1、 特殊平行四边形（优生集训）特殊平行四边形（优生集训） 一、综合题一、综合题 1如图 1，在平面直角坐标系 中，已知四边形 的顶点 ， 分别在 轴和 轴上.直线 经过点 ，与 轴交于点 .已知 ， ， . 平分 ，交 于点 ，点 是线段 上一动点. （1）求 的长和 的度数； （2）若点 是平面内任意一点，当以 、 、 、 为顶点的四边形为菱形时，求点 的坐标； （3）如图 2，在线段 上有一动点 ，点 与点 分别同时从点 和点 出发，已知当点 从点 匀速运动至点 时，点 恰好从点 匀速运动至点 ，连结 、 、 .问：在运动过程中，是否存在这样的点 和点 ，使得 的面积与 的面积相等.若存在，
2、请直接写出相应的点 的坐标，若不存在，请说明理由. 2如图 1，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 与直线 交于点 ，直线 与 轴交于点 . （1）求直线 的解析式； （2）如图 2，点 在线段 上，连接 ，过点 的直线交 轴负半轴于点 交 轴正半轴于点 ，请问： 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由. （3）当点 在直线 上运动时，平面内是否存在一点 ，使得以点 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 3如图，平行四边形 ABCD 中，AECD于 E，BF 平分ABC与 AD 交于 F.AE 与 BF 交于 G. （1）延长 DC
3、到 H，使 CHDE，连接 BH.求证：四边形 ABHE 是矩形. （2）在（1）所画图形中，在 CH 的延长线上取 HKAG，当 AEAF 时，求证：CKAD. 4如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1：yx+6 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，经过点 B 的直线 l2：ykx+b 交 x 轴于点 C，且 l2与 l1关于 y 轴对称. （1）求直线 l2的函数表达式； （2）点 D，E 分别是线段 AB，AC 上的点，将线段 DE 绕点 D 逆时针 度后得到线段 DF. 如图 2，当点 D 的坐标为（2，m） ，45，且点 F 恰好落在线段 BC 上时，求线段 AE 的
4、长； 如图 3，当点 D 的坐标为（1，n） ，90，且点 E 恰好和原点 O 重合时，在直线 y3 上是否存在一点 G，使得DGFDGO？若存在，直接写出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由. 5已知点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 上的动点，连接 AE，过点 A 作 AFAE，交 CB 的延长线于点 F. （1）如图 1，求证：FBED； （2）点 G 为正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，连接 AG，GC，GF，且 GCGF. 如图 2，求GFA的度数； 如图 3，过点 G 作 MH AE，分别交 AF，AB，DC 于点 M，N，H.若 AB3，BF1，求MH 的长. 6如图
5、，在平面直角坐标系中，四边形 ABCO 是矩形，已知点 B 坐标为（10，8） ，M，N 分别是OC，AB 的中点 （1）求证：四边形 BCMN 是矩形； （2）点 F 是直线 BC 上一点，连接 OF 交直线 MN 于点 E，当 OFOA 时，求直线 AF 的解析式； （3）在（2）的条件下，直线 l 经过点 A，且解析式为 ykx+b（k0） ，若直线 l 与线段 EM 相交，求 k 的取值范围 7如图，在矩形 ABCD 中，O 为对角线 AC 的中点，过点 O 作直线分别与矩形的边 AD，BC 交于M，N 两点，连接 CM，AN （1）求证：四边形 ANCM 为平行四边形； （2）若 A
