1、 1 / 31 等腰三角形等腰三角形 一、选择题一、选择题 1. （ 2014广东， 第 9 题 3 分） 一个等腰三角形的两边长分别是 3 和 7， 则它的周长为 （ ） A 17 B 15 C 13 D 13 或 17 考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系 分析： 由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分： （1）当等腰三角形的腰为 3； （2）当等 腰三角形的腰为 7；两种情况讨论，从而得到其周长 解答： 解：当等腰三角形的腰为 3，底为 7 时，3+37 不能构成三角形； 当等腰三角形的腰为 7，底为 3 时，周长为 3+7+7=17 故这个等腰三角形的周长是 17 故选 A 点评：
2、 本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论 2. （ 2014广西玉林市、 防城港市， 第 10 题 3 分） 在等腰ABC 中， AB=AC， 其周长为 20cm， 则 AB 边的取值范围是（ ） A 1cmAB4cm B 5cmAB10cm C 4cmAB8cm D 4cmAB10cm 考点： 等腰三角形的性质；解一元一次不等式组；三角形三边关系来源:163文库 分析： 设 AB=AC=x，则 BC=202x，根据三角形的三边关系即可得出结论 解答： 解：在等腰ABC 中，AB=AC，其周长为 20cm， 设 AB=AC=xcm，则 BC=（202x）cm， ， 解得
3、5cmx10cm 故选 B 点评： 本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键 来源:学*科*网 3（2014 浙江金华， 第 8 题 4 分） 如图， 将 RtABC 绕直角顶点顺时针旋转 90 ， 得到ABC， 2 / 31 连结 AA，若1=20 ，则B 的度数是【 】 A70 B65 C60 D55 【答案】B 【解析】 4. （2014扬州，第 7 题，3 分）如图，已知AOB=60 ，点 P 在边 OA 上，OP=12，点 M， N 在边 OB 上，PM=PN，若 MN=2，则 OM=（ ） （第 1 题图） A 3 B 4 C 5 D 6 考点： 含
4、30 度角的直角三角形；等腰三角形的性质 分析： 过 P 作 PDOB，交 OB 于点 D，在直角三角形 POD 中，利用锐角三角函数定义求 3 / 31 出 OD 的长，再由 PM=PN，利用三线合一得到 D 为 MN 中点，根据 MN 求出 MD 的 长，由 ODMD 即可求出 OM 的长 解答： 解：过 P 作 PDOB，交 OB 于点 D， 在 RtOPD 中，cos60 = ，OP=12， OD=6， PM=PN，PDMN，MN=2， MD=ND= MN=1， OM=ODMD=61=5 故选 C 点评： 此题考查了含 30 度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的
5、性质是解本题的关键 来源:学*科*网 二二.填空题填空题 1. （ 2014广东，第 16 题 4 分）如图，ABC 绕点 A 顺时针旋转 45 得到ABC，若 BAC=90 ，AB=AC=，则图中阴影部分的面积等于 1 考点： 旋转的性质 分析： 根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出 AD= BC=1， AF=FC=AC=1，进而求出阴影部分的面积 4 / 31 解答： 解：ABC 绕点 A 顺时针旋转 45 得到ABC，BAC=90 ，AB=AC=， BC=2，C=B=CAC=C=45， ADBC，BCAB，来源:163文库 AD= BC=1，AF=FC=AC=1， 图中阴影
6、部分的面积等于：SAFCSDEC= 1 1 （1）2=1 故答案为：1 点评： 此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出 AD，AF，DC 的长是解题关键 2. （ 2014珠海，第 10 题 4 分）如图，在等腰 RtOAA1中，OAA1=90 ，OA=1，以 OA1 为直角边作等腰 RtOA1A2，以 OA2为直角边作等腰 RtOA2A3，则 OA4的长度为 8 考点： 等腰直角三角形 专题： 规律型 分析： 利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案 解答： 解：OAA1为等腰直角三角形，OA=1， AA1=OA=1，OA1=OA=； OA1A2
