1、题组层级快练题组层级快练(四十九四十九) 一、单项选择题 1 (2021宁夏银川高级中学)在各棱长均相等的直三棱柱 ABCA1B1C1中， 已知 M 是棱 BB1 的中点，N 是棱 AC 的中点，则异面直线 A1M 与 BN 所成角的正切值为() A. 3B1 C. 6 3 D. 2 2 答案C 解析本题考查异面直线所成角的正切值的求法 设直三棱柱 ABCA1B1C1的棱长为 2，如图所示，以 A 为原点，AC 所 在直线为 y 轴，AA1所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A1(0，0， 2)，M( 3，1，1)，B( 3，1，0)，N(0，1，0)，则A1M ( 3，1，1)， B
2、N ( 3，0，0)设异面直线 A1M 与 BN 所成角为，则 cos |A1M BN | |A1M |BN | 3 5 3 15 5 ，sin 1cos2 10 5 ，tansin cos 6 3 .异面直线 A1M 与 BN 所成角的正 切值为 6 3 .故选 C. 2已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 为正方形，AA12AB，E 为 AA1的中 点，则异面直线 BE 与 CD1所成角的余弦值为() A. 10 10 B.1 5 C.3 10 10 D.3 5 答案C 解析 以 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 设 AA12AB2，则 B(1，1，0)，E(
3、1，0，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，2) BE (0，1，1)，CD 1 (0，1，2) cosBE ， CD 1 12 2 5 3 10 10 . 3.(2021河北辛集中学月考)如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1中， ABBC2，AA11，则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为() A. 6 3 B.2 5 5 C. 15 5 D. 10 5 答案D 解析本题考查线面角的计算如图所示，在平面 A1B1C1D1内过点 C1作 B1D1的垂线，垂足为 E，连接 BE.由 C1EB1D1， C1EBB1， B1D1BB1B1， 得 C1E平面 BDD1B1，C1BE
4、 的正弦值即为所求BC1 2212 5，C1E22 2 2 2，sin C1BEC1E BC1 2 5 10 5 . 4(2020福建厦门二模)一副三角板由一块有一个内角为 60的直角三角形和一块等腰直角 三角形组成，如图所示，BF90，A60，D45，BCDE.现将两块三 角板拼接在一起，取 BC 中点 O 与 AC 中点 M，则下列直线与平面 OFM 所成的角不为定值 的是() AACBAF CBFDCF 答案B 解析本题考查直线与平面垂直的判定定理，直线与平面所成角因为 O，M 分别为 BC， AC 的中点，所以 OMAB，所以 OMBC.又 OFBC，且 OMOFO，所以 BC平面 O
5、MF，所以 BF，CF 与平面 OFM 所成的角分别为BFO 和CFO，它们相等，均为 45. 根据直线与平面所成角的定义知， AC 与平面 OFM 所成的角为CMOCAB60.故只 有 AF 与平面 OFM 所成的角不为定值 5.(2021湖南、江西十四校联考)如图，已知棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1，点 E 为线 段 CD1的中点，则直线 AE 与平面 A1BCD1所成角的正切值为() A. 2 2 B.1 2 C. 3 2 D. 2 答案A 解析连接 AB1，AB1与 A1B 交于点 F，由于 AFA1B，AFBC，且 A1BBCB，所以 AF平面 A1BCD1.连接 E
6、F，则AEF 是直线 AE 与平面 A1BCD1所成角，tanAEFAF EF 2 2 .故选 A. 6(2021四川雅安期末)如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 把ABD 折 起， 使点 A 移到点 A1处， 且 A1在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上， 则 BC 与 A1D 所成角是() A30B45 C60D90 答案D 解析本题主要考查异面直线所成角及线面垂直的判定与性质 因为 A1在平面 BCD 上的射 影 O 恰好在 CD 上，所以 A1O平面 BCD.因为 BC平面 BCD，所以 A1OBC.又因为 BCCD，A1OCDO，所以 BC平面 A1CD.又 A1D平面
