1、 ？ 高中数学必修第一册高中数学必修第一册 优化优化设计设计 精品课件精品课件 ？ 3.2.2奇偶性 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.结合具体函数结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义了解奇偶性的概念和几何意义. 2.了解奇函数、偶函数的图象特征了解奇函数、偶函数的图象特征. 3.掌握判断函数的奇偶性的方法掌握判断函数的奇偶性的方法,能够利用函数能够利用函数 的奇偶性解决简单的问题的奇偶性解决简单的问题. 4.体会数学抽象的过程体会数学抽象的过程,感受直观想象在解决问感受直观想象在解决问 题中的应用题中的应用,提升数学运算以及逻辑推理能力提升数学运算以及逻辑推理能力. 自主自主预
2、习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、偶函数和奇函数的定义一、偶函数和奇函数的定义 【问题思考】【问题思考】 试分别针对上述函数计算试分别针对上述函数计算f(-x),并判断并判断f(-x)与与f(x)具有怎样的具有怎样的 关系关系. 提示提示:满足满足f(-x)=f(x);满足满足f(-x)=-f(x);既不满足既不满足 f(-x)=f(x),也不满足也不满足f(-x)=-f(x). ？ 2. ？ 3.做一做做一做:下列函数中是奇函数的是下列函数中是奇函数的是() A.f(x)=x
3、+1 B.f(x)=|x3| C.f(x)=-2x D.f(x)=x2+x 答案答案:C ？ 二、偶函数和奇函数的图象特征二、偶函数和奇函数的图象特征 【问题思考】【问题思考】 1.考查函数考查函数f(x)=x2和和 ,作出它们的图象作出它们的图象.f(x)和和g(x)分别分别 是偶函数还是奇函数是偶函数还是奇函数?它们的图象有何对称性特征它们的图象有何对称性特征? 提示提示:f(x)是偶函数是偶函数,图象关于图象关于y轴对称轴对称;g(x)是奇函数是奇函数,图象关图象关 于原点对称于原点对称. ？ 2.偶函数的图象关于偶函数的图象关于 y轴轴对称对称,奇函数的图象关于奇函数的图象关于原点原点
4、对称对称. 3.做一做做一做:下列函数中下列函数中,图象关于图象关于y轴对称的是轴对称的是() 答案答案:A ？ 三、函数的奇偶性三、函数的奇偶性 【问题思考】【问题思考】 提示提示:定义域是定义域是2,-2,是奇函数是奇函数,也是偶函数也是偶函数. 2.如果如果函数函数f(x)是是奇函数奇函数或或偶函数偶函数,那么就说函数那么就说函数f(x)具有奇偶具有奇偶 性性. ？ 3.函数按照奇偶性可分为奇函数、偶函数、非奇非偶函数、函数按照奇偶性可分为奇函数、偶函数、非奇非偶函数、 既奇又偶函数既奇又偶函数,其中既奇又偶函数的解析式可以有多种形式其中既奇又偶函数的解析式可以有多种形式, 但其定义域一
5、定关于原点对称但其定义域一定关于原点对称,且解析式经化简后一定为零且解析式经化简后一定为零. ？ 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打正确的在后面的括号内打“ ”,错误错误 的打的打“”. (1)若函数的定义域关于原点对称若函数的定义域关于原点对称,则该函数是奇函数或偶函则该函数是奇函数或偶函 数数.( ) (2)奇函数的图象一定经过原点奇函数的图象一定经过原点.( ) (3)偶函数的图象一定与偶函数的图象一定与y轴相交轴相交.( ) (4)若若f(x)是奇函数是奇函数,则必有则必有f(x)+f(-x)=0.( ) (5)若若f(x)是偶函
6、数是偶函数,则必有则必有f(x)=f(-x)=f(|x|).( ) ？ 合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 探究探究一一 判断判断函数的奇偶性函数的奇偶性 ？ 解解:(1)因为函数因为函数f(x)的定义域为的定义域为x|x-1,不关于原点对称不关于原点对称,所以所以 函数函数f(x)是非奇非偶函数是非奇非偶函数. (2)函数函数f(x)的定义域为的定义域为R,因为对因为对 xR,都有都有-xR,且且f(-x)= (-x)3-2(-x)=-x3+2x=-(x3-2x)=-f(x),所以函数所以函数f(x)是奇函数是奇函数. ？ (4)函数的定义域关于原点对称函数的定义域关于原点对称. (方法一
7、方法一)当当x0时时,-x0, f(-x)=-(-x)+1=x+1=f(x); 当当x0, f(-x)=(-x)+1=-x+1=f(x), 即即f(-x)=f(x).故故f(x)是偶函数是偶函数. 图象关于图象关于y轴对称轴对称,故故f(x)是偶函数是偶函数. ？ 反思感悟反思感悟 给给出函数的解析式出函数的解析式,判断函数奇偶性的方法步骤如下判断函数奇偶性的方法步骤如下: ？ 【变式训练【变式训练1】 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x2+1,x-2,2); (2)f(x)=|x-1|+|x+1|; (3)f(x)=0,xR. 解解:(1)f(x)的定义域的定义域
