1、4.4.2对数函数的图象和性质(二) 第四章4.4对数函数 1.进一步掌握对数函数的图象和性质. 2.利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题. 3.了解反函数的概念和图象特点. 学 习 目 标 随堂演练课时对点练 一、与对数函数有关的定义域问题 二、与对数函数有关的综合性问题 三、反函数 内容索引 一、与对数函数有关的定义域问题 例1求下列函数的定义域： 解要使函数式有意义，则lg(2x)0， 故函数的定义域为(，1. 解要使函数式有意义，则log3(3x2)0， 解得x0，求x的取值范围； 解函数f(x)log2(x1)2， f(x)0，即log2(x1)20， log2(x1)2，x
2、14， x3.x的取值范围是(3，). (2)若x(1,3，求f(x)的值域. 解x(1,3，x1(0,4， log2(x1)(，2， log2(x1)2(，0. f(x)的值域为(，0. 反思感悟(1)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对 数函数的单调性求解； (2)判断函数的奇偶性，一定要先求函数的定义域，再研究f(x)与f(x)的 关系. 解析因为函数f(x)的定义域为(1,1)， A.关于原点对称B.关于直线yx对称 C.关于直线yx对称D.关于y轴对称 所以函数f(x)为奇函数，所以函数图象关于原点对称. 三、反函数 问题在同一坐标系下，画出函数y2x与ylog2x的图
3、象，观察两函数 图象的关系. 提示 反函数：指数函数 (a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1) 互为反函数.它们的定义域与值域正好互换. 注意点注意点： (1)同底的指数函数与对数函数互为反函数；(2)互为反函数的两个函数图 象关于yx对称.(高中阶段只要求掌握这一类反函数) 知识梳理 yax 例3若函数yf(x)是函数y2x的反函数，则f(f(2)的值为 A.16 B.0 C.1 D.2 解析函数y2x的反函数是ylog2x， 即f(x)log2x. f(f(2)f(log22)f(1)log210. 反思感悟互为反函数的函数的性质 (1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数
4、(2)互为反函数的定义域与值域互换 (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称 所以反函数的定义域为x1,4. 1.知识清单： (1)利用对数函数的单调性求函数的定义域. (2)求简单对数的值域、最值、奇偶性问题. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：求对数型函数的定义域时，有时需求几部分的交集. 课堂小结 随堂演练 A.(0,2) B.(0,2C.(2，) D.2，) 1234 函数f(x)的定义域为(2，). 1234 2.函数yxlog2x(x1)的值域为 A.(1，) B.(，1) C.1，) D.1，) 3.若函数f(x)axloga(x1)在0,1上的最大值和最小值之和为
5、a，则a的 值为 解析由题意得f(x)在0,1上单调递增或单调递减， f(x)的最大值或最小值在端点处取得， 即f(0)f(1)a， 1234 1234 解析由题意得f(x)logax(a0，且a1，x0)， 2 3 a 课时对点练 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 1.已知函数f(x)log2x，若函数g(x)是f(x)的反函数，则f(g(2)等于 A.1 B.2 C.3 D.4 解析g(x)是f(x)的反函数， g(x)2x， g(2)224，则f(g(2)f(4)log242. 16 2.若点(a，b)在函数ylg x的图象上，a1，则下列点也在此图象上的是
6、 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为点(a，b)在函数ylg x的图象上，所以blg a. 当x10a时，有ylg(10a)1lg a1b，所以点(10a,1b)不在此函 数的图象上，B不正确； 当xa2时，有ylg a22lg a2b，所以点(a2,2b)在此函数的图象上，D 正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 A.cab B.cbaC.bac D.abc 16 1 3 2 , 3 c 1 3 2 0, 3 c cba. 12345678910 11 12 13 14 15
7、 4.设f(x)是奇函数，当x0时，f(x)log2x，则当x0时，f(x)的解析式为 A.log2x B.log2(x)C.log2(x) D.logx2 解析当x0，f(x)log2(x). 又因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)， 所以f(x)f(x)，所以f(x)log2(x). 16 12345678910 11 12 13 14 15 5.某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今 后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开 始超过200万元的年份是 (参考数据：lg 1.080.033，lg 20.301，lg 30.477)
8、 A.2020年 B.2021年C.2022年 D.2023年 解析设经过n年该企业全年投入的研发资金开始超过200万元， 16 取n4，则经过4年后是2022年. 12345678910 11 12 13 14 15 16 A.y2x B.ylog2xC.yx2 D. 1 2 yx 12345678910 11 12 13 14 15 (0,1)(1,2 16 12345678910 11 12 13 14 15 8.设a1，函数f(x)logax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为 ，则a _. 4 解析a1，f(x)logax在a,2a上单调递增， 16 1 2 =2,a a4. 12
9、345678910 11 12 13 14 15 9.已知函数f(x)loga(10 x)loga(10 x)(a0，且a1). (1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由； 解函数f(x)是奇函数. 理由如下： 16 即函数的定义域为(10,10). 函数的定义域关于原点对称. 则f(x)loga(10 x)loga(10 x)loga(10 x)loga(10 x)f(x)， 即函数f(x)是奇函数. 12345678910 11 12 13 14 15 (2)若f(x)0，求x的取值范围. 解若f(x)0，则f(x)loga(10 x)loga(10 x)0， 即loga(10 x)loga
10、(10 x)， 16 综上，当a1时，x的取值范围为(0,10)， 当0a1时，x的取值范围为(10,0). 12345678910 11 12 13 14 15 证明函数f(x)的定义域是R， f(x)log21(x)2log2(1x2)f(x)， 所以函数f(x)是偶函数. 16 10.已知函数f(x)log2(1x2). 求证：(1)函数f(x)是偶函数； 12345678910 11 12 13 14 15 证明设x1，x2为区间(0，)内的任意两个实数，且x1x2， 所以f(x1)0时，f(x)lg x在区间(0，)上单调递增，又因为f(x)为偶函数， 所以f(x)lg|x|在区间(
11、，0)上单调递减. 16 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 解析易知该函数的定义域为R， 12345678910 11 12 13 14 15 16 f(x)f(x)， f(x)为奇函数. 12345678910 11 12 13 14 15 16 14.如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行 于x轴，顶点A，B和C分别在函数y13logax，y2 2logax和ylogax(a1)的图象上，则实数a的值 为_. 解析设B(x,2logax)，BC平行于x轴，C(x，2logax)， 即logax2logax，xx2， 正方形ABCD的边长|BC|x2x2，解得
12、x2. 由已知，得AB垂直于x轴， A(x,3logax)，正方形ABCD边长|AB|3logax2logax logax2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知f(x)|log3x|，若f(a)f(2)，则a的取值范围为_. 解析作出函数f(x)的图象，如图所示， 12345678910 11 12 13 14 15 16 1 2 1 log 1 ax x 16.已知函数f(x) 的图象关于原点对称，其中a为常数. (1)求a的值； 解函数f(x)的图象关于原点对称， 函数f(x)的定义域关于原点对称， 令(x1)(1ax)0， 经验证，a1满足题意. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)若当x(1，)时，f(x) 恒成立，求实数m的取值范围. 1 2 log1xm- 解 1111 2222 1 log1loglog1log1 1 x fxxxx x ， 当x1时， 1 2 log1+1,x 1 2 log1 xm又当x(1，)时，f(x) 恒成立， m1. 即实数m的取值范围是1，). 本课结束 更多精彩内容请登录：