7、 A1CD，所以 BCA1D，故 BC 与 A1D 所成的角为 90.故选 D. 7(2021河北示范性高中联合体 3 月联考)正方体 ABCDA1B1C1D1的棱上到直线 A1B 与 CC1的距离相等的点有 3 个，记这 3 个点分别为 E，F，G，则直线 AC1与平面 EFG 所成角 的正弦值为() A. 26 13 B.2 26 13 C.2 78 39 D.4 78 39 答案D 解析 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱上到直线 A1B 与 CC1的距离相等的点分别为 D1， BC 的中点， B1C1的四等分点(靠近 B1)，不妨设 D1与 G 重合，BC 的中点为 E，B1C1的四
8、等分点(靠近 B1)为 F. 以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 Dxyz，如图设 AB2， 则 E(1，2，0)，F 3 2，2，2，G(0，0，2)，A(2，0，0)，C1(0，2，2)， 从而EF 1 2，0，2，GF 3 2，2，0，AC1 (2，2，2) 设平面 EFG 的法向量为 n(x，y，z)，则 nEF 0， nGF 0，即 1 2x2z0， 3 2x2y0， 令 x4，得 n(4，3，1) 设直线 AC1与平面 EFG 所成角为，则 sin|cosn， AC1 | |nAC1 | |n|AC1 | 4 78 39 .故选 D. 8(2021保定模拟)在直三棱柱 ABCA
9、1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90， 侧棱 AA12，D，E 分别是 CC1与 A1B 的中点，点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重 心 G.则 A1B 与平面 ABD 所成角的余弦值是() A. 2 3 B. 7 3 C. 3 2 D. 3 7 答案B 解析 以 C 为坐标原点，CA 所在直线为 x 轴，CB 所在直线为 y 轴，CC1所在直线为 z 轴，建立 空间直角坐标系如图，设 CACBa，则 A(a，0，0)，B(0，a，0)，A1(a，0，2)，D(0，0， 1)，E a 2， a 2，1，G a 3， a 3， 1 3 ，GE a 6， a 6， 2 3 ，
10、BD (0，a，1)， 点 E 在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G， GE 平面 ABD，GE BD 0，解得 a2. GE 1 3， 1 3， 2 3 ，BA1 (2，2，2)， GE 平面 ABD，GE 为平面 ABD 的一个法向量 cosGE ， BA1 GE BA1 |GE |BA1 | 4 3 6 3 2 3 2 3 ， A1B 与平面 ABD 所成的角的余弦值为 7 3 . 二、多项选择题 9.(2021山东青岛期末)如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1， 则下列四个结论正确的是() A直线 BC 与平面 ABC1D1所成的角为 4 B点 C 到平面 ABC
11、1D1的距离为 2 2 C异面直线 D1C 与 BC1所成的角为 4 D三棱柱 AA1D1BB1C1外接球的半径为 3 2 答案ABD 解析本题考查异面直线所成角、线面角、点到平面距离及外接球问题正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，直线 BC 与平面 ABC1D1所成的角为CBC1 4 ，故 A 正确；连接 B1C，由 B1CBC1，B1CAB，BC1ABB，得 B1C平面 ABC1D1，所以点 C 到平面 ABC1D1的距离为 B1C 长度的一半，即 2 2 ，故 B 正确；因为 BC1AD1，所以异面直线 D1C 与 BC1所成的角为AD1C，连接 AC，则AD1C 为等边三角