8、-2,2)不关于原点对称不关于原点对称, f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数. (2)f(x)的定义域为的定义域为R,关于原点对称关于原点对称, f(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=f(x),f(x)为偶函数为偶函数. (3)f(x)=0,xR,f(-x)=f(x),且且f(-x)=-f(x), f(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数. ？ 探究探究二二 函数函数奇偶性的图象特征奇偶性的图象特征 ？ ？ 反思感悟反思感悟 根据奇函数、偶函数的图象特征根据奇函数、偶函数的图象特征,可以解决作图问题可以解决作图问题.如果一如果一 个函数是偶函数个函数是偶函数
9、,那么已知其在那么已知其在y轴一侧的图象轴一侧的图象,可以作其关于可以作其关于 y轴对称的图象轴对称的图象,即得即得y轴另一侧的图象轴另一侧的图象;如果一个函数是奇函如果一个函数是奇函 数数,那么已知其在那么已知其在y轴一侧的图象轴一侧的图象,可以作其关于原点对称的图可以作其关于原点对称的图 象象,即得即得y轴另一侧的图象轴另一侧的图象. ？ 【变式训练【变式训练2】 已知奇函数已知奇函数f(x)的定义域为的定义域为-5,5,其其y轴右侧轴右侧 图象如图所示图象如图所示,写出使写出使f(x)0的的x的取值集合的取值集合. 解解:由于由于f(x)为奇函数为奇函数,y轴右侧图象已知轴右侧图象已知,
10、结结 合奇函数图象关于原点对称合奇函数图象关于原点对称,画画出出y轴轴左侧左侧 的的图象图象,如图所示如图所示,由图象知由图象知,当当x(0,2)时时, f(x)0;当当x(-5,-2)时时,f(x)0,所以使所以使f(x)0 的的x的取值集合为的取值集合为(-5,-2)(0,2). ？ 探究探究三三 函数函数奇偶性的应用奇偶性的应用 【例【例3】 (1)已知函数已知函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数为偶函数,则实数则实数a= . 解析解析:函数函数f(x)为偶函数为偶函数, f(-x)=f(x),即即(-x+a)(-x-4)=(x+a)(x-4), 即即x2+(4-a)x-4a=x2
11、-(4-a)x-4a,故故4-a=-(4-a),解得解得a=4. 答案答案:4 ？ (2)若若f(x)是定义在是定义在R上的奇函数上的奇函数,当当x0时时,-x0时的解时的解 析式析式? 解解:设设x0,则则-x0时时,f(x)=-x(1+x). ？ 反思感悟反思感悟 1.利用函数的奇偶性求参数值的常见类型及求解策略利用函数的奇偶性求参数值的常见类型及求解策略: (1)函数的定义域含参数函数的定义域含参数:奇奇(偶偶)函数函数f(x)的定义域为的定义域为a,b,根据根据 定义域关于原点对称定义域关于原点对称,可以利用可以利用a+b=0求参数求参数. (2)函数的解析式含参数函数的解析式含参数:
12、根据根据f(-x)=-f(x)或或f(-x)=f(x)列式列式,比较比较 系数可解系数可解. 2.已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式,求该函数在求该函数在 与已知区间关于原点对称的区间上的解析式时与已知区间关于原点对称的区间上的解析式时,首先设出所首先设出所 求区间上的自变量求区间上的自变量,利用奇函数、偶函数的定义域关于原点利用奇函数、偶函数的定义域关于原点 对称的特点对称的特点,把它转化到已知解析式的区间上把它转化到已知解析式的区间上,代入已知的解代入已知的解 析式析式,然后利用函数的奇偶性求解即可然后利用函数的奇偶性求解即可. ？ 易易 错错
13、 辨辨 析析 ？ 判断函数的奇偶性时忽视函数的定义域致错判断函数的奇偶性时忽视函数的定义域致错 以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改 正正?你如何防范你如何防范? ？ 提示提示:错解中忽视了对函数定义域的分析错解中忽视了对函数定义域的分析,事实上事实上,由于定义域由于定义域 是是(-1,1,不关于原点对称不关于原点对称,此时再去研究此时再去研究f(-x)与与f(x)的关系是的关系是 多余的多余的,该函数一定是非奇非偶函数该函数一定是非奇非偶函数. 即函数即函数f(x)的定义域是的定义域是x|-1x1.因为函数的定义域不关于因为
14、函数的定义域不关于 坐标原点对称坐标原点对称,所以该函数既不是奇函数又不是偶函数所以该函数既不是奇函数又不是偶函数. ？ 防范措施防范措施 给定给定函数的解析式判断其奇偶性时函数的解析式判断其奇偶性时,必须先求出函数的定义必须先求出函数的定义 域域,考查定义域是否关于原点对称考查定义域是否关于原点对称,如果关于原点对称如果关于原点对称,那么再那么再 研究研究f(-x)与与f(x)的关系的关系,最后结合奇函数与偶函数的定义得出最后结合奇函数与偶函数的定义得出 结论结论;否则否则,若定义域不关于原点对称若定义域不关于原点对称,则该函数就是非奇非偶则该函数就是非奇非偶 函数函数. ？ ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 答案答案:ACD ？ 2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是下列图象表示的函数中具有奇偶性的是() 答案答案:B ？ A.0C.-1D. 1 解析解析:由已知得由已知得f(x)为奇函数为奇函数,且在且在x=0时有意义时有意义,故故f(0)=0,解得解得 m=1. 答案答案:B ？ 4.若若f(x)为奇函数为奇函数,且且f(-3)=6,则则f(3)-f(-3)=. 解析解析:f(3)-f(-3)=-f(-3)-f(-3)=-2f(-3)=-12. 答案答案:-12 ？
