1、3.3幂函数 第三章函数的概念与性质 1.掌握幂函数的概念、图象特征和性质. 2.掌握幂函数的图象位置和形状变化，会根据幂函数的单调性 比较幂值的大小. 学 习 目 标 同学们，我们说要学好数学，要先了解它的发展史，比如我们今天要 学习的幂函数，“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积. 九章算术刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂.”后来又推广引申为多次 乘方的结果.到了清明时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂.清 末之后，幂逐渐开始专指乘方概念. 导 语 随堂演练课时对点练 一、幂函数的概念 二、幂函数的图象与性质 三、幂函数性质的综合运用 内容索引 一、幂函数的概念 问题1下面几个实例，观察
2、它们得出的函数解析式，有什么共同特征？ (1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜 kg，那么她需要支付p 元，这里p是的函数； (2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积Sa2，这里S是a的函数； (3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积Vb3，这里V是b的函数； (4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长c ，这 里c是S的函数； (5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v km/s， 即vt1，这里v是t的函数. 提示这些函数的解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自 变量，幂的指数都是常数. 知识梳理 幂函数的概念 一般地，函数 叫做幂
3、函数，其中x是，是. 注意点：自变量前的系数是1；幂的系数为1；是任意常数； 函数的定义域与有关. yx 自变量常数 例1 (1)在函数y，y2x2，yx2x，y1中，幂函数的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 y2x2由于出现系数2，因此不是幂函数； yx2x是两项和的形式，不是幂函数； y1x0(x0)，可以看出， 常函数y1的图象比幂函数yx0的图象多了一个点(0,1)， 所以常函数y1不是幂函数. (2)已知y2n3是幂函数，求m，n的值. 2 22 22 m mmx 反思感悟幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx(为常数) 的形式，需满足：指数
4、为常数，底数为自变量，x的系数为1. 形如y(3x)，y2x，yx5形式的函数都不是幂函数. (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有yx(为常数)这一形式. 跟踪训练1若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)16，则f(4)_. 解析设f(x)x，f(4)16， 416，解得2， f(x)x2， f(4)(4)216. 16 二、幂函数的图象与性质 问题2根据之前所学，我们应该从哪些方面来研究幂函数？ 提示根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再 利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性 等问题. 问题3你能在同一坐标系下作出yx，yx2，yx3，y，yx1
5、 这五个函数的图象吗？ 提示 1 2 x 问题4观察函数图象以及函数解析式，完成下表. yxyx2yx3yyx1 定义域 值域 奇偶性 1 2 x RRR 0，)x|x0 R0，)R0，) y|y0 奇函数偶函数奇函数 非奇非偶 函数 奇函数 单调性 增函数 在0，) 上单调递增， 在(，0 上单调递减 增函数 在0，) 上单调递增 在(0，) 上单调递减， 在(，0) 上单调递减 知识梳理 通过以上信息，我们可以得到： (1)函数yx，yx2，yx3，y 和yx1的图象都通过点 ； (2)函数yx，yx3，yx1是，函数yx2是； (3)在区间(0，)上，函数yx，yx2，yx3，y ，函数
6、y x1； (4)在第一象限内，函数yx1的图象向上与y轴，向右与x轴_ . 1 2 x 1 2 x (1,1) 奇函数偶函数 单调递增 单调递减 无限接近无 限接近 注意点：注意点：一般幂函数的图象特征 (1)所有的幂函数在(0，)上都有定义，图象只出现在第一象限，并 且图象都过点(1,1). (2)当0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0，)上单调递 增.且图象只出现在第一象限. 特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当1时，幂函数的解析式 为yx；当01时，幂函数的图象上凸. (3)当1)，它同各幂函数图象相交，按交点从 下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列. 解析根据幂函数yxn的性
7、质，在第一象限内的图象， 当n0时，n越大，yxn递增速度越快， 当n1或xg(x)； (2)f(x)g(x)； 解当x1或x1时，f(x)g(x)； (3)f(x)g(x). 解当1x1且x0时，f(x)g(x). 三、幂函数性质的综合运用 例3(1)比较下列各组数中两个数的大小： 解幂函数yx0.5在(0，)上单调递增， 解幂函数yx1在(，0)上单调递减， 解函数y1 在(0，)上单调递增， 与 . 3 4 3 2 3 2 3 4 3 4 x 3 3 4 4 3 1 2 3 2 x 1， 3 3 2 2 3 1 4 . 33 42 33 24 (2)已知幂函数yxp3(pN*)的图象关于
8、y轴对称，且在(0，)上单 调递减，求满足 的a的取值范围. 33 132 pp aa 解函数yxp3在(0，)上单调递减， p30，即p3. 又pN*，p1或p2. 函数yxp3的图象关于y轴对称，p3是偶数， 取p1，即yx2. 故 变为 . 33 132 pp aa 11 33 132aa 函数y 在R上是增函数， 1 3 x 由 ，得a132a， 11 33 132aa 反思感悟比较幂值大小和解决幂函数的综合问题的注意点 (1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造 函数，利用幂函数的单调性比较大小. (2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值
