1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 7 6 空间向量及运算 知识梳理 1空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式 设点 A(x1， y1， z1)， B(x2， y2， z2)， 则 |AB| ?x1 x2?2 ?y1 y2?2 ?z1 z2?2. 设点 P(x， y， z)，则与坐标原点 O 之间的距离为 |OP| x2 y2 z2. (2)中点公式 设点 P(x， y， z)为 P1(x1， y1， z1)， P2(x2， y2， z2)的中点，则? x x1 x22 ，y y1 y22 ，z z1 z22. 2空间向量的数量积 ab |a|b|cos a， b 3空间向量的坐标运算
2、a (a1， a2， a3)， b (b1， b2， b3)(a， b 均为非零向量 )： =【 ;精品教育资源文库 】 = 诊断自测 1概念思辨 (1)两向量夹角的范围与两异面直线所成的角的范围相同 ( ) (2)在向量的数量积运算中 (ab ) c a( bc ) ( ) (3)若 a， b， c是空间的一个基底，则 a， b， c 中至多有一个零向量 ( ) (4)对空间任意 一点 O 与不共线的三点 A， B， C，若 OP xOA yOB zOC (其中 x， y， z R)，则 P， A， B， C 四点共面 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(选修
3、A2 1P97A 组 T2)如图所示，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， M 为 A1C1与 B1D1的交点若 AB a， AD b， AA1 c，则下列向量中与 BM 相等的向量是 ( ) A 12a 12b c B.12a 12b c C 12a 12b c D.12a 12b c 答案 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由题意，根据向量运算的几何运算法则， BM BB1 B1M AA1 12(AD AB ) c 12(b a) 12a 12b c.故选 A. (2)(选修 A2 1P98T4)如图所示，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，
4、F， G 分别是 AB， AD， CD 的中点，计算： EF BA ； EF DC ； EG 的长 解 设 AB a， AC b， AD c，则 |a| |b| |c| 1， a， b b， c c， a60. EF 12BD 12c 12a， BA a， DC b c， EF BA ? ?12c 12a ( a) 12a2 12a c 14. EF DC 12(c a)( b c) 12(b c a b c2 a c) 14. EG EB BC CG 12a b a 12c 12b 12a 12b 12c， |EG |2 14a2 14b2 14c2 12ab 12bc 12ca 12，则
5、|EG | 22 .所以 EG 的长为 22 . 3小题热身 (1)在空间直角坐标系中， A(1,2,3)， B( 2， 1,6)， C(3,2,1)， D(4,3,0)，则直线AB 与 CD 的位置关系是 ( ) A垂直 B平行 C异面 D相交但不垂直 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 B 解析 由题意得， AB ( 3， 3,3)， CD (1,1， 1)， AB 3CD ， AB 与 CD共线，又 AB 与 CD 没有公共点， AB CD.故选 B. (2)O 为空间中任意一点， A， B， C 三点不共线，且 OP 34OA 18OB tOC ，若 P， A， B， C四点共面，
6、则实数 t _. 答案 18 解析 P， A， B， C 四点共面， 34 18 t 1， t 18. 题型 1 空间向量的线性运算 典例 如图所示，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，设 AA1 a， AB b， AD c， M， N，P 分别是 AA1， BC， C1D1的中点，试用 a， b， c 表示以下各向量： (1)AP ； (2)A1N ； (3)MP NC1 . 解 (1) P 是 C1D1的中点， AP AA1 A1D1 D1P a AD 12D1C1 a c 12AB a c 12b. (2) N 是 BC 的中点， A1N A1A AB BN a b 12BC a
7、 b 12AD a b 12c. (3) M 是 AA1的中点， MP MA AP 12A1A AP 12a ( a c 12b ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 12a 12b c， 又 NC1 NC CC1 12BC AA1 12AD AA1 12c a. MP NC1 ? ?12a 12b c ? ?a 12c 32a 12b 32c. 方法技巧 用已知向量表示某一向量的方法 1用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键 2要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量
8、加法的多边形法则 3在立体几何中要 灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立 提醒：利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来 冲关针对训练 (2018 郑州模拟 )如图所示，已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB， AC， M， N 分别为OA， BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且 MG 2GN ，若 OG xOA yOB zOC ，则 x y z _. 答案 56 解析 设 OA a， OB b， OC c. 则 MN ON OM 12(OB OC ) 12OA 12b 12c 12a， OG OM MG 12OA 23MN 12a 23?