6、D4，AB2，且 MNAC，求 DM 的长 8阅读短文，解决问题 定义：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”例如：如图 1，四边形 为菱形， 与 重合，点 在 上，则称菱形 为 的“亲密菱形” 如图 2，在 中， ， 平分 ，交 于点 ，过点 作 ， （1）求证：四边形 为 的“亲密菱形”； （2）若 ， ，求四边形 的周长； （3）如图 3， 、 分别是 、 的中点，连接 若 ，求 的值 9如图，矩形 ABCD 中，AD=2AB，E 是 AD 边上一点，DE= AD（n 为大于 2 的整数） ，连接BE，BE
7、 的垂直平分线分别交 AD，BC 于点 F，G，FG 与 BE 的交点为 O，连接 BF 和 EG。 （1）试判断四边形 BFEG 的形状，并说明理由； （2）当 AB=4，n=3 时，求 FG 的长； （3）记四边形 BFEG 的面积为 S1，矩形 ABCD 的面积为 S2，当 时，求 n 的值（直接写出结果，不必写出解答过程） 。 10如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：y=- +x+6 分别与 x 轴、轴交于点 B、C，且与直线l2：y= x 交于 A。 （1）分别求出 A、B、C 的坐标； （2）若 D 是线段 OA 上的点，且COD的面积为 l2，求直线 CD 的函数表达式； （3
8、）在(2)的条件下，设 P 是射线 CD 上的点，在平面内是否存在点 Q，使以 O、C、P、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 11如图 1，直线 与 y 轴交于点 ，与 x 轴交于点 . （1）按题意填表： n 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 4 2 0 0 0 0 0 （2）由（1）中表格中的数据可以发现： 对于 ， = ， = ， ， ； 直线 一定经过的点的坐标为 ； （3）如图 2，正方形 OPQR 是 的内接正方形，设正方形的边长为 m， 求证：1m2. 12在正方形 ABCD 中，点 E，F，G 分别在边 AD，AB，CD 上
9、（点 E、F、G 不与正方形的顶点重合） ，BE，FG 相交于点 O，且 FGBE. （1）猜想 BE 与 FG 的数量关系并证明； （2）证明：DG=AF+AE； （3）若 AE= ，FG=4，请直接写出点 C 到直线 BE 的距离； 13如图，已知 ，直线 垂直平分 ，与边 交于点 ，连接 ，过点 作 交 于点 ，连接 （1）求证： ； （2）求证：四边形 是菱形； （3）若 ， ，则菱形 的面积是多少？ 14如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上的点，连接 CE，过点 D 作 DFCE，分别交 BC、CE于点 F、G （1）求证：CE=DF； （2）若 AB=3，图中阴影部分的
10、面积和与正方形 ABCD 的面积之比为 2：3，则DCG的面积为 ，CG+DG 的长为 15如图，在矩形 ABCD 中，AB =2，E、F 分别是边 BC，AD 上的点，连接 EF，将四边形 CEFD沿 EF 折叠，C、D 的对应点分别为点 G、H，EG 交边 AD 于点 M，延长 HF 交边 BC 于点 N （1）求证：四边形 EMFN 是菱形； （2）若 FNBC，直接写出四边形 EMFN 的一条对角线的长； （3）若 EF=MF，求 EN 的长 16如图，四边形 ABCD 是正方形，E 是对角线 BD 上一点，连接 AE、CE （1）求证：AE=CE； （2）如图，点 P 是边 CD 上