9、 可以是“0”或“1”. (3)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等. (4)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合等数学思想. 跟踪训练3(1)比较下列各组数的大小： 3.143与3. 解yx3是R上的增函数，且3.14， 3.1433. m2m2，m1或m2(舍去)，f(x) . 2 1 mm x 2 1 2 mm 1 2 x 1.知识清单： (1)幂函数的定义. (2)几个常见幂函数的图象. (3)幂函数的性质. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法、分类讨论法. 3.常见误区：易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质. 课堂小结 随堂演练 1234 1
10、.下列函数中不是幂函数的是 A.y B.yx3 C.y3x D.yx1 解析只有y3x不符合幂函数yx的形式. 1234 1234 3.函数y 的图象是 5 4 x 解析函数y 是非奇非偶函数，故排除A，B选项. 5 4 x 1234 4.0.232.3与0.242.3的大小关系是_. 0.232.30.242.3 解析因为函数yx2.3在(0，)上单调递减， 且0.230.242.3. 课时对点练 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 1.下列函数：yx3；y x；y4x2；yx51；y(x1)2； yx；yax(a1).其中幂函数的个数为 A.1 B.2 C
11、.3 D.4 解析为自变量在指数位置， 中系数不是1， 中解析式为多项式， 中底数不是自变量本身， 所以只有是幂函数. 2.若幂函数的图象过点(3， )，则该幂函数的解析式是 A.yx1 B.y C.yx2 D.yx3 12345678910 11 12 13 14 15 16 1 2 x 1 2 x 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.若四个幂函数yxa，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图， 则a，b，c，d的大小关系是 A.dcba B.abcd C.dcab D.abdc 解析在第一象限内，x1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数 由小到大，所以
12、abcd. 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.已知幂函数f(x)x4m(mN*)为奇函数，且在区间(0，)上单调递 增，则m等于 A.1 B.2 C.1或3 D.3 解析因为f(x)x4m在(0，)上单调递增， 所以4m0.所以m2.5，则的取值范围是_. 解析因为02.42.5， 所以yx在(0，)上单调递减.故0. (，0) 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.给出以下结论： 当0时，函数yx的图象是一条直线； 幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点； 若幂函数yx的图象关于原点对称，则yx在定义域内y随x的增大 而增大； 幂
13、函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限. 则正确结论的序号为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析当0时，函数yx的定义域为x|x0，xR，故不正确； 当0时，函数yx的图象不过(0,0)点，故不正确； 幂函数yx1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故 不正确. 正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.比较下列各组数的大小： 解函数y 在(0，)上单调递减， (1) 和 ； 7 2 3 7 2 3.2 7 2 x 又33.2，所以 . 77 22 33.2 12345678910 11 12 13 14 15 1
14、6 解函数y 在(0，)上单调递增， (2) 和 ； 所以 . 2 3 2 3 2 3 6 2 3 x 22 33 2 36 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.已知幂函数f(x)(m25m7)xm1为偶函数. (1)求f(x)的解析式； 解由m25m71可得m2或m3， 又f(x)为偶函数，则m3，所以f(x)x2. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)若g(x)f(x)ax3在1,3上不是单调函数，求实数a的取值范围. 所以实数a的取值范围为(2,6). 12345678910 11 12 13 14 15 综合运用 16 11.
15、在同一坐标系内，函数yxa(a0)和yax 的图象可能是 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析选项A中，幂函数的指数a1，则直线yax 应为增函数，B错误； 选项D中，幂函数的指数a0，直线yax 与y轴交点的纵 坐标应为正，D错误. 12345678910 11 12 13 14 15 16 1 2 x 解析因为函数f(x) 在(0，)上单调递增， 1 2 x 13.函数f(x) b3是幂函数，则下列结论正确的是 A.f(a)f(b) B.f(a)b0， f(a)f(b). 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.有四个幂函数：f(x)x
16、1；f(x)x2；f(x)x3；f(x) .某同 学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质： (1)偶函数； (2)值域是y|y0； (3)在(，0)上单调递增. 如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是 _(填序号). 1 3 x 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析对于函数，f(x)x1，这是一个奇函数，值域是y|y0， 在(，0)上单调递减，所以三个性质中有两个不正确； 对于函数，f(x)x2，这是一个偶函数，其值域是y|y0，在(， 0)上单调递增， 所以三个性质中有两个正确，符合条件； 同理可判断中函数不符合条件. 拓广探究 1
17、2345678910 11 12 13 14 15 16 15.为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原 理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密).现在加 密密钥为yx(为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收 方接到密文“3”，则解密后得到的明文是_.9 则y ，由 3，得x9，即明文是9. 1 2 x 1 2 x 16.已知幂函数yx3m9(mN*)的图象关于y轴对称且在(0，)上单 调递减，求满足 的a的取值范围. 12345678910 11 12 13 14 15 16 33 (1)(32 ) mm aa 解因为函数在(0，)上单调递减，所以3m90， 解得m32a0或32aa10或a1032a， 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：