9、 ?12b 12c 12a 16a 13b 13c， 又 OG xOA yOB zOC ， 所以 x 16， y 13， z 13， =【 ;精品教育资源文库 】 = x y z 16 13 13 56. 题型 2 共线向量与共面向量定理的应用 典例 已知 E， F， G， H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB， BC， CD， DA 的中点 (1)求证： E， F， G， H 四点共面； (2)设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任一点 O，有 OM 14(OA OB OC OD ) 证明 (1)如图，连接 BG， 则 EG EB BG EB 12(BC BD ) EB B
10、F EH EF EH ， 由共面向量定理的推论知： E， F， G， H 四点共面 (2)找一点 O，并连接 OM， OA， OB， OC， OD， OE， OG，如图所示，由 (2)知 EH 12BD ，同理 FG 12BD ， 所以 EH FG ，即 EH 綊 FG， 所以四边形 EFGH 是平行四边形 所以 EG， FH 交于一点 M 且被 M 平分 故 OM 12(OE OG ) 12OE 12OG =【 ;精品教育资源文库 】 = 12? ?12?OA OB ? 12? ?12?OC OD ? 14(OA OB OC OD ) 方法技巧 证 明三点共线和空间四点共面的方法 三点 (P
11、， A， B)共线 空间四点 (M， P， A， B)共面 PA PB 且同过点 P MP xMA yMB 对空间任一点 O， OP OA tAB 对空间任一点 O， OP OM xMA yMB 对空间任一点 O， OP xOA (1 x)OB 对空间任一点 O， OP xOM yOA (1 x y)OB 提醒：三点共线通常转化为向量共线，四点共面通常转化为向量共面，线面平行可转化为向量共线、共面来证明，共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件 冲关针对训练 1已知 A， B， C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足 OM 13(OA OB OC ) (
12、1)判断 MA ， MB ， MC 三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内 解 (1)由已知 OA OB OC 3OM ， OA OM (OM OB ) (OM OC )， 即 MA BM CM MB MC ， MA ， MB ， MC 共面 (2)由 (1)知， MA ， MB ， MC 共面且 MA， MB， MC 过同一点 M， M， A， B， C 四点共面，从而点 M 在平面 ABC 内 2如图，设 P 为长方形 ABCD 所在平面外一点， M 在 PD 上， N 在 AC 上，若 DMMP CNNA，用向量法证明：直线 MN 平面 PAB. =【 ;精品教育资
13、源文库 】 = 证明 建立如图所示的空间坐标系，设 C(a,0,0)， A(0， b,0)， P(m， n， p)，则 D(a， b,0)， BP (m， n， p)， BA (0， b,0)， CA ( a， b,0)， DP (m a， n b， p)， DC (0， b,0)， DMMP CNNA， DMDP CNCA， 设 DMDP CNCA ， 则 DM DP (m a ， n b ， p )， CN CA ( a ， b ， 0) MN DM DC CN ( m ， 2b n b， p )， MN BP (2 1)BA . BP?平面 PAB， BA?平面 PAB， MN?平面 P
14、AB， MN 平面 PAB. 题型 3 空间向量的数量积及应用 典例 如图所示，已知空间四边形 ABCD 的各边和对角线的长都等于 a，点 M， N 分别是AB， CD 的中点 (1)求证： MN AB， MN CD； (2)求异面直线 AN 与 CM 所成角的余弦值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)证明：设 AB p， AC q， AD r. 由题意可知， |p| |q| |r| a，且 p， q， r 三向量两两夹角均为 60. MN AN AM 12(AC AD ) 12AB 12(q r p)， MN AB 12(q r p) p 12(q p r p p2) 12(a2cos60 a2cos60 a2) 0. MN AB ，即 MN AB. 同理可证 MN CD. (2)设向量 AN 与 MC 的夹角为 . AN 12(AC AD ) 12(q r)， MC AC AM q 12p， AN MC 12(q r) ? ?q 12p . 12? ?q
