1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 题组训练 13 函数与方程 1 函数 f(x) x 4x的零点个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 无数个 答案 C 解析 令 f(x) 0， 解 x 4x 0， 即 x2 4 0， 且 x0 ， 则 x 2 . 2 (2017 郑州质检 )函数 f(x) lnx 1x 1的零点的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案 C 解析 y 1x 1与 y lnx 的图像有两个交点 3 函数 f(x) 1 xlog2x 的零点所在的区间是 ( ) A (14， 12) B (12， 1) C (1， 2) D (2， 3) 答案 C 解析 因为 y
2、 1x与 y log2x 的图像只有一个交点 ， 所以 f(x)只有一个零点又因为 f(1) 1， f(2) 1， 所以函数 f(x) 1 xlog2x 的零点所在的区间是 (1， 2)故选 C. 4 (2018 湖南株洲质检一 )设数列 an是等比数列 ， 函数 y x2 x 2 的两个零点是 a2， a3，则 a1a4 ( ) A 2 B 1 C 1 D 2 答案 D 解析 因为函数 y x2 x 2 的两个零点是 a2， a3， 所以 a2a3 2， 由等比数列性质可知a1a4 a2a3 2.故选 D. 5 若函数 f(x) 2x 2x a 的一个零点在区间 (1， 2)内 ， 则实数
3、a 的取值范围是 ( ) A (1， 3) B (1， 2) C (0， 3) D (0， 2) =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 C 解析 由条件可知 f(1)f(2)0， 即 lnx 1， 可解得 x1e， 所以 ， 当 01e时 ， 函数 g(x)单调递增 ， 由此可知当 x 1e时 ， g(x)min 1e.在同一坐标系中作出函数 g(x)和 h(x)的简图如图所示 ， 据图可得 1e0)的解的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 (数形结合法 ) a0， a2 11. 而 y |x2 2x|的图像如图 ， y |x2 2x|的图像与 y a2 1 的图
4、像总有两个交点 8 (2017 东城 区期末 )已知 x0是函数 f(x) 2x 11 x的一个零点若 x1 (1， x0)， x2 (x0， ) ， 则 ( ) A f(x1)0 C f(x1)0， f(x2)0， f(x2)0 答案 B =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 设 g(x) 11 x， 由于函数 g(x) 11 x 1x 1在 (1， ) 上单调递增 ， 函数 h(x) 2x 在 (1， ) 上单调递增 ， 故函数 f(x) h(x) g(x)在 (1， ) 上单调递增 ， 所以函数 f(x)在 (1， ) 上只有唯一的零点 x0， 且在 (1， x0)上 f(x1)0，故
5、选 B. 9 设方程 10x |lg( x)|的两个根分别 为 x1， x2， 则 ( ) A x1x21 D 00 D f(x0)的符号不确 定 答案 A 解析 因为函数 f(x) 2x log12x 在 (0， ) 上是增函数 ， a 是函数 f(x) 2x log12x 的零点 ， 即 f(a) 0， 所以当 00， 01， 故选 A. 12 若函数 y f(x)(x R)满足 f(x 2) f(x)且 x 1， 1时 ， f(x) 1 x2， 函数 g(x)?lgx， x0， 1x， x 1. 其中的真命题是 ( ) A p1， p3 B p2， p3 C p1， p4 D p3， p
6、4 答案 D 解析 由 (12)x sinx 1 0， 得 sinx 1 (12)x， 令 f(x) sinx， g(x) 1 (12)x， 在同一坐标系中画出两函数的图像如图 ， 由图像知： p1错 ， p3， p4对 ， 而由于 g(x) 1 (12)x递增 ， 小于 1， 且以直线 y 1为渐近线 ， f(x) sinx 在 1 到 1 之间振荡 ， 故在区间 (0， ) 上 ， 两者的图像有无穷多个交点 ， 所以 p2错 ， 故选 D. =【 ;精品教育资源文库 】 = 15 若函数 f(x)?2x a， x 0，lnx， x0， 有两个不同的零点 ， 则实数 a 的取值范围是 _ 答
7、案 (0， 1 解析 当 x0 时 ， 由 f(x) lnx 0， 得 x 1.因为函数 f(x)有两个不同的零点 ， 则当 x0时 ， 函数 f(x) 2x a 有一个零点令 f(x) 0， 得 a 2x.因为 00， 则函数 y f(f(x) 1 的所有零点所构成的集合为_ 答案 3， 12， 14， 2 解析 由题意知 f(f(x) 1， 所以 f(x) 2 或 f(x) 12， 则函数 y f(f(x) 1 的零点就是使 f(x) 2 或 f(x) 12的 x 值解 f(x) 2， 得 x 3 或 x 14；解 f(x) 12， 得 x 12或 x 2. 从而函数 y f(f(x) 1