7、为等腰直角三角形， A1A2=OA1=，OA2=OA1=2； OA2A3为等腰直角三角形， A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2； 5 / 31 OA3A4为等腰直角三角形， A3A4=OA3=2，OA4=OA3=8 故答案为：8 点评： 此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理， 熟练应用勾股定理得出是解题 关键 3. （ 2014广西贺州，第 17 题 3 分）如图，等腰ABC 中，AB=AC，DBC=15 ，AB 的 垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，则A 的度数是 50 考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质 分析： 根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得
8、 AD=BD，根据等边对等角可得 A=ABD，然后表示出ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得C=ABC，然 后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可 解答： 解：MN 是 AB 的垂直平分线， AD=BD， A=ABD， DBC=15 ， ABC=A+15 ，来源:学|科|网 AB=AC， C=ABC=A+15 ， A+A+15 +A+15 =180 ， 解得A=50 故答案为：50 点评： 本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质， 熟记性质并用A 表示出ABC 的另两个角，然后列出方程是解题的关键 6 / 31 4(2014 年天津市，第 17 题 3 分
9、)如图，在 RtABC 中，D，E 为斜边 AB 上的两个点，且 BD=BC，AE=AC，则DCE 的大小为 45 （度） 考点： 等腰三角形的性质 分析： 设DCE=x，ACD=y，则ACE=x+y，BCE=90 ACE=90 xy，根据等 边对等角得出ACE=AEC=x+y，BDC=BCD=BCE+DCE=90 y然后在DCE 中，利用三角形内角和定理列出方程 x+（90 y）+（x+y）=180 ，解方程即可求出DCE 的大小 解答： 解：设DCE=x，ACD=y，则ACE=x+y，BCE=90 ACE=90 xy AE=AC， ACE=AEC=x+y， BD=BC， BDC=BCD=B
10、CE+DCE=90 xy+x=90 y 在DCE 中，DCE+CDE+DEC=180 ， x+（90 y）+（x+y）=180 ， 解得 x=45 ， DCE=45 故答案为 45 点评： 本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理， 设出适当的未知数列出方程是 解题的关键 5（2014新疆， 第 12 题 5 分） 如图， 在ABC 中， AB=AC， A=40 ， 点 D 在 AC 上， BD=BC， 则ABD 的度数是 7 / 31 考点： 等腰三角形的性质 分析： 根据等腰三角形两底角相等求出ABC=C， 再求出CBD， 然后根据ABD=ABC CBD 代入数据计算即可得解 解答：
11、解：AB=AC，A=40 ， ABC=C= （180 40 ）=70 ， BD=BC， CBD=180 70 2=40 ， ABD=ABCCBD =70 40 =30 故答案为：30 点评： 本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识 图是解题的关键 6 （2014 年云南省，第 13 题 3 分）如图，在等腰ABC 中，AB=AC，A=36 ，BDAC 于点 D，则CBD= 18 考点： 等腰三角形的性质 分析： 根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得DBC 的度数 解答： 解：AB=AC，A=36 ， 8 / 31 ABC=ACB=72
12、BDAC 于点 D， CBD=90 72 =18 故答案为：18 点评： 本题主要考查等腰三角形的性质， 解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质 和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般 7. （2014益阳，第 13 题，4 分）如图，将等边ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转，使边 AB 与 AC 重合得ACD，BC 的中点 E 的对应点为 F，则EAF 的度数是 60 （第 1 题图） 考点： 旋转的性质；等边三角形的性质 分析： 根据等边三角形的性质以及旋转的性质得出旋转角，进而得出EAF 的度数 解答： 解：将等边ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转，使边 AB 与 AC 重合得A