11、的一点，且 PEBD于 E，连接 BP，点 O 为 BP 的中点，连接OE。若PBC=30，求POE的度数； （3）在(2)的条件下，若 OE= ，求 CE 的长。 17如图所示，在中，点 D 从点 C 出发沿方向以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿方向以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 匀速运动，当其中一个点达到终点时，另一个点也随之停止运动设点运动的时间为 t 秒（） 过点作于点 F，连接 （1）求证：； （2）四边形可能成为菱形吗？如果可能，求出相应的 t 值；如果不可能，说明理由 18如图：在平行四边形中，点 E 在边上，连接 BE、，若平分，
12、平分，点 G 是边的中点 （1）求的度数 （2）若，求的周长 （3）判断四边形的形状并证明 19如图，在ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ， F 分别为 OB ， OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG AE ，连接 CG （1）求证： ABECDF ； （2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由. 20如图，在菱形 ABCD 中，AEBC于点 E （1）如图 1，若BAE30，AE3，求菱形 ABCD 的周长及面积； （2）如图 2，作 AFCD于点 F，连接 EF，BD，求证：EFBD； （3）如图 3，设 AE 与
13、对角线 BD 相交于点 G，若 CE4，BE8，四边形 CDGE 和AGD的面积分别是 S1和 S2，求 S1S2的值 21如图，四边形 ABCD 为菱形，P 为对角线 BD 上一点，连接 AP 并延长交射线 BC 于点 E，连接PC （1）求证：AEBPCD； （2）当 PAPD 且 PCBE时，求ABC的度数； （3）若ABC90，PCE是等腰三角形直接写出PEC的度数 22如图，在平行四边形 ABCD 中，BAD的平分线交 BC 于点 E，交 DC 的延长线于 F，以 EC、CF 为邻边作平行四边形 ECFG，如图 1 所示 （1）证明平行四边形 ECFG 是菱形； （2）若ABC120
14、，连接 BG、CG、DG，如图 2 所示， 求证：DGCBGE； 求BDG的度数； （3）若ABC90，AB8，AD14，M 是 EF 的中点，如图 3 所示，求 DM 的长 23如图所示的是与菱形有关的三个图形 （1）如图 1，AC 是菱形 ABCD 的对角线，B60，E、F 分别是边 BC、CD 上的中点，连接AE、EF、AF若 AC3，则 CE+CF 的长为 （2）如图 2，在菱形 ABCD 中，B60E 是边 BC 上的点，连接 AE，作EAF60，边AF 交边 CD 于点 F，连接 EF若 BC3，求 CE+CF 的长 （3）在菱形 ABCD 中，B60，E 是边 BC 延长线上的点
15、，连接 AE，作EAF60，边 AF交边 CD 的延长线于点 F，连接 EF当 BC3，EFBC时，在图 3 中，将图形补充完整并求AEF的周长 24如图，在 中，过点 的直线 MN/AB，为 边上一点，过点 作 ，垂足为点 ，交直线 于点 ，连接 ， （1）求证：； （2）当为中点时，四边形 是什么特殊四边形?说明你的理由； （3）在（）的条件下，当 的大小满足什么条件时，四边形 是正方形?请说明你的理由 25请认真完成下列数学活动 典例再现：如图 1，ABCD的对线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AD，BC 分别相交于点E，F求证：OEOF （1）尝试发现 按图 1 填空
16、： 若ABCD的周长是 24，OE2，则四边形 ABFE 的周长为 ； 若ABCD的面积是 20，则四边形 ABFE 的面积是 （2）应用发现 如图 2，在菱形 ABCD 中，对角线相交于点 O，过点 O 的直线分别交 AD，BC 于点 E，F若AC，AD6，求四边形 ABFE 的面积 （3）应用拓展 如图 3，在ABC中，点 D 是 BC 的中点，连接 AD，若BAD90，AB2，AC，则ABC的面积是 26某数学兴趣小组在课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在 中， ， ，点 为直线 上一动点（点 不与 ， 重合） ，以 为边在 右侧作正方形 ，连接 （1）观察猜想 如图