8、 的零点构成的集合为 3， 12， 14， 2 17 判断函数 f(x) 4x x2 23x3在区间 1， 1上零点的个数 ， 并说明理由 答案 有一个零点 解析 f( 1) 4 1 23 730， f(x)在区间 1， 1上有零点 又 f (x) 4 2x 2x2 92 2(x 12)2， 当 1x1 时 ， 0 f (x) 92， f(x)在 1， 1上是单调递增函数 f(x)在 1， 1上有且只有 一个零点 18 已知函数 f(x) 4x m2 x 1 仅有一个零点 ， 求 m 的取值范围 ，并求出零点 答案 m 2， 零点是 x 0 解析 方法一：令 2x t， 则 t0， 则 g(t
9、) t2 mt 1 0 仅有一正根或两个相等的正根 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 而 g(0) 10， 故? m2 4 0， m20. m 2. 方法二：令 2x t， 则 t0. 原函数的零点 ， 即方程 t2 mt 1 0 的根 t2 1 mt. m t2 1t t1t(t0) 有一个零点 ， 即方程只有一根 t 1t 2(当且仅当 t 1t即 t 1 时取等号 )， 又 y t 1t在 (0， 1)上递减 ， 在 (1， ) 上递增 m 2 即 m 2 时 ， 只有一根 注：方法一侧重二次函数 ， 方法二侧重于分离参数 1 (2018 郑州质检 )x表示不超过 x 的最大整数 ，
10、 例如 2.9 2， 4.1 5， 已知f(x) x x(x R)， g(x) log4(x 1)， 则函数 h(x) f(x) g(x)的零点个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案 B 解析 作出函数 f(x)与 g(x)的图像如图所示 ， 发现有两个不同的交点 ， 故选 B. 2 函数 f(x) xcos2x 在区间 0， 2 上的零点的个数为 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 答案 D 解析 借助余弦函数的图像求解 f(x) xcos2x 0?x 0 或 cos2x 0， 又 cos2x 0 在 0，2 上有 4 ， 34 ， 54 ， 74 ，共 4 个根 ， 故原
11、函数有 5 个零点 3 方程 2 x x2 3 的实数解的个数为 ( ) A 2 B 3 C 1 D 4 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 A 解析 构造函数 y 2 x与 y 3 x2， 在同一坐标系中作出它们的图像 ， 可知有两个交点 ，故方程 2 x x2 3 的实数解的个数为 2.故选 A. 4 函数 f(x) ex 3x 的零点个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案 B 解析 由已知得 f (x) ex 30， 所以 f(x)在 R 上单调递增 ， 又 f( 1) e 1 30， 因此 f(x)的零点个数是 1， 故选 B. 5 设函数 f(x) 13x lnx，
12、则函数 y f(x)( ) A 在区间 (1e， 1)， (1， e)内均有零点 B 在区间 (1e， 1)， (1， e)内均无零点 C 在区间 (1e， 1)内有零点 ， 在区间 (1， e)内无零点 D 在区间 (1e， 1)内无零点 ， 在区间 (1， e)内有零点 答案 D 解析 方法一：令 f(x) 0得 13x lnx.作出函数 y 13x和 y lnx的图像 ，如图 ， 显然 y f(x)在 (1e， 1)内无零点 ， 在 (1， e)内有零点 ， 故选 D. 方法二：当 x( 1e， e)时 ， 函数图像是连续的 ， 且 f (x) 13 1x x 33x 0， f(1) 1
13、30， f(e) 13e 10， f(2) 3 log22 20， f(4) 32 log24 120） ，2x 1 （ x0 ） 的零点个数为 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案 D 解析 依题意 ， 在考虑 x0 时可以画出 y lnx 与 y x2 2x 的图像 ， 可知两个函数的图像有两个交点 ， 当 x0 时 ， 函数 f(x) 2x 1 与 x 轴只有一个交点 ， 所以函数 f(x)有 3 个零点故选 D. 8 如果函数 f(x) ax b(a0) 有一个零点是 2， 那么函数 g(x) bx2 ax 的零点是_ 答案 0， 12 解析 由已知条件 2a b 0， 即 b
14、 2a. g(x) 2ax2 ax 2ax(x 12)， 则 g(x)的零点是 x 0， x 12. 9 (2018东营模拟 )已知 x表示不超过实数 x 的最大整数 ， 如 1.8 1， 1.2 2.x0是函数 f(x) lnx 2x的零点 ， 则 x0等于 _ 答案 2 10 (2016 山东 )已知函数 f(x)?|x|， x m，x2 2mx 4m， xm， 其 中 m0.若存在实数 b， 使得关于x 的方程 f(x) b 有三个不同的根 ， 则 m 的取值范围是 _ 答案 (3， ) 解析 f(x)?|x|， x m，x2 2mx 4m， xm， 当 xm 时 ， f(x) x2 2mx 4m (x m)2 4m m2， 其顶点为 (m， 4m m2)；当 xm 时 ， 函数 f(x)的图像与直线 x m 的交点为 Q(m， m) 当?m0，4m m2 m， 即 00， 即 m3 时 ， 函数 f(x)的图像如图 2 所示 ， 则存在实数 b 满足 4m m2b m， 使得直线 y b 与函数 f(x)的图像有三个不同的交点 ， 符合题意综上 ， m 的取值范围为 (3， ) =【 ;精品教育资源文库 】 =
