1、 高三数学参考答案及评分细则（第 1 页共 21 页） 20212022 学年第一学期福州市高三期末质量检测 数 学 试数 学 试 题题 （完卷时间：120 分钟；满分:150 分） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 到 3 页，第卷 3 至4 页 注意事项：注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致 2. 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用 0.5 毫米黑色签字
2、笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 3. 考试结束，考生必须将答题卡交回 第第 卷卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1. 已知集合*22, 120ABxxx N，则AB A B21 1， ， C21 1 2， ， D21 0 1 2， ， 【答案】C 【解析】*121 2BxxN ，所以AB 21 1 2， ，故选 C 【考查意图】本小题以集合为载体，主要考查集合的概念和基本运算等基础知识；考查运算求解能力、
3、推理论证能力； 考查数学运算、 逻辑推理等数学核心素养， 体现基础性 2. 已知34iz ，则+ izz A1+3i B84i C9+3i D29+3i 【答案】C 【解析】因为34iz ，所以+ i5+ 34i i=9+3izz ，故选 C 【考查意图】本小题以复数为载体，主要考查复数的基本概念等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现基础性 3. 已知甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数均为 16，方差为0.8，则三年后，下列判断错误的是 A这五位同学年龄的平均数变为 19 B这五位同学年龄的中位数变为 19 C这五位同学年龄
4、的方差仍为 0.8 D这五位同学年龄的方差变为 3.8 【答案】D 【考查意图】本小题以“五位同学的年龄”为载体，考查平均数、中位数、方差等基础知识；考查应用意识；考查逻辑推理等核心素养；体现基础性与应用性 高三数学参考答案及评分细则（第 2 页共 21 页） 4. 613xx展开式中的常数项为 A540 B15 C15 D135 【答案】D 【 解 析 】 二 项 式613xx的 展 开 式 的 第1r 项 为616(3)rrrrTCxx36626( 1) C 3rrrrx令3602r，解得4r ，所以42651353TC，所以613xx展开式中的常数项为 135故选 D. 【考查意图】本小
5、题以二项式为载体，主要考查二项式定理等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性 5. 已知函数3310( )0 xxf xaxbx， ，为偶函数，则2 +ab A3 B32 C12 D32 【答案】B 【解析】解法一、当0 x 时，0 x，所以33()()1+1fxxx ，因为( )f x为偶函数，所以3( )()+1f xfxx ，又3( )f xaxb，所以1,1ab，所以32 +2ab 解法二、因为( )f x为偶函数，所以 ( 1)1 ,( 2)2 ,ffff所以2,89,abab 解得11ab ，经检验，11ab ，符合题意，所以32 +
6、2ab 【考查意图】本小题以分段函数为载体，主要考查函数的奇偶性的定义等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性 6. 已知一张边长为 2 的正方形纸片绕着它的一条边所在的直线旋转4弧度， 则该纸片扫过的区域形成的几何体的表面积为 A2 B C D 【答案】C 【解析】 因为一个边长为2的正方形纸片绕着一条边旋转4， 所形成的几何体为柱体，该柱体是底面半径r为 2， 高h为 2 的圆柱的八分之一， 所以其表面积21228Srhr 2222122222828 ，故选 C 高三数学参考答案及评分细则（第 3 页共 21 页） 【考查意图】本小题以旋转体
7、为载体，主要考查旋转体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性 7. 已知函数 sinf xx的部分图象如图所示，则 f x的单调递增区间为 A15,66kkkZ B152,2,66kkkZ C15,66kkkZ D152,2,66kkkZ 【答案】D 【解析】解法一、由2342,3mmmm Z ,Z解得2,3mm ,Z sin2sin33f xxmx ， 令232kxkk Z，解得1566k xk k Z故选 D 解法二、由图象知411,2,233TT 又1453326x时，( )
8、f x取得最大值， 排除 A、B、C.故选 D 【考查意图】本小题以三角函数的图象为载体，考查三角函数的图象和性质等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性 8. 已知O为坐标原点，F是双曲线2222:100 xyCabab ， 的左焦点，A为C的右顶点 过F作C的渐近线的垂线， 垂足为M， 且与y轴交于点P 若直线AM经过OP的中点，则C的离心率为 A2 B32 C3 D43 【答案】A 【解析】解法一、如图所示，设AM交y轴于Q，过M作x轴的垂线，垂足为N 由双曲线性质可知，FMb，OFc OMa， 由FMNFPO，A
