1、离散性随机变量的方差温故而知新温故而知新1、离散型随机变量、离散型随机变量 X 的的均值均值(数学期望数学期望)1niiiEXx p2、均值的性质、均值的性质()E aXbaEXb3、两种特殊分布的均值、两种特殊分布的均值(1)若随机变量若随机变量X服从两点分布，则服从两点分布，则EXp(2)若若 ，则，则( , )XB n pEXnp反映了离散型随机变量取值的平均水平反映了离散型随机变量取值的平均水平. 复习复习 如果其他对手的射击成如果其他对手的射击成绩都在绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？环左右，应派哪一名选手参赛？ 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数已知甲、乙两名射手在同一
2、条件下射击，所得环数x x1、x x2的分布列如下：的分布列如下： 试比较两名射手的射击水平试比较两名射手的射击水平. x18910P0.20.60.2x28910P0.40.20.4 如果其他对手的如果其他对手的射击成绩都在射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？环左右，应派哪一名选手参赛？ 显然两名选手显然两名选手的水平是不同的的水平是不同的,这里要进一步去这里要进一步去分析他们的成绩分析他们的成绩的稳定性的稳定性. 探究探究 一组数据的方差：一组数据的方差：方差反映了这组方差反映了这组数据的波动情况数据的波动情况 在一组数：在一组数：x1 1, ,x2 2 , , ,xn 中，各数据的
3、平均数为中，各数据的平均数为 ，则这组数据的方差为：则这组数据的方差为：x2222121()()() nSxxxxxxn 类似于这个概念类似于这个概念, ,我们可以定义随机变量的方差我们可以定义随机变量的方差. 新课新课 离散型离散型随机变量取值的方差和标准差随机变量取值的方差和标准差: :22211()()()iinnDxEpxEpxEpx xx xx xx x 则称则称为随机变量为随机变量x x的方差的方差. .21()niiixEpx x 一般地一般地, ,若离散型随机变量若离散型随机变量x x的概率分布列为：的概率分布列为：P1xix2x1p2pipnxnpx x称称D x xx x
4、为随机变量为随机变量x x的标准差的标准差. . 定义定义 它们都是反映离散型随机变量偏离于均它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值集中于均值. . 1. 已知随机变量已知随机变量x的分布列的分布列x01234P0.10.20.40.20.1求求Dx x和和x x. 0 0.1 1 0.22 0.43 0.24 0.12Ex x 解：解：22222(02)0.1 (12)0.2(22)0.4(32)0.2(42)0.11.2Dx x 1.21.0
5、95Dxxxx2. 若随机变量若随机变量x 满足满足P(xc)1，其中，其中c为常数，求为常数，求Ex 和和 Dx.Exc1cDx(c-c)210 练习练习 提示：这是两点分布么提示：这是两点分布么?结论结论1： 则则 ; ;,abxx若若EaEbxx结论结论2：若：若B(n，p)，则则E= np.可以证明可以证明, 对于方差有下面两个重要性质：对于方差有下面两个重要性质：2()D aba Dxxxx( ,)(1)B n pDnpqqpx xx x 若若，其其中中则则 结论结论 1.已知随机变量已知随机变量x的分布列为则的分布列为则Ex与与Dx的值为的值为( ) (A) 0.6和和0.7 (B
6、)1.7和和0.3 (C) 0.3和和0.7 (D)1.7和和0.212.已知已知xB(100,0.5),则则Ex=_,Dx=_,sx=_. E(2x-1)=_, D(2x-1)=_, s(2x-1)=_x x12P0.30.7D5025599100103、有一批数量很大的商品，其中次品占、有一批数量很大的商品，其中次品占1，现，现从中任意地连续取出从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为件商品，设其次品数为X，求，求EX和和DX.2，1.98 练习练习 试比较两名射手的射击水平试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成绩都如果其他对手的射击成绩都在在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果