13、CD，BC 的中点 E 的对应点为 F， 旋转角为 60 ，E，F 是对应点， 则EAF 的度数为：60 故答案为：60 点评： 此题主要考查了等边三角形的性质以及旋转的性质，得出旋转角的度数是解题关键 8. （2014泰州，第 15 题，3 分）如图，A、B、C、D 依次为一直线上 4 个点，BC=2，BCE 为等边三角形，O 过 A、D、E3 点，且AOD=120 设 AB=x，CD=y，则 y 与 x 的函数 关系式为 y= （x0） 9 / 31 （第 2 题图） 考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；圆周角定理 分析： 连接 AE，DE，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一
14、半，求得AED=120 ，然后求 得ABEECD根据相似三角形的对应边对应成比例即可表示出 x 与 y 的关系， 从而不难求解 解答： 解：连接 AE，DE， AOD=120 ， 为 240 ， AED=120 ， BCE 为等边三角形， BEC=60 ； AEB+CED=60 ； 又EAB+AEB=60 ， EAB=CED， ABE=ECD=120 ； =， 即 = ， y= （x0） 点评： 此题主要考查学生圆周角定理以及对相似三角形的判定与性质及反比例函数的实际 运用能力 10 / 31 9. （2014扬州，第 10 题，3 分）若等腰三角形的两条边长分别为 7cm 和 14cm，则它
15、的周 长为 35 cm 考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系 分析： 题目给出等腰三角形有两条边长为 7cm 和 14cm，而没有明确腰、底分别是多少，所 以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形 解答： 解：14cm 为腰，7cm 为底，此时周长为 14+14+7=35cm； 14cm 为底，7cm 为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去 故其周长是 35cm 故答案为 35 点评： 此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况 已知没有明 确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构 成三角形进行解答，这点非常重要
16、，也是解题的关键 10.（2014呼和浩特，第 13 题 3 分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 36，则该等 腰三角形的底角的度数为 63 或 27 考点： 等腰三角形的性质 专题： 分类讨论 分析： 分锐角三角形和钝角三角形两种情况， 利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即 可求出它的底角的度数 解答： 解：在三角形 ABC 中，设 AB=AC，BDAC 于 D 若是锐角三角形，A=90 36 =54 ， 底角=（180 54 ） 2=63 ； 若三角形是钝角三角形，BAC=36 +90 =126 ， 此时底角=（180 126 ） 2=27 11 / 31 所以等腰三角形底角的度
17、数是 63 或 27 点评： 此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用， 此题的关 键是熟练掌握三角形内角和定理 三三.解答题解答题 1. （2014湘潭，第 25 题） ABC 为等边三角形，边长为 a，DFAB，EFAC， （1）求证：BDFCEF； （2）若 a=4，设 BF=m，四边形 ADFE 面积为 S，求出 S 与 m 之间的函数关系，并探究当 m 为何值时 S 取最大值； （3）已知 A、D、F、E 四点共圆，已知 tanEDF=，求此圆直径 （第 1 题图） 考点： 相似形综合题；二次函数的最值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形 分析： （1
18、）只需找到两组对应角相等即可 （2）四边形 ADFE 面积 S 可以看成ADF 与AEF 的面积之和，借助三角函数用 m 表 示出 AD、DF、AE、EF 的长，进而可以用含 m 的代数式表示 S，然后通过配方，转化为 二次函数的最值问题，就可以解决问题 （3）易知 AF 就是圆的直径，利用圆周角定理将EDF 转化为EAF在AFC 中，知 道 tanEAF、C、AC，通过解直角三角形就可求出 AF 长 解答： 解： （1）DFAB，EFAC， BDF=CEF=90 12 / 31 ABC 为等边三角形， B=C=60 BDF=CEF，B=C， BDFCEF （2）BDF=90 ，B=60 ，
19、sin60 =，cos60 = BF=m， DF=m，BD= AB=4， AD=4来源:163文库 SADF=ADDF = （4）m =m2+m 同理：SAEF=AEEF = （4）（4m） =m2+2 S=SADF+SAEF =m2+m+2 =（m24m8） =（m2）2+3其中 0m4 0，024， 当 m=2 时，S 取最大值，最大值为 3 S 与 m 之间的函数关系为： S（m2）2+3（其中 0m4） 当 m=2 时，S 取到最大值，最大值为 3 13 / 31 （3）如图 2， A、D、F、E 四点共圆， EDF=EAF ADF=AEF=90 ， AF 是此圆的直径 tanEDF=