9、QOAMN得 高三数学参考答案及评分细则（第 4 页共 21 页） FNMNFOPO,AOQOANMN,以上两式相乘得12FNAOFOAN，所以2212acacac ac， 所以2212a caac ca，即12cac，所以1112e，解得2e 故选 A 解法二、如图所示，设AM交y轴于Q，过M作x轴的垂线，垂足为N不妨设渐近线方程为byxa ， 则直线FP的方程为ayxcb， 令0 x ， 得Pacyb 由byxaayxcb ，可得2aabMcc， 则2AMabbckaacac ， 所以直线AM的方程为byxaac ，令0 x 得Qabyac 因为Q为OP中点， 所以2abacacb， 整理
10、得222222accbca，即2220caca，所以220ee，解得2e ，或1e （舍去）故选 A 解法三：如图所示，设AM交y轴于Q由双曲线性质可知，FMb，OFc ，OMaOA， 所 以OMQOAQ 在RtOPM中 ， Q为OP中 点 ， 所 以MQOQPQ，所以QOMOMQOAQ ，所以RtRtOMPAOQ，所以MP OQ，所以MPQ为正三角形，所以60MPQ，故30MFO， 所以2 ,ca所以2e . （也可以利用tan30FPakb， 即212bea） ， 故选 A xyOFAMPQNxyOFAMPQN 高三数学参考答案及评分细则（第 5 页共 21 页） 【考查意图】本小题以双曲
11、线为载体，主要考查双曲线的图象和性质、直线与双曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9. 已知向量3 111， ，mn=mn=，则 Amnn Bmnn C2mn D45，m n 【答
12、案】BCD 【解析】 依题意， 12 02，m =mnmn，12n=mn1 1，mn，所以 111 10，mnn，所以mnn，所以选项 A 错误，B 正确 所以22mn，选项 C 正确；22cos222，m nm nm n， 因为0180m n， ，所以45，m n，选项 D 正确 【考查意图】本小题以平面向量为载体，考查平面向量的坐标表示、平面向量共线与垂直、平面向量模长、夹角等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性 10. 某人有 6 把钥匙，其中n把能打开门如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的
13、钥匙扔掉，设第二次才能打开门的概率为p，则下列结论正确的是 A. 当1n 时，16p B. 当2n 时，13p ， C. 当3n 时，310p D. 当4n 时，45p 【答案】AC 【解析】当1n 时，5 11656p，选项 A 正确；当2n 时，4246 515p，选项 B错误；当3n 时，3 336 510p，选项 C 正确；当4n 时，2446 515p，选项 D错误故选 AC 【考查意图】本小题以“取钥匙开门”为载体，考查随机事件的概率等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查化归与转化思想、或然与必然思想；xyOFAMPQ 高三数学参考答案及评分细则（第 6 页共
14、21 页） 考查数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性 11. 已知3 03 0AB ， ，动点C满足2CACB，记C的轨迹为过A的直线与交于P Q，两点，直线BP与的另一个交点为M，则 AQ M，关于x轴对称 BPAB的面积的最大值为6 3 C当45PMQ时，4 2PQ D直线AC的斜率的取值范围为33， 【答案】AC 【解析】设C x y，由2CACB得223xy2223xy，整理得的方程 为25x2y 16， 其 图 象 是 以5 0D，为 圆 心 ， 半 径4r 的 圆 故max11641222PABSAB r ，选项 B 错误因为2PAPB，2MAMB，所以PAP
15、BMAMB，所以PABMAB，又轨迹的图象关于x轴对称，所以Q M，关于x轴对称，选项 A 正确当45PMQ时，452PDQ90，则DPQ为等腰直角三角形，24 2PQr，选项 C 正确当直线AC与圆D相切时，CDAC，此时822ADrCD，切线AC的倾斜角为30和150，结合图象，可得直线AC的斜率的取值范围为3333，选项 D 错误故选 AC 【考查意图】本小题以圆为载体，主要考查直线与圆的位置关系、弦长、图象的对称性等基础知识； 考查运算求解能力、 推理论证能力； 考查数形结合思想、 函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性 12. 设函数1( )e