7、其他对手的射击成环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？环左右，应派哪一名选手参赛？ 已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的的分布列如下：分布列如下：x18910P0.20.60.2x28910P0.40.20.4 如果对手在如果对手在8环左右环左右,派甲派甲. 如果对手在如果对手在9 9环左右环左右, ,派乙派乙. . 例题：甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数例题：甲乙两人每天产量相同，它们的次品个数分别为分别为x x ，其分布列为，其分布列为x x 0 1 2 3P0.30.3
8、0.20.2 0 1 2 P0.10.50.4判断甲乙两人生产水平的高低？判断甲乙两人生产水平的高低？解答解答 例题例题 Ex x=00.3+10.3+20.2+30.2=1.3E =00.1+10.5+20.4=1.3Dx x=(0-1.3)20.3+(1-1.3)20.3+(2-1.3)20.2+(3-1.3)20.2=1.21结论：甲乙两人次品个数的平均值相等，结论：甲乙两人次品个数的平均值相等，但甲的稳定性不如乙，乙的生产水平高但甲的稳定性不如乙，乙的生产水平高.期望值高，平均值大，水平高期望值高，平均值大，水平高方差值小，稳定性高，水平高方差值小，稳定性高，水平高D =(0-1.3)
9、20.1+(1-1.3)20.5+(2-1.3)20.4=0.41例例2:有甲乙两个单位都愿聘用你有甲乙两个单位都愿聘用你,而你能获得如下信息：而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资甲单位不同职位月工资X1/元元1200140016001800获得相应职位的概率获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资乙单位不同职位月工资X2/元元1000140018002200获得相应职位的概率获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：解：1400,140021 EXEX112000,4
10、000021 DXDX 在两个单位工资的数学期望相等的情况下在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为如果认为自己能力很强自己能力很强,应选择工资方差大的单位应选择工资方差大的单位,即乙单位即乙单位;如果如果认为自己能力不强认为自己能力不强,就应选择工资方差小的单位就应选择工资方差小的单位,即甲单位即甲单位. 例题例题 (2)若若 ，则，则再回顾：两个特殊分布的方差再回顾：两个特殊分布的方差(1)若若 X 服从两点分布，则服从两点分布，则(1)DXpp(2)若若 ，则，则( , )XB n p(1)DXnpp两种特殊分布的均值两种特殊分布的均值(1)若若X服从两点分布，则服从两点分布，则E
11、Xp( , )XB n pEXnp方差的性质方差的性质2()D aXba DX平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差平移变化不改变方差，但是伸缩变化改变方差.均值的性质均值的性质(1)()E aXbaEXb(2)()E aXbYaEXbEY推论：常数的方差为推论：常数的方差为_.0机动练习机动练习117100.81),( p,n则则 pnBX1.6,DX8,EX，、已知、已知 x xx x DD则则，且，且、已知、已知,1381323.若随机变量若随机变量x x服从二项分布，且服从二项分布，且Ex x=6， D x x=4,则此二项分布是则此二项分布是设设二项分布为二项分布为x x B(n,
12、p) ,则则Ex x=np=6Dx x=np(1-p)=4n=18p=1/3 4. 4.有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现出现1 1，你赢，你赢8 8元；出现元；出现2 2或或3 3或或4 4，你输，你输3 3元；出元；出现现5 5或或6 6，不输不赢这场赌博对你是否有利，不输不赢这场赌博对你是否有利? ? 1111830 .6236Ex x 对你不利对你不利! !劝君莫参加赌博劝君莫参加赌博. .5随机变量随机变量X的分布列如下：的分布列如下：其中其中a，b，c成等差数列若成等差数列若E(X) ，则，则D(X)的值是的值是_X-101Pabc解析：解析：
