 SR 24 3. 11 (2019课标全国)ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 bsinAacosB 0，则 B_ 答
8、案 3 4 解析方法一：依题意与正弦定理，得 sinBsinAsinAcosB0，即 sinBcosB，则 tanB1.又 0B，所以 B3 4 . 方法二：由正弦定理，得 bsinAasinB，又 bsinAacosB0，所以 asinBacosB0， 即 sinBcosB，则 tanB1.又 0B0，故 cosB0，B 为钝角 如图，过点 C 作 CEAB 交 AB 的延长线于点 E，则 CEbsinBAC，BEacos ABC，故 BECE.又 CEAB，所以CBE 4 ，ABC3 4 . 12(2021唐山市期末考试)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，CA 2 ，
9、sinA1 3，a3，则 b_ 答案7 解析sinBsin(AC)sin 2A 2 cos2A12sin2A7 9. 由正弦定理，得： b sinB a sinA. basinB sinA 7. 13ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosC(acosBbcosA)c， 则 C_；若 c 7，ABC 的面积为3 3 2 ，则ABC 的周长为_ 答案 3 5 7 14(2020天津)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 a2 2，b 5，c 13. (1)求角 C 的大小； (2)求 sinA 的值； (3)求 sin 2A 4 的值 答案(
10、1) 4 (2)2 13 13 (3)17 2 26 解析(1)在ABC 中，由 a2 2，b5，c 13及余弦定理，得 cosCa 2b2c2 2ab 82513 22 25 2 2 ， 又因为 C(0，)，所以 C 4 . (2)在ABC 中，由 C 4 ，a2 2，c 13及正弦定理，可得 sinAasinC c 2 2 2 2 13 2 13 13 . (3)由 ac 知角 A 为锐角，由 sinA2 13 13 ，可得 cosA 1sin2A3 13 13 ， 则 sin2A2sinAcosA12 13，cos2A2cos 2A15 13， 所以 sin 2A 4 sin2Acos
11、4 cos2Asin 4 12 13 2 2 5 13 2 2 17 2 26 . 15 (2020课标全国， 文)ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 B150. (1)若 a 3c，b2 7，求ABC 的面积； (2)若 sinA 3sinC 2 2 ，求 C. 答案(1) 3(2)15 解析(1)由题设及余弦定理，得 283c2c22 3c2cos150. 解得 c2(舍去)或 c2，从而 a2 3. ABC 的面积为 1 2acsinB 1 22 32sin150 3. (2)在ABC 中，A180BC30C，所以 sinA 3sinCsin(30C) 3
12、sinCsin(30C) 故 sin(30C) 2 2 . 而 0C30，所以 30C45，故 C15. 16(2020沧州七校联考)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知(16b 11c)cosA11acosC. (1)求 cosA 的值； (2)若 bc4，求 a 的最小值 答案(1)11 16 (2) 10 2 解析(1)由已知(16b11c)cosA11acosC 及正弦定理，得(16sinB11sinC)cosA 11sinAcosC， 即 16cosAsinB11(sinAcosCcosAsinC)11sinB，且 sinB0，所以 cosA11 16.
13、(2)由 bc4，可得 b2c22bc16， 则 162bc2bc，解得 bc4，当且仅当 bc2 时，等号成立 由余弦定理可得 a2b2c22bc11 16(bc) 227 8 bc1627 8 bc5 2，所以 a 的最小值 为 10 2 . 17(2020衡水中学调研卷)设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且有 2sinBcosAsinAcosCcosAsinC. (1)求角 A 的大小； (2)若 b2，c1，D 为 BC 的中点，求 AD 的长 答案(1) 3 (2) 7 2 解析(1)方法一：由题设知，2sinBcosAsin(AC)sinB，因为 sinB0
14、，所以 cosA 1 2. 由于 0A，故 A 3 . 方法二：由题设及正、余弦定理可知，2bb 2c2a2 2bc aa 2b2c2 2ab c b2c2a2 2bc ，于 是 b2c2a2bc，所以 cosAb 2c2a2 2bc 1 2. 由于 0A，故 A 3 . (2) 方 法 一 ： 因 为 AD 2 AB AC 2 2 1 4 ( AB 2 AC 2 2 AB AC ) 1 4 14212cos 3 7 4，所以|AD | 7 2 ，从而 AD 7 2 . 方法二：因为 a2b2c22bccosA412211 23，所以 a 2c2b2且 a 3， 所以 B 2 . 因为 BDa
15、 2 3 2 ，AB1，所以 AD13 4 7 2 . 18已知ABC 中，AB 2BC，AC2 5，点 D 在边 AC 上，且 AD2CD，ABD 2CBD. (1)求ABC 的大小 (2)求ABC 的面积 答案(1)3 4 (2)2 解析 方法一： 记CBD， 则ABD2.在BCD 中， 由正弦定理， 得 CD sin BC sinBDC. 在ABD 中，由正弦定理，得 AD sin2 AB sinADB. AD2CD，sinBDCsinADB，AB 2BC. 得：cos 2 2 4 ，ABC3 4. 方法二：AD2CD(同高) SADB2SBDC. 即 1 2ABBDsin22 1 2BDBCsin. 解得 cos 2 2 ， 4 ，ABC3 4. (2)设 BCx， 则 AB 2x， 在ABC 中， 由余弦定理， 得： AC2BC2AB22BCABcos ABC. (2 5)2x2( 2x)22x 2xcos3 4x2. BC2，AB2 2， SABC1 2BCABsinABC 1 222 2sin 3 42.