16、1exxf xxx，则 A( )(1)f xfx xy12312345678912341234POABDQM 高三数学参考答案及评分细则（第 7 页共 21 页） B函数( )f x有极大值为e C若121xx，则1122( )ex f xx f x D若121xx，且212x ，则21()1f xfx 【答案】ACD 【解析】易验证 A 是正确的，也即函数( )f x关于直线12x 对称故选项 A 正确； 因为11( )ee2eexxxxfxxx1+1 e2 exxxx，所以1( )02f ， 当12x 时，113( )+1 e2 e(ee)2xxxxfxxx，此时1xx ，所以( )0fx
17、， 故函数( )f x在1( ,)2上单调递增； 由于函数( )f x关于直线12x 对称，所以函数( )f x在1(,)2上单调递减 所以函数( )f x在12x 处有极小值，也是最小值，1( )e2f故选项 B 错误； 若121xx，且212x ，则21112xx ，由( )f x在1( ,)2上单调递增得21()1f xfx故选项 D 正确； 由于函数( )f x的最小值为e，所以1( )ef x， 若121xx，则211xx ，所以211f xfx， 又因为 111f xfx，所以 12f xf x， 故112211211211( )( )( )( )( )ex f xx f xx f
18、 xx f xxxf xf x，故选项 C 正确 故选 ACD. 【考查意图】本小题以函数为载体，考查函数与导数、函数的基本性质、函数的极值等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力、创新意识；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养；体现综合性与创新性 第第卷卷 注意事项：注意事项： 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 曲线3( )2f xxx在0 x 处的切线方程是 【答案】20 xy 高三数学参考答案及评
19、分细则（第 8 页共 21 页） 【解析】依题意得，(0)0f， 232fxx，所以 02f ，所以所求的切线方程为2yx，即20 xy 【考查意图】本小题以三次函数为载体、考查导数的几何意义等基础知识；考查抽象概括能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想；考查数学抽象、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性 14. 在正三棱柱111ABCABC中，12ABAA，F是线段11AB上的动点，则1AFFC的最小值为 【答案】62 【解析】将正三棱柱111ABCABC上底面沿11AB展开至平面11ABB A上，如图所示，因为1112AAAC，且1190 +60 =150AAC，所以11
20、112sin2AACACAA22sin75 62，所以1AFFC的最小值为62 【考查意图】本小题以正三棱柱为载体，主要考查空间中动点到两定点的距离和最小值等基础知识； 考查空间想象能力、 推理论证能力； 考查化归与转化思想； 考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性 15. 抛物线2:2(0)E ypx p的焦点为 F， 点 A 是E的准线与坐标轴的交点， 点P在E上，若30PAF，则sinPFA 【答案】33 【解析】过P作准线的垂线，垂足为B， 所以30BPAPAF ，PBPF 在RtBPA中，cos30PBPA， 即在PAF中，cos30PFPA， xyOAPFB 高三数学参考答案
21、及评分细则（第 9 页共 21 页） 又由正弦定理sinsinPAPFPFAPAF， 所以sin303sinsincos303PAPFAPAFPF 【考查意图】本小题以抛物线为载体，主要考查抛物线的方程与定义、解三角形等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现基础性 16. 函数 yx称为高斯函数， x表示不超过 x 的最大整数，如0.90，lg991已知数列 na满足33a ，且1nnnan aa，若lgnnba，则数列 nb的前 2 022 项和为 【答案】4959 【解析】利用累乘法(或13113nnaaann),得nan记
22、nb的前n项和为nT， 当19n时，0lg1na 时，lg0nnba； 当1099n时，1lg2na 时，1nb ； 当100999n时，2lg3na 时，2nb ； 当10002022n时，3lg4na 时，3nb ； 所以 2022122022lglglg90 1 900 2 1023 34959Taaa 【考查意图】本小题以数列为载体，考查数列求通项、递推数列、数列前n项的和等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养；体现综合性与创新性 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共
23、小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. （10 分） 设数列 na是首项为 1 的等差数列，若2a是1a，5a的等比中项，且23aa. （1）求 na的通项公式； （2）设11nnnba a，求数列 nb的前n项的和nS 【考查意图】本小题主要考查等比中项、等差数列的通项公式、裂项相消求和等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 10 分 【解】 （1）设等差数列 na的公差为d， 因为11a ，且2a是1a，5a的等比中项， 所以2