13、a+b+c1.又又2ba+c，故故b由由E(X)故故aD(X)答案：答案：11,33ac , ,得得 对随机变量对随机变量X的均值的均值(期望期望)的理解：的理解：(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均；均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均；(2)E(X)是一个实数，由是一个实数，由X的分布列唯一确定，也就是说随的分布列唯一确定，也就是说随 机变量机变量X可以取不同的值，而可以取不同的值，而E(X)是不变的，它描述的是是不变的，它描述的是 X取值的平均状态；取值的平均状态；(3)E(X)的公式直接给出了的公式直接给出了E(X)的求法的求法一厂家向用户提供的一箱产品共一厂
14、家向用户提供的一箱产品共10件，其中有件，其中有n件次品，用件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收抽检规则是这样的：户先对产品进行抽检以决定是否接收抽检规则是这样的：一次取一件产品检查一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子取出的产品不放回箱子)，若前三次没，若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品(1)若这箱产品被用户接收的概率是若这箱产品被用户接收的概率是 ，求，求n的值；的值；(2)在在(1)的条件下，记抽检的产品件数为的条
15、件下，记抽检的产品件数为X，求，求X的分布列和数的分布列和数学期望学期望(1)利用古典概型易求利用古典概型易求.(2)X的取值为的取值为1、2、3，求出分布列代入期望，求出分布列代入期望 公式公式.【解【解】(1)设设“这箱产品被用户接收这箱产品被用户接收”为事件为事件A，n2.(2)X的可能取值为的可能取值为1,2,3.P(A)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=X的概率分布列为：的概率分布列为：X123P1828109()123.5454545E X 甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试公司规定面甲、乙、丙、丁四人参加一家公司的招聘面试公司规定面试合格者可签约甲、乙面试合格试合
16、格者可签约甲、乙面试合格 就签约；丙、丁面试都合就签约；丙、丁面试都合格则一同签约，否则两人都不签约设每人面试合格的概率格则一同签约，否则两人都不签约设每人面试合格的概率都是都是 ，且面试是否合格互不影响求：，且面试是否合格互不影响求： (1)至少有三人面试合格的概率；至少有三人面试合格的概率； (2)恰有两人签约的概率；恰有两人签约的概率； (3)签约人数的数学期望签约人数的数学期望解：解：(1)设设“至少有至少有3人面试合格人面试合格”为事件为事件A，则则P(A)(2)设设“恰有恰有2人签约人签约”为事件为事件B，“甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约甲、乙两人签约，丙、丁两人都不签约”为事
17、件为事件B1；“甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约甲、乙两人都不签约，丙、丁两人签约”为事件为事件B2；则：则：BB1+B2P(B)P(B1)+P(B2)(3)设设X为签约人数为签约人数X的分布列如下：的分布列如下：P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=X01234P52024161620()01234.81848181819E X 31举一反三举一反三1. 某有奖竞猜活动设有A、B两组相互独立的问题，答对问题A可赢得奖金3万元，答对问题B可赢得奖金6万元.规定答题顺序可任选，但只有一个问题答对后才能解答下一个问题，否则中止答题.假设你答对问题A、B的概率依次为
18、 、 .若你按先A后B的次序答题，写出你获得奖金的数额的分布列及期望值E.1213039p解析： 若按先A后B的次序答题，获得奖金数额的可取值为0,3(万元)，9(万元).P(=0)= P(=3)= P(=9)=111221111233111236121316的分布列为的数学期望为E()= 1110392.5236 题型二题型二 求随机变量的方差求随机变量的方差【例2】编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X.(1)求随机变量X的概率分布列；(2)求随机变量X的期望与方差.34分析(1)随机变量X的意义是对号入座的学生个数，所