20、， tanEAF= = C=60 ， =tan60 = 设 EC=x，则 EF=x，EA=2x AC=a， 2x+x=A x= EF=，AE= AEF=90 ， AF= 此圆直径长为 点评： 本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定 理、等边三角形的性质等知识，综合性强利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合 14 / 31 适的位置是解决最后一小题的关键 2. （2014益阳，第 20 题，10 分）如图，直线 y=3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，抛 物线 y=a（x2）2+k 经过点 A、B，并与 X 轴交于另一点 C，其顶点为 P （1）
21、求 a，k 的值； （2）抛物线的对称轴上有一点 Q，使ABQ 是以 AB 为底边的等腰三角形，求 Q 点的坐标； （3）在抛物线及其对称轴上分别取点 M、N，使以 A，C，M，N 为顶点的四边形为正方形， 求此正方形的边长 （第 2 题图） 考点： 二次函数综合题 分析： （1）先求出直线 y=3x+3 与 x 轴交点 A，与 y 轴交点 B 的坐标，再将 A、B 两点坐 标代入 y=a（x2）2+k，得到关于 a，k 的二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设 Q 点的坐标为（2，m） ，对称轴 x=2 交 x 轴于点 F，过点 B 作 BE 垂直于直线 x=2 于点 E 在 RtAQ
22、F 与 RtBQE 中， 用勾股定理分别表示出 AQ2=AF2+QF2=1+m2， BQ2=BE2+EQ2=4+（3m）2，由 AQ=BQ，得到方程 1+m2=4+（3m）2，解方程求出 m=2，即可求得 Q 点的坐标； （3）当点 N 在对称轴上时，由 NC 与 AC 不垂直，得出 AC 为正方形的对角线，根据 抛物线的对称性及正方形的性质，得到 M 点与顶点 P（2，1）重合，N 点为点 P 关于 x 轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且 ACMN，则四边形 AMCN 为正方 形，在 RtAFN 中根据勾股定理即可求出正方形的边长 解答： 解： （1）直线 y=3x+3 与 x
23、 轴、y 轴分别交于点 A、B， A（1，0） ，B（0，3） 又抛物线抛物线 y=a（x2）2+k 经过点 A（1，0） ，B（0，3） ， 15 / 31 ，解得， 故 a，k 的值分别为 1，1； （2）设 Q 点的坐标为（2，m） ，对称轴 x=2 交 x 轴于点 F，过点 B 作 BE 垂直于直线 x=2 于点 E 在 RtAQF 中，AQ2=AF2+QF2=1+m2， 在 RtBQE 中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3m）2， AQ=BQ， 1+m2=4+（3m）2， m=2， Q 点的坐标为（2，2） ； （3）当点 N 在对称轴上时，NC 与 AC 不垂直，所以 AC 应为正
24、方形的对角线 又对称轴 x=2 是 AC 的中垂线， M 点与顶点 P（2，1）重合，N 点为点 P 关于 x 轴的对称点，其坐标为（2，1） 此时，MF=NF=AF=CF=1，且 ACMN， 四边形 AMCN 为正方形 在 RtAFN 中，AN=，即正方形的边长为 点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法，等腰三 角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，正方形的判定与性质，综合性较强，难度 适中 3. （2014株洲，第 23 题，8 分）如图，PQ 为圆 O 的直径，点 B 在线段 PQ 的延长线上， OQ=QB=1，动点 A 在圆 O 的上半圆运动（含 P
25、、Q 两点） ，以线段 AB 为边向上作等边三角 形 ABC 16 / 31 （1）当线段 AB 所在的直线与圆 O 相切时，求ABC 的面积（图 1） ； （2）设AOB=，当线段 AB、与圆 O 只有一个公共点（即 A 点）时，求 的范围（图 2， 直接写出答案） ； （3）当线段 AB 与圆 O 有两个公共点 A、M 时，如果 AOPM 于点 N，求 CM 的长度（图 3） （第 3 题图） 考点： 圆的综合题；等边三角形的性质；勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质； 特殊角的三角函数值 分析： （1）连接 OA，如下图 1，根据条件可求出 AB，然后 AC 的高 BH，求出 B
