1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 22 讲 正弦定理和余弦定理 考纲要求 考情分析 命题趋势 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 . 2016 全国卷 ， 17 2016 四川卷， 17 2016 北京卷， 15 正、余弦定理是解三角形的主要工具 .高考中主要考查用其求三角形中的边和角及进行边、角之间的转化 . 分值： 5 12 分 1正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ！ asin A bsin B csin C # 2R (R 为 ABC 外接圆半径 ) a2 ！ b2 c2 2bccos A #， b2 ！ a2 c2 2accos B #， c
2、2 ！ a2 b2 2abcos C # 变形 形式 a ！ 2Rsin A #， b ！ 2Rsin B #， c ！ 2Rsin C #， sin A ！ a2R #， sin B ！ b2R #， sin C ！ c2R #， a b c ！ sin A sin B sin C cos A ！ b2 c2 a22bc #， cos B ！ a2 c2 b22ac #， cos C ！ a2 b2 c22ab # 2在 ABC 中，已知 a， b 和 A，解三角形时解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 =【 ;精品教育资源文库 】 = 关系式 ab a b 解的 个数 ！ 无解 #
3、 ！ 一解 # ！ 两解 # ！ 一解 # ！ 一解 # ！ 无解 # 3三角形常用的面积公式 (1)S 12a ha(ha表示 a 边上的高 ). (2)S 12absin C 12acsin B 12bcsin A abc4R . (3)S 12r(a b c)(r 为内切圆半径 ). 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”). (1)正弦定理和余弦定理对 任意三角形都成立 .( ) (2)三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等 .( ) (3)已知两边及其夹角求第三边，用余弦定理 .( ) (4)在 ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素 .( ) (5)在 ABC 中，若
4、 sin Asin B，则 AB.( ) 解析 (1)正确 .由正弦定理和余弦定理的证明过程可知，它们对任意三角形都成立 . (2)错误 .由正弦定理可知该结论错误 . (3)正确 .由余弦定理可知该结论正确 . (4)错误 .当已知三个角时不能求三边 . (5)正确 .由正弦定理知 sin A a2R， sin B b2R，由 sin Asin B 得 ab，即 AB. 2在 ABC 中，若 A 60 ， B 45 ， BC 3 2，则 AC ( B ) A 4 3 B 2 3 C 3 D 32 解析 由正弦定理得： BCsin A ACsin B，即 3 2sin 60 ACsin 45
5、， 所以 AC 3 232 22 2 3. 3在 ABC 中， a 3， b 1， c 2，则 A ( C ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 30 B 45 C 60 D 75 解析 cos A b2 c2 a22bc 1 4 3212 12，又 00， B 为锐角， sin B 45. sin A0， cos A 12. 0A ， A 3. (2)在 ABC 中 ， 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 bc. 5b2 a2 2c2， 5b2 b2 c2 bc 2c2， 4b2 bc 3c2 0， 4? ?bc 2 bc 3 0. 解得 bc 1(舍 )或 bc 34， sin Bsin C bc 34. 11 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.已知 a b， c 3， cos2A cos2B 3sin Acos A 3sin Bcos B