12、形，故异面直线 D1C 与 BC1 所成的角为 3 ，故 C 错误；三棱柱 AA1D1BB1C1的外接球也是正方体 ABCDA1B1C1D1 的外接球，故外接球半径为 121212 2 3 2 ，故 D 正确故选 ABD. 三、填空题与解答题 10(2018课标全国)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为7 8.SA 与圆锥 底面所成角为 45.若SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为_ 答案40 2 解析如图所示， 设 S 在底面的射影为 S， 连接 AS， SS.SAB 的面积为1 2 SA SB sin ASB1 2SA 2 1cos2ASB 15 16 SA2
13、5 15，SA280，SA4 5.SA 与底面 所成的角为 45，SAS45，ASSAcos454 5 2 2 2 10.底面周长 l 2AS4 10，圆锥的侧面积为1 24 54 1040 2. 11(2021河北承德二中期末)已知四棱锥 PABCD 的底面是菱形，BAD60，PD 平面 ABCD，且 PDAB，点 E 是棱 AD 的中点，F 在棱 PC 上若 PFFC12，则直 线 EF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为_ 答案 4 35 35 解析 如图， 以D点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设菱形ABCD的边长为2， 则 D(0，0，0)，E( 3 2 ，1 2，0
14、)，F 0，2 3， 4 3 ，所以EF 3 2 ，7 6， 4 3 . 又平面 ABCD 的一个法向量为 n(0，0，1)， 所以 cosEF ，n 4 3 3 2 2 7 6 2 4 3 2 1 4 35 35 ， 即直线 EF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为4 35 35 . 12.(2021鲁西部分重点中学期末)已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD是菱形， ADC120， AD的中点M是顶点P在底面ABCD 的射影，N 是 PC 的中点 (1)求证：平面 MPB平面 PBC； (2)若 MPMC，求直线 BN 与平面 PMC 所成角的正弦值 答案(1)略(2)2 6 7 解析
15、(1)证明：如图，连接 BD，四边形 ABCD 为菱形，ADC120，且 M 为 AD 的中点， ABD 为等边三角形 MBAD，MBBC. P 在底面 ABCD 的射影 M 是 AD 的中点， PM平面 ABCD，又BC平面 ABCD，PMBC， 又 PMMBM，PM，MB平面 MPB，BC平面 MPB，又 BC平面 PBC，平面 MPB平面 PBC. (2)方法一：过点 B 作 BHMC 于点 H，连接 HN(图略) PM平面 ABCD，BH平面 ABCD，BHPM. 又PM，MC平面 PMC，PMMCM，BH平面 PMC. 直线 HN 为直线 BN 在平面 PMC 上的射影， BNH 为
16、直线 BN 与平面 PMC 所成的角 在菱形 ABCD 中，设 AB2a，则 MBABsin60 3a，MC MB2BC2 7a，PC MC2MP2 2MC2 14a， 在 RtMBC 中，BH2a 3a 7a 2 21 7 a. 由(1)知 BC平面 MPB，PB平面 MPB， PBBC，BN1 2PC 14 2 a， sinBNHBH BN 2 21 7 a 14 2 a 2 6 7 ， 即直线 BN 与平面 PMC 所成角的正弦值为2 6 7 . 方法二：由(1)知 MA，MB，MP 两两垂直，以 M 为坐标原点，以 MA，MB，MP 所在直线 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示
17、的空间直角坐标系 Mxyz，不妨设 MA1. M(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，3，0)，C(2，3，0)，P(0，0， 7) N 是 PC 的中点，N 1， 3 2 ， 7 2 . 设平面 PMC 的法向量为 n(x0，y0，z0)， 又MP (0，0， 7)，MC (2，3，0)， nMP 0， nMC 0， 即 7z00， 2x0 3y00， 令 y01，则 n 3 2 ，1，0 ，|n| 7 2 . 又BN 1， 3 2 ， 7 2 ，|BN | 14 2 ， |cosBN ，n| |BN n| |BN |n| 2 6 7 . 直线 BN 与平面 PMC 所成角的正弦值为2