24、215aa a， 1 分 高三数学参考答案及评分细则（第 10 页共 21 页） 所以21114ada ad， 2 分 又因为11a ， 所以2114dd 解得2d ，或0d ， 3 分 又因为23aa， 所以0d ，所以2d ， 4 分 所以1112121nandnan 5 分 （2）由（1）知，21nan， 因为11nnnaba， 所以1111()(21)(21)2 2121nbnnnn， 7 分 所以11111111(1)()()()2335572121nSnn 8 分 =11(1)221n 9 分 .21nn 10 分 18. （12 分） 为让人民享受到更优质的教育服务，我国逐年加大
25、对教育的投入下图是我国 2001年至 2019 年间每年普通本科招生数y（单位：万人）的条形图 普通高等学校本科招生数（万人） （数据来源：国家统计局网站） 为了预测 2022 年全国普通本科招生数，建立了y与时间变量t的三个回归模型其中根据 2001 年至 2019 年的数据（时间变量t的值依次为1 2 319， ，）建立模型： 高三数学参考答案及评分细则（第 11 页共 21 页） 0.058166.9ety ，相关指数210.87R ；模型：152.4 16.3yt，相关系数20.97r ，相关指数220.95R根据 2014 年至 2019 年的数据（时间变量t的值依次为1 2 36，
26、 ，）建立模型：372.89.8yt，相关系数30.99r ，相关指数230.99R （1）可以根据模型得到 2022 年全国普通本科招生数的预测值为 597.88 万人，请你分别利用模型、，求 2022 年全国普通本科招生数的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 【考查意图】本小题主要考查回归分析、相关指数、相关系数等基础知识；考查数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查函数与方程思想、化归与转化思想；考查数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性与创新性满分 12 分 【解】 （1）利用模型，2022 年全国普通本科招生数的预测值为
27、 152.4 16.3 22511y （万人） ； 3 分 利用模型，2022 年全国普通本科招生数的预测值为 372.89.8 9461y （万人） 6 分 （2）利用模型得到的预测值更可靠 7 分 理由如下： （）从条形图可以看出，2001 年至 2010 年，2011 年至 2019 年两个区间增长率有显著区别，2014 年至 2019 年招生数增长速度趋于稳定，线性关系更为明显，故模型比模型、能更好地描述时间变量与招生数的变化趋势 9 分 （）从计算结果可以看出，模型的相关指数230.99R最高，说明其拟合效果最好模型的相关系数30.99r 比模型的相关系数20.97r 高，说明模型的
28、两变量的相关性比模型更强，因此利用模型得到的预测值更可靠 12 分 19. （12 分） 记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知coscoscaBcA （1）试判断ABC的形状，并说明理由； （2）设点D在边AC上，若ADBD，sinsinADBABC，求ab的值. 【考查意图】本小题主要考查解三角形等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 12 分 【解】解法一、 （1）ABC为直角三角形或ABC为等腰三角形. 1 分 理由如下： 在ABC中，因为coscoscaBcA， 根据
29、正弦定理得， sinsincossincosCABCA， 2 分 高三数学参考答案及评分细则（第 12 页共 21 页） ABCD又因为()CAB， 所以sin()sincossincosABABCA， 即sincoscossinsincossincosABABABCA， 即cossinsincosABCA， 3 分 所以cos0A 或sinsinBC， 4 分 若cos0A ，则2A，故此时ABC为直角三角形. 分 若sinsinBC，则由正弦定理得，bc.故此时ABC为等腰三角形. 综上，ABC为直角三角形或ABC为等腰三角形. 6 分 （2）由（1）知，2A或bc， 若2A，则ADBD，
30、这与已知条件ADBD相矛盾， 所以2A； 7 分 所以bc， 所以ABCC . 又因为sinsinADBABC， 所以sin()sinADBC， 即sinsinBDCC， 故BDCC ， 8 分 所以ADBC . 在DBC中，sinsinBCDBCBDCDC， 在ABC中，sinsinBCABCAAC， 9 分 两式相乘得2BCAC DC， 10 分 (也可通过等腰ABCBDC得到2BCAC DC.) 又ACADACBDACBCCD， 所以2()ab ba， 11 分 解得512ab或512ab（舍去） 所以ab的值为512 12 分 解法二、 （1）ABC为直角三角形或ABC为等腰三角形.