17、 1，当点 在线段 上时， 与 的位置关系为： ； ， ， 之间的数量关系为： ； 请将结论直接写在横线上，并给予证明； （2）数学思考 如图 2，当点 在线段 的延长线上时， （1）中的，结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出符合题意结论再给予证明 答案解析部分答案解析部分 【解析】【分析】 （1）分别令直线解析式中的 x=0、y=0，求出 y、x 的值，据此可得 OA、OE，由勾股定理可求得 AE，然后结合含 30角的直角三角形的性质进行求解； （2）过点 G 作 GKx轴于点 K，当 PE=PC 时，点 G 在直线 AE 上，设 PG 与 EC 交于点 K，由菱形的性质
18、可得 OK，进而求得 CK，设 PC=2a，则 PK=a，由勾股定理可得 a 的值，进而得到 PC、KG，据此可得点 G 的坐标；当 PE=CE 时，此时点 G 在 CD 上，易得 EK、PK 的值，进而得到点P、G 的坐标；当 PC=CE 时，此时点 G 在 AE 上，易得 GK、KE 的值，据此可得点 G 的坐标； （3）过点 P 作 PNy轴于点 N，延长 PE 交 y 轴于点 M，设 OM=x，则 MC=2x，由勾股定理可得 x，进而得到 MC，推出MAF是等边三角形，由等边三角形的性质可得 AM=AF=FM=4，FC=16，由角平分线的概念可得MCO=30，推出 AEMC，得到MPN
19、=MCO=30，设 Q 的速度为 3v，则 P的速度为 4v，时间为 t，则 AP=3vt，CP=4vt，当 PQAD时，可得四边形 AQPF 是平行四边形，得到 FP=AQ，据此可得 vt，然后表示出 MP，MN，然后求出 ON，PN，据此可得点 P 的坐标；当 F、D 到 PQ 的距离相等时，分别过 P、Q 作 PRAD，QSAD，过 E 作 ETMC于点 T，易得ET，推出AQS=30，然后表示出 AS、SQ，PR，接下来根据 SPFQ=SPDQ=(SFQD-SPDF)可得vt，然后表示出 MP、MN，求出 ON、PN 的值，据此可得点 P 的坐标. 【解析】【分析】 （1）将点 C 的
20、坐标代入 l1，可得到关于 m 的方程，解方程求出 m 的值，可得到点C 的坐标；再将点 C，D 的坐标代入 l2，可得到关于 k，b 的方程组，解方程组求出 k，b 的值，可得数学竞赛. （2）利用已知条件可得到APD和ACD的面积之比，同时可求出 PD 与 CD 的比值及点 P 的坐标；设直线 MN 的函数解析式为 y=kx+b，将点 P 的坐标代入函数解析式，可表示出 b，ON 的长；然后求出 OM 的长. （3） 设 上的点 ，则 ，可得到点 E 的坐标，利用菱形的性质可证得DC=DE，利用勾股定理求出 CD 的长，表示出 DE； 从而可得到关于 m 的方程，解方程求出 m 的值，即可
21、得到点 E 的坐标. 【解析】【分析】 （1）利用平行四边形的性质可证得 ABCD，AB=CD，利用已知证得 EH=CD，可得到四边形 ABHE 是平行四边形，利用垂直的定义可证得AEH90，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得结论； （2）连接 BK，利用平行四边形的性质可证得 ADBC，ADBC，利用平行线的性质和角平分线的定义可证得AFBABF，利用等角对等边可得到 AB=AF，由 AE=AF，可证得 AE=AB；再利用矩形的性质及平行线的性质去证明BAG90，利用 SAS 证明BHKBAG，利用全等三角形的性质可推出HBKABG，利用余角的性质可得到CBKK；然后利用等角对等边