26、H 就可以 求出ABC 的面积 （2）如下图 2，首先考虑临界位置：当点 A 与点 Q 重合时，线段 AB 与圆 O 只有一 个公共点，此时 =0 ；当线段 AB 所在的直线与圆 O 相切时，线段 AB 与圆 O 只有一 个公共点，此时 =60 从而定出 的范围 （3）设 AO 与 PM 的交点为 D，连接 MQ，如下图 3，易证 AOMQ，从而得到 PDOPMQ，BMQBAO，又 PO=OQ=BQ，从而可以求出 MQ、OD，进而 求出 PD、DM、AM、CM 的值 解答： 解： （1）连接 OA，过点 B 作 BHAC，垂足为 H，如图 1 所示 AB 与O 相切于点 A， OAAB OAB
27、=90 OQ=QB=1， OA=1 17 / 31 AB= = = ABC 是等边三角形， AC=AB=，CAB=60 sinHAB=， HB=ABsinHAB = = SABC=ACBH = = ABC 的面积为 （2）当点 A 与点 Q 重合时， 线段 AB 与圆 O 只有一个公共点，此时 =0 ；来源:学.科.网 Z.X.X.K 当线段 A1B 所在的直线与圆 O 相切时，如图 2 所示， 线段 A1B 与圆 O 只有一个公共点， 此时 OA1BA1，OA1=1，OB=2， cosA1OB= A1OB=60 当线段 AB 与圆 O 只有一个公共点（即 A 点）时， 的范围为：060 （3
28、）连接 MQ，如图 3 所示 PQ 是O 的直径， PMQ=90 OAPM， 18 / 31 PDO=90 PDO=PMQ PDOPMQ = PO=OQ=PQ PD=PM，OD=MQ 同理：MQ=AO，BM=AB AO=1， MQ= OD= PDO=90 ，PO=1，OD=， PD= PM= DM= ADM=90 ，AD=A0OD=， AM= = = ABC 是等边三角形， AC=AB=BC，CAB=60 BM=AB， AM=BM CMAB AM=， BM=，AB= AC= 19 / 31 CM= = = CM 的长度为 点评： 本题考查了等边三角形的性质、 相似三角形的性质与判定、 直线与圆
29、相切、 勾股定理、 特殊三角函数值等知识，考查了用临界值法求角的取值范围，综合性较强 4. （2014泰州，第 23 题，10 分）如图，BD 是ABC 的角平分线，点 E，F 分别在 BC、 AB 上，且 DEAB，EFAC （1）求证：BE=AF； （2）若ABC=60 ，BD=6，求四边形 ADEF 的面积 （第 4 题图） 考点： 平行四边形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含 30 度角 的直角三角形 分析： （1）由 DEAB，EFAC，可证得四边形 ADEF 是平行四边形，ABD=BDE， 又由 BD 是ABC 的角平分线，易得BDE 是等腰三角形，即可证得结
30、论； 20 / 31 （2）首先过点 D 作 DGAB 于点 G，过点 E 作 EHBD 于点 H，易求得 DG 与 DE 的长，继而求得答案 解答： （1）证明：DEAB，EFAC， 四边形 ADEF 是平行四边形，ABD=BDE， AF=DE， BD 是ABC 的角平分线， ABD=DBE， DBE=BDE， BE=DE， BE=AF； （2）解：过点 D 作 DGAB 于点 G，过点 E 作 EHBD 于点 H， ABC=60 ，BD 是ABC 的平分线， ABD=EBD=30 ， DG= BD= 6=3， BE=DE， BH=DH= BD=3， BE=2， DE=BE=2， 四边形 A
31、DEF 的面积为：DEDG=6 点评： 此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知 识此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用 21 / 31 5. （2014泰州，第 26 题，14 分）平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B 分别在函数 y1= （x 0）与 y2= （x0）的图象上，A、B 的横坐标分别为 a、B （第 5 题图） （1）若 ABx 轴，求OAB 的面积； （2）若OAB 是以 AB 为底边的等腰三角形，且 a+b0，求 ab 的值； （3）作边长为 3 的正方形 ACDE，使 ACx 轴，点 D 在点 A 的左上方，那
32、么，对大于或等 于 4 的任意实数 a，CD 边与函数 y1= （x0）的图象都有交点，请说明理由 考点： 反比例函数综合题来源:学_科_网 分析： （1） 如图 1， AB 交 y 轴于 P， 由于 ABx 轴， 根据 k 的几何意义得到 SOAC=2， SOBC=2， 所以 SOAB=SOAC+SOBC=4； （2）根据分别函数图象上点的坐标特征得 A、B 的纵坐标分别为 、 ，根据两点 间的距离公式得到 OA2=a2+（ ）2，OB2=b2+（ ）2，则利用等腰三角形的性质得 到 a2+（ ）2=b2+（ ）2，变形得到（a+b） （ab） （1）=0，由于 a+b0， a0，b0，所以