19、有取值为0,1,3.若有两人对号入座，则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列;(2)直接利用数学期望与方差公式求解.X013P131216解 (1)P(X=0)= ,P(X=1)= , P(X=3)= ,33213A133312CA33116A1110131326 2221110 11 13 11326故X的概率分布列为(2)E(X)= D(X)= 举一反三举一反三2. 2. 设在设在1515个同类型的零件中有个同类型的零件中有2 2个次品，每次任取个次品，每次任取1 1个，共取个，共取3 3次，并且每次取出后不再放回次，并且每次取出后不再放回. .若用若用X X表示表示取出次品
20、的个数取出次品的个数. .(1)(1)求求X X的分布列；的分布列；(2)(2)求求X X的均值的均值E(X)E(X)和方差和方差D(X).D(X).学后反思学后反思 求离散型随机变量求离散型随机变量X X的方差的方差的步骤：的步骤：(1)(1)写出写出X X的所有取值；的所有取值；(2)(2)计算计算P(X=xP(X=xi i); ); (3) (3)写出分布列，并求出期望写出分布列，并求出期望E(X)E(X)；(4)(4)由方差的定义求出由方差的定义求出D(X).D(X).X X0 01 12 2P P13512352235解析解析: :(1)P(X=0)= ,P(X=1)= ,(1)P(
21、X=0)= ,P(X=1)= ,P(X=2)= .P(X=2)= .故故X X的分布列为的分布列为 (2)X(2)X的均值的均值E(X)E(X)和方差和方差D(X)D(X)分别为分别为E(X)= ;E(X)= ;D(X)= D(X)= 3133152235CC122133151235C CC21213315135C CC2212120123535355 2222222122152012535535535175题型三题型三 期望与方差的综合应用期望与方差的综合应用随机抽取某厂的某种产品随机抽取某厂的某种产品200200件，经质检，其中有一等品件，经质检，其中有一等品126126件，二等品件，二等
22、品5050件，三等品件，三等品2020件，次品件，次品4 4件件. .已知生产已知生产1 1件件一、二、三等品获得的利润分别为一、二、三等品获得的利润分别为6 6万元、万元、2 2万元、万元、1 1万元，万元，而生产而生产1 1件次品亏损件次品亏损2 2万元，设万元，设1 1件产品的利润件产品的利润( (单位：万元单位：万元) )为为.(1)(1)求求的分布列；的分布列；(2)(2)求求1 1件产品的平均利润件产品的平均利润( (即即的数学期望的数学期望) )；(3)(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%,1%,一等品率提高为一等
23、品率提高为70%,70%,如果此时要求如果此时要求1 1件产品的平均利润不小件产品的平均利润不小于于4.734.73万元，则三等品率最多是多少？万元，则三等品率最多是多少？分析分析 求求的分布列时，要先求的分布列时，要先求取各值时的概率取各值时的概率. .解解 (1)(1)的所有可能取值有的所有可能取值有6,2,1,-26,2,1,-2P(=6)= P(P(=6)= P(=2)= =2)= P(=1)= P(P(=1)= P(=-2)= =-2)= 故故的分布列为的分布列为 1260.63200500.25200200.120040.022006 62 21 1-2-2p p0.630.630
24、.250.250.10.10.020.02(2)E()=6(2)E()=60.63+20.63+20.25+10.25+10.1+(-2)0.02=4.34 0.1+(-2)0.02=4.34 (3)(3)设技术革新后的三等品率为设技术革新后的三等品率为x,x,则此时则此时1 1件产品的平件产品的平均利润为均利润为E(E()=6)=60.7+20.7+2(1-0.7-0.01-x)+1(1-0.7-0.01-x)+1x+(-x+(-2)2)0.01=4.76-x(0 x0.290.01=4.76-x(0 x0.29依题意，依题意，E()4.73,E()4.73,即即4.76-x4.73,4.76-x4.73,解得解得x0.03,x0.03,所以三等品率最多为所以三等品率最多为3%3%学后反思学后反思 本题主要考查学生运用知识，迁移知识的本题主要考查学生运用知识，迁移知识的能力能力. .解决该类实际问题的关键是将实际问题化为数学解决该类实际问题的关键是将实际问题化为数学问题，利用已学的知识进行处理，这也是今后高考的一问题，利用已学的知识进行处理，这也是今后高考的一大热点大热点. .