22、可得到 CK=CB，从而可证得结论. 【解析】【分析】 （1）利用函数解析式可求出点 A，B 的坐标，利用 l2与 l1关于 y 轴对称，可求出点C 的坐标；将点 B，C 的坐标代入函数解析式，建立关于 k，b 的方程组，解方程组求出 k，b 的值，可得到直线 l2的函数解析式； （2）将点 D 的坐标代入函数解析式，可求出 m 的值，可得到点 D 的坐标；作DHF=45，易证AED=HDF，利用 AAS 证明ADEHFD，利用全等三角形的性质及等勾股定理求出 AD，HF 的长；再证明ABO和COB是等腰直角三角形，从而可证得BFH是等腰直角三角形，即可求出 BH 的长，根据 AE=HD=AB
23、+BH，可求出 AE 的长；将点 D 的坐标代入直线 y=x+6，可求出n 的值，即可得到点 D 的坐标，由此可求出 DM，EM 的长；过点 D 作 DMx轴于点 M，作FNDM于点 N，利用 AAS 证明FDNDEM，利用全等三角形的性质可求出 FN，DN 的长，即可得到点 F 的坐标；当点 F，O，G1三点共线时，DG1O=DG1F，利用待定系数法求出直线 EF的函数解析式，利用函数解析式求出点 G1的坐标； 连接 DG2，FG2，过点 D 作 DMOG2，DNFG2，利用 HL 证明DG2MDFN，利用全等三角形的性质易证ODM=FDN，ODN+FDN=90；再证明 四边形 DMG2N
24、是正方形，利用正方形的性质可推出OG2F=90， 设 ，利用勾股定理建立关于 a 的方程，解方程求出 a 的值，可得到点 G 的坐标；当DG3 平分OG3F时，利用 SSS 证明DOG3DFG3， 设 与 交于点 ，可得到OH=FH，根据点 H 的坐标，利用待定系数法求出直线 DG 的函数解析式，然后求出点 G 的坐标. 【解析】【分析】 （1）利用正方形的性质可证得 AB=AD，BAD=D=ABC=90，再利用垂直的定义去证明DAE=BAF；再利用 ASA 证明ABFADE，利用全等三角形的性质可证得结论； （2）设GCF=x，可表示出DCG，利用等腰三角形的性质可证得GCF=GFC =x，
25、利用正方形的性质可证得 AD=CD，ADG=CDG=45，利用 SAS 证明ADGCDG，由此可推出AG=CG=GF，同时可表示出DAG；然后证明AGF=90，由此可得到AGF是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可求出GFA的度数；连接 FH，AH，利用勾股定理求出 AF 的长，再利用平行线的性质可证得EAF=FMG=90；再利用等腰三角形的性质可求出 AM，FM 的长，同时可证得 HA=FH；再利用勾股定理建立关于 CH 的方程，解方程求出 CH 的长；然后利用勾股定理求出 MH 的长. 【解析】【分析】 （1）先证明四边形 BCMN 是平行四边形，又因为B=90，即可证明四边形CMN
26、是矩形； （2）根据勾股定理求出 CF 的长，再分 F 点在 BC 上和 BC 延长线上两种情况，分别求出直线 AF 的解析式即可； （3）根据 F 点的坐标，分别求出 OF 的解析式，得出 E 点的坐标，求出直线 AE 的解析式，再根据M 点的坐标求出直线 AM 的解析式，即可得出 k 的取值。 【解析】 【解答】(1)证明：在矩形 ABCD 中，O 为对角线 AC 的中点， ADBC，AOCO， OAMOCN，OMAONC， 在AOM 和CON 中， ， AOMCON（AAS） ， AMCN， AMCN， 四边形 ANCM 为平行四边形 (2)解：在矩形 ABCD 中，ADBC， 由（1）
27、知：AMCN， DMBN， 四边形 ANCM 为平行四边形，MNAC， 平行四边形 ANCM 为菱形， AMANNCADDM， 在 RtABN 中，根据勾股定理，得 AN2AB2BN2， （4DM）222DM2， 解得：DM 【分析】 （1）证明 四边形为平行四边形的方法有很多，本题需要结合条件选择合适的方式，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （2）结合（1）和题目条件 MNAC，可得四边形 ANCM 为菱形；之后建立关于 DM 的方程式即可 【解析】【解答】(1)证明： ， 四边形 为平行四边形， 平分 ， ， 又 ， ， ， ， 四边形 为菱形， 则根据“亲密菱形”的定义得：四边形