33、 1=0，易得 ab=4； （3）由于 a4，AC=3，则可判断直线 CD 在 y 轴的右侧，直线 CD 与函数 y1= （x 0）的图象一定有交点，设直线 CD 与函数 y1= （x0）的图象交点为 F，由于 A 点坐标为（a， ） ，正方形 ACDE 的边长为 3，则得到 C 点坐标为（a3， ） ，F 点 的坐标为（a3，） ，所以 FC= ，然后比较 FC 与 3 的大小，由于 3 FC=3（ ）=，而 a4，所以 3FC0，于是可判断点 22 / 31 F 在线段 DC 上 解答： 解： （1）如图 1，AB 交 y 轴于 P， ABx 轴， SOAC= |4|=2，SOBC= |4
34、|=2， SOAB=SOAC+SOBC=4； （2）A、B 的横坐标分别为 a、b， A、B 的纵坐标分别为 、 ， OA2=a2+（ ）2，OB2=b2+（ ）2，来源:163文库 ZXXK OAB 是以 AB 为底边的等腰三角形， OA=OB， a2+（ ）2=b2+（ ）2， a2b2+（ ）2（ ）2=0， a2b2+=0， （a+b） （ab） （1）=0， a+b0，a0，b0， 1=0， ab=4； （3）a4， 而 AC=3， 直线 CD 在 y 轴的右侧，直线 CD 与函数 y1= （x0）的图象一定有交点， 设直线 CD 与函数 y1= （x0）的图象交点为 F，如图 2，
35、 A 点坐标为（a， ） ，正方形 ACDE 的边长为 3， C 点坐标为（a3， ） ， F 点的坐标为（a3，） ， 23 / 31 FC= ， 3FC=3（ ）=， 而 a4， 3FC0，即 FC3， CD=3， 点 F 在线段 DC 上， 即对大于或等于 4 的任意实数 a，CD 边与函数 y1= （x0）的图象都有交点来源: 163文库 ZXXK 点评： 本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数 比例系数的几何意义、 图形与坐标和正方形的性质； 会利用求差法对代数式比较大小 6. （2014扬州，第 28 题，12 分）已知矩形 ABCD 的一条边
36、AD=8，将矩形 ABCD 折叠， 使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处 （第 6 题图） （1）如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连结 AP、OP、OA 求证：OCPPDA； 若OCP 与PDA 的面积比为 1：4，求边 AB 的长； （2）若图 1 中的点 P 恰好是 CD 边的中点，求OAB 的度数； 24 / 31 （3）如图 2，擦去折痕 AO、线段 OP，连结 BP动点 M 在线段 AP 上（点 M 与点 P、A 不重合） ，动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM，连结 MN 交 PB 于点 F，作 MEBP 于点 E试问当点 M、N 在移动过程中，线段
37、EF 的长度是否发生 变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段 EF 的长度 考点： 相似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩 形的性质；特殊角的三角函数值 专题： 综合题；动点型；探究型 分析： （1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似，然后根据相似三角形 的性质求出 PC 长以及 AP 与 OP 的关系，然后在 RtPCO 中运用勾股定理求出 OP 长，从而求出 AB 长 （2）由 DP= DC= AB= AP 及D=90 ，利用三角函数即可求出DAP 的度数，进 而求出OAB 的度数 （3）由边相等常常联想到全等，但 BN 与 PM 所在的
38、三角形并不全等，且这两条线段 的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性 质即可推出 EF 是 PB 的一半，只需求出 PB 长就可以求出 EF 长 解答： 解： （1）如图 1， 四边形 ABCD 是矩形，AD=BC，DC=AB，DAB=B=C=D=90 由折叠可得：AP=AB，PO=BO，PAO=BAOAPO=B APO=90 APD=90 CPO=POC D=C，APD=POC OCPPDA OCP 与PDA 的面积比为 1：4， = PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP AD=8，CP=4，BC=8 设 OP=x，则 OB=x，CO=8x 25 /
39、31 在 RtPCO 中， C=90 ，CP=4，OP=x，CO=8x， x2=（8x）2+42 解得：x=5 AB=AP=2OP=10 边 AB 的长为 10 （2）如图 1， P 是 CD 边的中点， DP= DC DC=AB，AB=AP， DP= AP D=90 ， sinDAP= DAP=30 DAB=90 ，PAO=BAO，DAP=30 ， OAB=30 OAB 的度数为 30 （3）作 MQAN，交 PB 于点 Q，如图 2 AP=AB，MQAN， APB=ABP，ABP=MQP APB=MQP MP=MQ MP=MQ，MEPQ， PE=EQ= PQ BN=PM，MP=MQ， BN