31、1 分 理由如下： 因为coscoscaBcA， 高三数学参考答案及评分细则（第 13 页共 21 页） ABCD根据余弦定理，得22222222acbbcacacacbc ， 分 22222222acbbcacb， 所以22222222acbbcaccb， 分 即2222222222cacbbcacb， 所以222222()()b cbac bca， 分 所以222()()()()0bc bcbc bbcca bc， 所以222()()0bc bca， 分 即222abc或bc， 所以ABC为直角三角形或ABC为等腰三角形. 6 分 （2）由（1）知，2A或bc， 若2A，则ADBD，这与已
32、知条件ADBD相矛盾，所以2A； 7 分 所以bc， 所以ABCC . 又因为sinsinADBABC， 所以sin()sinADBC， 即sinsinBDCC， 故BDCC ， 8 分 所以ADBC . 又因为ADBD，所以ADBA ， 即BD平分ABC， 9 分 所以BADABCDC， 10 分 所以caaba， 所以baaba， 11 分 解得512ab或512ab（舍去） 所以ab的值为512 12 分 高三数学参考答案及评分细则（第 14 页共 21 页） 20. （12 分） 如 图 ， 在 三 棱 锥DABC中 ，DA底 面ABC，1ACBCDA，2AB ，E是CD的中点，点F在
33、DB上，且EFDB （1）证明:DB 平面AEF； （2）求二面角ADBC的大小 【考查意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，二面角等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与空间想象能力；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 12 分 【解】 解法一、 （1）DA平面ABC， 且BC 平面ABC， DABC， 12ACBCAB， 222ACBCAB，ACBC， 1 分 DAACA，BC平面DAC， 2 分 AE 平面DAC，BCAE 又DAAC，E是CD的中点， DCAE， 3 分 又BCDCC，AE平面DBC DB平面DB
34、C，DBAE， 4 分 ,EFDB EFAEE， DB平面AEF 5 分 （2）过点A作AGBC，由（1）知BC 平面DAC，所以AG 平面DAC 以点A为原点，分别以向量AC AG AD， ，为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 6 分 则0,0,0A，1,0,0C，1,1,0B，0,0,1D， 则0,0,1 ,AD 1, 1,11,0,1BDCD ， 设平面ADB的法向量111,mx y z， 则0,0,m ADm BD 所以11110,0,zxyz 令11y ， DEFABC 高三数学参考答案及评分细则（第 15 页共 21 页） 则1,1,0 .m 8 分
35、 设平面DBC的法向量为222,nxy z， 则0,0,n CDn BD所以222220,0,xzxyz 令21x ，则1,0,1n 10 分 所以11cos,222m n ， 11 分 又因为二面角ADBC的平面角为锐角， 所以二面角ADBC的大小为3 12 分 解法二、（1）DA平面ABC，且BC 平面ABC，DABC， 12ACBCAB， 222ACBCAB，ACBC， 1 分 DAACA， BC平面DAC， 2 分 过点A作AGBC， 所以AG 平面DAC. 以点A为原点， 分别以向量AC AG AD， ，为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则1 10,
36、0,0 ,1,1,0 ,0,0,10,2 2ABDE， 所以1,1, 1DB ，1 10,2 2AE， 111 01( 1)022DB AE ， 4 分 DBAE，DBAE， DBEF，且AEEFF， DB平面AEF. 5 分 （2）因为EFDB，由（1）得DBAF， 所以AFE为二面角ADBC的平面角， 6 分 因为1,0,0C，由（1）知，1,1, 1DB . 设, ,F x y z，则, ,z 1DFx y. 7 分 高三数学参考答案及评分细则（第 16 页共 21 页） 因为点F在DB上，所以存在实数k，使得DFkDB， 所以,1xk yk zk ，即, ,1F k kk， 因为AFD