28、为 的“亲密菱形”； (2）解： ， ， 四边形 为菱形， ， 设 ，则 ， 在 中， ，即 ， 解得 ， 即 ， 则四边形 的周长为 ； (3)解：如图，取 的中点 ，连接 ， 是 的中点， 是 的中位线， ， 同理可得： ， ，即 ， ， 在 中， ， 则 【分析】 （1）依据定义首先证明 四边形 为 菱形，之后再证为 的“亲密菱形” （2）求菱形的周长 ，关键求出任意一边的长 （3）此问关键是找到 AD、CF、MN 之间的关系. 【解析】【分析】 （1）证明EFOBGO（AAS） ，可得 EF=BG，由 FG 垂直平分 BE，可得FB=EF，结合 EFBG，可证四边形 BGEF 为菱形；
29、 （2）先求出 BE、EF，根据菱形 BGEF 面积=BEFG=EFAB，即可求出 FG； （3）设 AB=x，则 DE=，由菱形即矩形的面积可得 S1=BGAB，S2=BCAB，由得出BG=，由勾股定理求出 AF，再求出 DE 的长，从而得出方程=，解出 n 值即可. 【解析】【解答】解： （3）存在点 ,使以 为顶点的四边形是菱形. 此时满足条件的点 的坐标是 或 或 【分析】 （1）把 x=0，y=0 分别代入直线l1求出相对应的 y 值、x 值，即得 B、C 的坐标；联立直线 BC和直线 OA 解析式为方程组，求解即得点 A 坐标； （2）设 ，利用COD的面积列出方程，求出 x 值，
30、即得点 D 坐标，利用待定系数法求出直线 CD 的解析式即可； （3）如图，根据菱形的性质以 OC 为边、OC 为对角线分别画出图形，即可求出 Q 的坐标. 【解析】【解答】解： （1）当 n=1，x1=0 时，y1=4， 当 n=2，x2=0 时，y2=6， 当 n=3，x3=0 时，y3=8， 当 n=4，x4=0 时，y4=10， 当 n=5，x5=0 时，y5=12， 当 n=1，y1=0 时，x1=2， 当 n=2，y2=0 时，x2=2， 当 n=3，y3=0 时，x3=2， 当 n=4，y4=0 时，x4=2， 当 n=5，y5=0 时，x5=2， 填入表格即可； （2）， ，
31、故答案为：0；8；0；8； 当 x1=2 时，y4=0， 直线 一定经过的点的坐标为 （2，0） ， 故答案为： （2，0） ； 【分析】 （1）把 n 的值和 xn的值以及把 n 的值和 yn的值分别代入直线的解析式，求出相应的 yn的值和 xn的值，填入表格即可； （2）根据求平均数和方差的公式列算式进行计算，即可得出答案； 由（1）中表格中的数据得出当 x1=2 时，y4=0，即可得出答案； （3） 设 Q（m，m） ，把点 Q 的坐标代入直线的解析式得出 m=(n1)m+2n+2 ， 得出 m=2-，即可得出 1m2. 【解析】【分析】 （1）根据题意结合图形可以猜想 BE=FG,过点
32、 A 作 FG 的平行线，构造平行四边形和全等三角形，即可证明 BE=FG; （2）由（1）的四边形 AFGM 是平行四边形，且 FGHBEA ，GH=AE；AF=DH，DG=DH+HG=AF+AE； （3）过点 C 作 CHBE于点 N，交 AB 于点 H，先求得 CH=FG=4，BH=AE=,再由勾股定理求得 BC 的长，根据相似三角形的性质求出 CN 的长即为点 C 到直线 BE 的距离。 【解析】【分析】 （1）根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得到，再根据两直线平行，内错角相等，根据 AAS 判断 （2）由（1）可得。根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得到，四条边都
33、相等的四边形为菱形； （3）根据菱形得性质和勾股定理求出，从而算出菱形的面积 ；即可求出答案； 【解析】【分析】 （1）先证出CEBDFC，再根据全等三角形的性质得出 CE=DF； （2）先求出正方形 ABCD 的面积为 9，再根据题意得出阴影部分的面积等于 6， DCG的面积+四边形 GFBE 的面积=3，由CEBDFC，得出 SCEB=SDFC，从而得出DCG的面积=四边形GFBE 的面积，即可得出DCG的面积为； 由DCG的面积为得出 CGDG=3，根据勾股定理得出 CG2+DG2=9，利用（CG+DG）2=CG2+2CGDG+DG2=15，即可求出 CG+DG=. 【解析】【分析】 （