40、=QM MQAN， 26 / 31 QMF=BNF 在MFQ 和NFB 中， MFQNFB QF=BF QF= QB EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB 由（1）中的结论可得： PC=4，BC=8，C=90 PB=4 EF= PB=2 在（1）的条件下，当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度不变，长度为 2 点评： 本题是一道运动变化类的题目，考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质 和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、特殊角的三角函数值等 知识，综合性比较强，而添加适当的辅助线是解决最后一个问题的关键 7 （2014温州，第 20 题 10 分）如图，在
41、等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，DEAB，过点 E 作 EFDE，交 BC 的延长线于点 F （1）求F 的度数； （2）若 CD=2，求 DF 的长 27 / 31 考点： 等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形 分析： （1）根据平行线的性质可得EDC=B=60，根据三角形内角和定理即可求解； （2）易证EDC 是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解 解答： 解： （1）ABC 是等边三角形， B=60 ， DEAB， EDC=B=60 ， EFDE， DEF=90 ， F=90 EDC=30 ； （2）ACB=60 ，EDC=60 ， ED
42、C 是等边三角形 ED=DC=2， DEF=90 ，F=30 ， DF=2DE=4 点评： 本题考查了等边三角形的判定与性质， 以及直角三角形的性质， 30 度的锐角所对的直 角边等于斜边的一半 8.（2014 年广东汕尾，第 19 题 7 分）如图，在 RtABC 中，B=90 ，分别以点 A、C 为 圆心，大于 AC 长为半径画弧，两弧相交于点 M、N，连接 MN，与 AC、BC 分别交于点 D、 E，连接 AE （1）求ADE； （直接写出结果） （2）当 AB=3，AC=5 时，求ABE 的周长 28 / 31 分析： （1）根据题意可知 MN 是线段 AC 的垂直平分线，由此可得出结
43、论； （2）先根据勾股定理求出 BC 的长，再根据线段垂直平分线的性质即可得出结论 解： （1）由题意可知 MN 是线段 AC 的垂直平分线，ADE=90 ； （2）在 RtABC 中，B=90 ，AB=3，AC=5，BC=4， MN 是线段 AC 的垂直平分线，AE=CE， ABE 的周长=AB+（AE+BE）=AB+BC=3+4=7 点评：本题考查的是作图基本作图，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相 等是解答此题的关键 9.（2014襄阳，第 21 题 6 分）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：EBO=DCO
44、；BE=CD；OB=OC （1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定ABC 是等腰三角形？（用序号写出所有成 立的情形） （2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定 专题： 开放型 分析： （1）由；两个条件可以判定ABC 是等腰三角形， （2）先求出ABC=ACB，即可证明ABC 是等腰三角形 解答： 解： （1）； 29 / 31 （2）选证明如下， OB=OC， OBC=OCB， EBO=DCO， 又ABC=EBO+OBC，ACB=DCO+OCB， ABC=ACB， ABC 是等腰三角形 点评： 本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关
45、键是找出相等的角求ABC=ACB 10.（2014滨州，第 24 题 10 分）如图，已知正方形 ABCD，把边 DC 绕 D 点顺时针旋转 30 到 DC处，连接 AC，BC，CC，写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程 考点： 正方形的性质；等腰三角形的判定；旋转的性质 分析： 利用旋转的性质以及正方形的性质进而得出等腰三角形，再利用全等三 角形的判定与性质判断得出 解答： 解；图中的等腰三角形有：DCC，DCA，CAB，CBC， 理由：四边形 ABCD 是正方形， AB=AD=DC，BAD=ADC=90 ， DC=DC=DA， DCC，DCA 为等腰三角形， CDC=30 ，ADC=90 ， ADC=60， ACD 为等边三角形， CAB=90 60 =30 ， CDC=CAB， 30 /