37、B，所以0AF DB， 8 分 所以 110kkk ，解得13k ， 9 分 所以点1 1 2,3 3 3F，所以1 11,3 66FE ，112,333FA ， 10 分 所以116cos26663FA FEAFEFAFE， 11 分 又因为0,AFE，所以3AFE. 所以二面角ADBC的大小为.3 12 分 解法三、（1）略，同解法一； （2）因为EFDB，由（1）得DBAF， 所以AFE为二面角ADBC的平面角， 6 分 DA底面ABC，,DAAC DAAB 因为1ACDA，所以1222AEDC， 7 分 因为2AB ，所以1122DABSDAABDBAF， 所以126312DAABAF
38、DB， 9 分 由（1）知，AE 平面DBC， 因为EF 平面DBC， 所以AEEF， 10 分 所以232sin263AEAFEAF， 11 分 因为AFE为锐角，所以3AFE， 所以二面角ADBC的大小为.3 12 分 21. （12 分） 高三数学参考答案及评分细则（第 17 页共 21 页） 定义：若点00(,)x y，00(,)xy在椭圆2222:1xyMab（0ab ）上，且满足0000220 x xy yab，则称这两点是关于M的一对共轭点，或称00(,)x y关于M的一个共轭点为00(,)xy 已知点A(3,1)在椭圆22:1124xyM，O为坐标原点 （1）求点A关于M的所有
39、共轭点的坐标； （2）设点P，Q在M上，且PQOA，求点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值 【考查意图】本小题主要考查新定义、点与椭圆的位置关系、平面向量共线、四边形的面积等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性满分 12 分 【解】解法一、 （1）设点A关于M的共轭点的坐标为11( ,)x y， 依题意得，11221130,1241124xyxy， 2 分 解得113,3xy ，或113,3xy ； 4 分 即A关于M的两个共轭点1B，2B的坐标分
40、别为3, 3，3,3 5 分 （2）由（1）知，1B3, 3，2B3,3， 所以12BB=2233332 6 6 分 设点,ppP xy，,qqQ xy 则22221,1241124ppqqxyxy，两式相减得()()()()0124pqpqpqpqxxxxyyyy， 7 分 又PQOA，所以13pqpqyyxx， 8 分 故()pqpqyyxx，则22pqpqyyxx ， 高三数学参考答案及评分细则（第 18 页共 21 页） 所以线段PQ的中点在直线0 xy上，即线段PQ被12BB平分 9 分 设点,ppP xy到0 xy的距离为d， 则点1B，P，2B，Q所围成四边形面积121121=2
41、22 62PB BB PBQSSB Bdd四边形， 10 分 设过P与直线0 xy平行的直线l为xym，当l与M相切时，d取得最大值 由22,1124xymxy，消去y得2246340 xmxm， 令22364840mm ，解得4m ， 11 分 所以42 22maxd， 故点1B，P，2B，Q所围成四边形面积的最大值为8 3 12 分 解法二、 （1）略，同解法一. （2）由（1）知，1B3, 3，2B3,3， 设点,ppP xy，,qqQ xy 由PQOA，得直线PQ的斜率为13， 6 分 故设直线PQ的方程为13yxt， 联立221,31124yxtxy，消去y得，22469360 xt
42、xt， 7 分 由222364 36(4)36(163 )0ttt ，解得443333t , 且32pqxxt ，21(936)4pqx xt， 8 分 所以2211( )3pqPQxx221031()4936924tt 2101632t 9 分 设1B3, 3，2B3,3到直线PQ的距离分别为1d,2d 高三数学参考答案及评分细则（第 19 页共 21 页） 则134 310td，24 3310td， 由443333t ，得124 334 338 3101010ttdd 10 分 所以四边形1BP2BQ面积等于 12121122B PB QSPQ dPQ d 121()2PQ dd 2110