18、6 7 . 13(2021山东德州模拟)如图，PABC 是一个三棱锥，AB 是圆的直 径，C 是圆上的点，PC 垂直圆所在的平面，D，E 分别是棱 PB，PC 的 中点 (1)求证：DE平面 PAC； (2)若二面角 ADEC 是 45，ABPC4，求 AE 与平面 ACD 所成 角的正弦值 答案(1)略(2) 42 14 解析(1)证明：因为 AB 是圆的直径，所以 BCAC， 因为 PC 垂直圆所在的平面，所以 PCBC， 又因为 ACPCC，所以 BC平面 PAC. 因为 D，E 分别是棱 PB，PC 的中点，所以 BCDE， 从而有 DE平面 PAC. (2)由(1)可知，DEAE，D
19、EEC， 所以AEC 为二面角 ADEC 的平面角， 从而有AEC45， 则 ACEC1 2PC2，又 BCAC， AB4，得 BC2 3. 以 C 为坐标原点， CB ， CA ，CP 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空 间直角坐标系 Cxyz. 则 C(0，0，0)，A(0，2，0)，E(0，0，2)，B(2 3，0，0)，P(0，0，4)，D( 3，0，2)，AE (0，2，2)，CA (0，2，0)，CD ( 3，0，2) 设 n(x，y，z)是平面 ACD 的一个法向量，则 nCA 0， nCD 0， 即 2y0， 3x2z0.可取 n(2，0， 3) 故
20、|cosn， AE | |nAE | |n|AE | 42 14 . 所以直线 AE 与平面 ACD 所成角的正弦值为 42 14 . 14.(2020浙江)如图， 在三棱台 ABCDEF 中， 平面 ACFD平面 ABC， ACBACD45，DC2BC. (1)证明：EFDB； (2)求直线 DF 与平面 DBC 所成角的正弦值 思路(1)通过添加辅助线，利用面面垂直得到线面垂直，进而得到 DOBC，再根据题中 所给的已知条件，证得 BOBC，由此可得 BC平面 DBO，BCDB，由 BCEF 即可得 证；(2)可通过作辅助线找到直线 DF 与平面 DBC 所成角，利用解三角形知识求得直线
21、DF 与平面 DBC 所成角的正弦值，也可以建立合适的空间直角坐标系，通过计算直线 DF 的方 向向量与平面 DBC 的法向量求解直线 DF 与平面 DBC 所成角的正弦值 答案(1)略(2) 3 3 解析(1) 证明：如图，过点 D 作 DOAC，交直线 AC 于点 O，连接 OB. 由ACD45，DOAC 得 CD 2CO. 由平面 ACFD平面 ABC，DOAC，平面 ACFD平面 ABCAC，得 DO平面 ABC， 所以 DOBC. 由ACB45，BC1 2CD 2 2 CO 得 BOBC，又 DOBC，DOBOO， 所以 BC平面 BDO，故 BCDB. 由三棱台 ABCDEF 得
22、BCEF，所以 EFDB. (2)方法一：如图，过点 O 作 OHBD，交直线 BD 于点 H，连接 CH. 由三棱台 ABCDEF 得 DFCO，所以直线 DF 与平面 DBC 所成角等于直线 CO 与平面 DBC 所成角 由 BC平面 BDO 得 OHBC， 又 OHBD， BCBDB， 故 OH平面 BCD， 所以OCH 为直线 CO 与平面 DBC 所成角 设 CD2 2，则 DOOC2，BOBC 2， 所以 BD 6，OH2 3 3 ，所以 sinOCHOH OC 3 3 ， 因此，直线 DF 与平面 DBC 所成角的正弦值为 3 3 . 方法二：由三棱台 ABCDEF 得 DFCO
23、，所以直线 DF 与平面 DBC 所成角等于直线 CO 与平面 DBC 所成角，记为. 如图， 以 O 为原点， 分别以射线 OC， OD 为 y， z 轴的正半轴， 建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 CD2 2，则 O(0，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，D(0，0，2) 因此OC (0，2，0)，BC (1，1，0)，CD (0，2，2) 设平面 BCD 的法向量 n(x，y，z)， 则 nBC 0， nCD 0， 即 xy0， 2y2z0，可取 n(1，1，1) 所以 sin|cosOC ，n| |OC n| |OC |n| 3 3 . 因此，直线 DF 与平面 DBC 所成角的正弦值为 3 3 .