34、1）先证出四边形 EMFN 是平行四边形，根据等角对等边得出 ME =MF，再根据菱形的判定定理即可证出四边形 EMFN 为菱形； （2）由 FNBC得出四边形 EMFN 为正方形，且边长为 2，再根据勾股定理求出 EF 的长，即可得出答案； （3）由 EF=MF 得出MEF是等边三角形， 过点 E 作 EKAD于 K，根据勾股定理得出 EF2-FK2=EK2，从而求出 EF 的长， 即可得出答案. 【解析】【分析】 （1）利用正方形的性质，边角边的全等判定的方法证明 AE 与 CE 所在的两个三角形全等即可； （2）利用直角三角形斜边中线的性质、三角形外角的性质结合分析； （3）连接 OC，
35、证明EOC为直角，然后利用勾股定理求解即可。 【解析】【分析】 （1）由题意可得 DC=2t，AE=t， 根据含 30角的直角三角形的性质可得 DF= CD=t，即得 AE=DF； （2）能为菱形，理由： 易证四边形 AEFD 为平行四边形， 根据含 30角的直角三角形的性质可得AC=2AB=10， 从而求出 AD=AC-DC=10-2t， 当 AE=AD 时平行四边形 AEFD 为菱形 ，可得 t=10-2t， 求出 t 值即可. 【解析】【分析】 （1）根据平行四边形的性质可得ABCDCB180，再利用角平分线的定义可得EBCABC，ECBDCB，再利用角的运算可得BEC180（EBCEC
36、B）180（ABCDCB）90； （2）先求出 AE=AB，ED=CD，再利用中点的性质可得 AD=2AE=10，最后利用勾股定理求出 BE的长，最后利用线段的和差计算出的周长BEBCCE8+10+624； （3）先证明四边形是平行四边形，再结合 AE=AB，即可得到平行四边形是菱形 【解析】【分析】 （1）由平行四边形的性质得出 AB=CD，AB/CD，OB =OD ，OA =OC，由平行线的性质得出ABE=CDF，证出 BE=DF，由“SAS”证明ABECDF 即可； （2）证出 AB=OA，由等腰三角形的性质得出 AGOB，OEG=90，同理 CFOD，得出EG/CF，证出 EG=CF，
37、得出四边形 EGCF 是平行四边形，即可得出结论。 【解析】【分析】 （1）根据含 30角的直角三角形的性质可得 AB=2BE，再利用勾股定理求出 BE 和AB 的长，再利用菱形的周长公式和面积公式求解即可； （2）利用菱形的性质可得ABE=ADF，AB=AD=BC=CD，再利用“AAS”证明ABEADF可得 BE=DF，再利用等量代换可得 CE=CF，再证明CBF=CBD，可得 EF/BD； （3）连接 CG，先证明ADGCDG，可得 AG=CG，ADG和CDG 的面积相等，再利用 S1S2=SCEG，CE4，BE8，求出 AB 和 AE 的长，然后设 ，则 ，利用勾股定理列出方程，再求解即
38、可。 【解析】（1）证明：四边形 ABCD 是菱形， PDAPDC，ADCD，ADBC， 在PAD与PCD中， ， PADPCD（SAS） ， PADPCD， 又ADBC， AEBPADPCD (2)解：如图 1， （方法一）PAPD， PADPDA， 设PADPDAx，则BPCPDC+PCDPDA+PAD2x PCBE 2x+x90， x30， ABC2x60； （方法二） ：延长 CP 交 AD 于 M， ADBC，PCBC， CMAD PAPD， PAMPDM （HL） ， AMDM， CM 垂直平分 AD 连接 AC，则 ACCDBCAB， ABC 是等边三角形， ABC60； （3）