43、8 31632210t 22 3 163t 11 分 故当0t 时，12B PB QS取得最大值8 3， 即点1B，P，2B，Q所围成封闭图形面积的最大值为8 3 12 分 22. （12 分） 设函数2( )lnf xaxxx （1）当1a 时，判断( )f x的单调性； （2）若函数( )f x的图象与x轴没有公共点，求a的取值范围 【考查意图】本小题主要考查函数的单调性、方程有解、导数的应用等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想、有限与无限思想；考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素
44、养，体现综合性、应用性与创新性满分 12 分 【解】解法一、 （1）当1a 时，2( )ln0f xxxx x ， 1 分 所以221 2112121( )21.xxxxxxfxxxxxx 2 分 当01x时，( )0fx，所以( )f x在(0,1)单调递增； 3 分 当1x 时，( )0fx，所以( )f x在(1,)单调递减. 4 分 （2）因为函数( )f x的图象与x轴没有公共点，所以( )0f x 恒成立 若( )0f x 有解，则关于x的方程2ln0axxx x有解， 等价于关于x的方程2ln0 xxaxx 有解. 6 分 令2ln( )0 xxp xxx，则312ln( )xx
45、p xx， 7 分 高三数学参考答案及评分细则（第 20 页共 21 页） 令( )12ln0q xxx x ，则2( )10q xx 恒成立， ( )q x在(0,)上单调递减，又(1)0,q 当01x时， (1)0q xq；当1x 时， (1)0q xq； 8 分 所以，当01x时， 0p x；当1x 时， 0p x； ( )p x在(0,1)单调递增，在(1,)上单调递减， max( )(1)1p xp， 9 分 当0 x 且0 x 时， p x ；当1x 时， 0p x ； 10 分 若直线ya 与函数( )p x的图象有交点， 则1a，即1a， 11 分 要使函数( )f x的图象与
46、x轴没有公共点，则a的取值范围为, 1 12 分 解法二、(1)略，同解法一； （2）因为2( )ln0f xaxxx x， 所以2121( )21axxfxaxxx 5 分 当0a 时，( )0fx， 所以( )f x在0,单调递增，且11( )10, (e)1e0,eeff 所以函数( )f x有唯一的一个零点， 这与( )f x的图象与x轴没有公共点相矛盾，所以0a ； 6 分 当0a 时，( )0fx，所以( )f x在(0,)单调递增； （）当1a时，22111111()lnln1eeeeeefaaaaaaa 21110ee ， 又因为(1)10,fa 所以函数( )f x有唯一的一
47、个零点， 这与( )f x的图象与x轴没有公共点相矛盾，所以1a不成立； 7 分 （）当01a时，22( )lnlnf xaxxxxxx， 令2( )ln.h xxxx 21111( )( )10eeeefh ，(1)10fa ， 所以函数( )f x有唯一的一个零点， 高三数学参考答案及评分细则（第 21 页共 21 页） 这与( )f x的图象与x轴没有公共点相矛盾，所以01a不成立； 8 分 （）当0a 时 ，方程2210axx 有两根1x，2x，不妨设12xx， 因为121 210,210,2xxax xa 所以120 xx， 所以，当20 xx时，( )0fx；当2xx时，( )0f
48、x； 所以( )f x在2(0,)x上单调递增，在2(,)x 上单调递减， 所以( )f x在2xx处取到唯一的极大值，即函数( )f x的最大值为2()f x，且222210.axx 9 分 222222222211()lnlnln.222xxf xaxxxxxx 设1( )ln22xu xx，则( )u x在(0,)单调递增，且(1)0,u 当(0,1)x时，( )0u x ；当(1,)x时，( )0u x ； 即2(0,1)x 时，2()0f x；当2(1,)x 时，2()0f x； 由于221111( )ln10eeeeeeaaf ， 所以2(1,)x 时，( )f x的图象与x轴有公共点，这与( )f x的图象与x轴没有公共点相矛盾，所以2(1,)x ； 10 分 故2(0,1)x 时，( )f x的最大值2()f x小于 0， 又2222210(01),axxx 即2222112(01)axxx ， 因为2222211111()224xxx ， 11 分 所以22a ，即1.a 要使函数( )f x的图象与x轴没有公共点，则a的取值范围为, 1 12 分