39、解：当点 E 在 BC 的延长线上时，如图 2，PCE 是等腰三角形，则 CPCE， BCPCPE+CEP2CEP， 四边形 ABCD 是菱形，ABC90， 菱形 ABCD 是正方形， PBAPBC45， 在ABP 与CBP 中， ， ABPCBP（SAS） ， BAPBCP2CEP， BAP+PEC90，2PEC+PEC90， PEC30； 当点 E 在 BC 上时，如图 3，PCE 是等腰三角形，则 PECE， BEPCPE+PCE2ECP， 四边形 ABCD 是菱形，ABC90， 菱形 ABCD 是正方形， PBAPBC45，又 ABBC，BPBP， ABPCBP（SAS） ， BAPB
40、CP， BAP+AEB90，2BCP+BCP90 BCP30， AEB60， PEC180AEB120， 综上所述：PEC30或PEC120 故答案为 30或 120 【分析】 （1）主要考查三角形全等的性质和平行线的性质； （2）考查等腰三角形的性质，通过角的变化和三角形内角和，求出ABC 的度数； （3）根据 P 的位置，分点 E 在线段 BC 上或者线段 BC 的延长线上，这 2 种情况，分别进行讨论计算即可。 【解析】【分析】 （1）平行四边形的性质可得ADBC，ABCD，在根据平行线的性质证明CEFCFE，根据等角对等边可得 CECF，再有条件四边形 ECFG 是平行四边形，可得四边
41、形 ECFG 为菱形，即可得出答案； （2）先判断出BCF120再判断 ABBE，进而得出 BECD，即可判断出DGCBGE；在判断CGE60，进而得出BDG 是等边三角形，即可得出BDG 的度数； （3）先证明四边形 ECFG 为正方形在证明BMEDMC，再根据BMDBME+EMDDMC+EMD90，可得BMD 是等腰直角三角形由等腰直角三角形的性质可求解。 【解析】【解答】解： （1）四边形 ABCD 是菱形， AB=BC=CD=AD， E，F 分别是边 BC，CD 的中点， CE= BC，CF= CD， CE+CF= BC + CD =3 故答案为:3 【分析】 （1）由菱形的性质得出
42、AB=BC=CD=AD，由中点的定义即可得出答案； （2） 连接 AC，证明 ABEACF（ASA） ，由全等三角形的性质得出 BE=CF ，即可得出答案； （3）证明 ABC是等边三角形，BCD=120 推出 ACEADF（ASA） ，求出 CE、CF的长，由勾股定理求出 EF 的长，即可得出答案。 【解析】【分析】 （1）证出，得出四边形 是平行四边形，即可得出结论； （2）由四边形 是菱形，推出，即可得出结论； （3） 由（）可知，四边形 是菱形，推出，再得出 ，即可得出结论。 【解析】【解答】尝试发现： （1）四边形 ABCD 的周长为 24 AB+BC=12 由典例再现可得，AOEC
43、OF AE=CF，OE=OF EF=2OE=6 四边形 ABFE 的周长=AB+BF+EF+AE=AB+BF+FC+EF=AB+BC+EF=12+6=18； 故答案为：18； 四边形 ABCD 的面积为 20， 由知AOECOF 故答案为：10 （3）如图，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 CE， D 为 BC 的中点， BD=CD， 在 和 中， ， 故答案为：4 【分析】 （1）由平行四边形的性质可得 AB+BC=12，由典例再现可证AOECOF，可得AE=CF，OE=OF，即得 EF=2OE=6，根据四边形 ABFE 的周长=AB+BF+EF+AE=AB+BF+FC+EF=AB+
44、BC+ EF，据此即可得解；由平行四边形的性质可得 由知AOECOF，可得 ，从而可得 ； （2）由菱形的性质可得 ACBD ，OAOC ，在 RtAOD中，利用勾股定理求出 OD的长，根据 S菱形ABCD ACBD 求出面积， 利用 S四边形ABFES菱形ABCD 即可求解； （3） ，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 CE，证明 ，可得 ， ，利用勾股定理求出 AE 的长，根据 即可求解. 【解析】【分析】 （1）证明 ，可得，从而可得ACB+ACF=ACB +B=90，据此即得结论； 由可得 CF=BD，从而可得 BC=BD+CD=CF+CD. （2） 成立； 不成立， 理由：证明 ，可得，DB=CF， 继而求出 ，CD=DB+BC=CF+BC.
