1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 题组训练 62 直线与圆、圆与圆的位置关系 1 (2018 江西南昌市一模 )对任意的实数 k， 直线 y kx 1 与圆 x2 y2 2x 2 0 的位置关系是 ( ) A 相离 B相切 C 相交 D以上都有可能 答案 C 解析 圆 C： x2 y2 2x 2 0， 配方 ， 得 (x 1)2 y2 3， 圆心 (1， 0)， 直线 y kx 1 恒过 M(0， 1)， 而 (0 1)2 ( 1)20)与直线 y k(x 2)有公共点 ， 则k 的取值范围是 ( ) A 34， 0) B (0， 34) C (0， 34 D 34， 34 答案 C 解析 x
2、 2 y2 6x 0(y0)可化为 (x 3)2 y2 9(y0)， 曲线表示圆心为 (3， 0)， 半径为 3 的上半圆 ， 它与直线 y k(x 2)有公共点的充要条件是：圆心 (3， 0)到直线 y k(x2)的距离 d3 ， 且 k0， |3k 0 2k|k2 1 3， 且 k0， 解得 00)上的动点 ， 过点 P 作圆 C： x2 y2 2x 4y 4 0 的两条切线 ， A， B 是切点 ， C 是圆心 ， 若四边形 PACB 面积的最小值为2 2， 则 k 的值为 ( ) A 3 B 2 C.13 D.152 答案 A 解析 圆的标准方程为 (x 1)2 (y 2)2 1， 则
3、圆心为 C(1， 2)， 半径为 1.由题意知直线与圆相离 ， 如图所示 ， S 四边形 PACB S PAC S PBC， 而 S PAC 12|PA| |CA| 12|PA|， S PBC 12|PB| |CB| 12|PB|， 又 |PA| |PB| |PC|2 1， |PC|取最小值时 ， S PAC S PBC取最小值 ， 此时 ， CP=【 ;精品教育资源文库 】 = 垂直于直线 ， 四边形 PACB 面积的最小值为 2 2， S PAC S PBC 2， |PA| 2 2， |CP| 3， |k 8 10|k2 16 3， 又 k0， k 3.故选 A. 12 (1)若点 P(1
4、， 2)在以坐标原点为圆心的圆上 ， 则该圆在点 P 处的切线方程为 _ (2)以 C(1， 3)为圆心 ， 并且与直线 3x 4y 6 0 相切的圆的方程为 _ 答案 (1)x 2y 5 0 (2)(x 1)2 (y 3)2 9 解析 (1)由题意 ， 得 kOP 2 01 0 2， 则该圆在点 P 处的切线方程的斜率为 12， 所以所求切线方程为 y 2 12(x 1)， 即 x 2y 5 0. (2)r |31 43 6|5 3， 所求圆的方程为 (x 1)2 (y 3)2 9. 13 已知直线 3x y 2 0 及直线 3x y 10 0 截圆 C 所得的弦长均为 8， 则圆 C 的面
5、积是 _ 答案 25 解析 因为已知的两条直线平行且截圆 C 所得的弦长 均为 8， 所以圆心到直线的距离 d 为两直线距离的一半 ， 即 d 12 |2 10|3 1 3.又因为直线截圆 C 所得的弦长为 8， 所以圆的半径r 32 42 5， 所以圆 C 的面积是 25 . 14 已知点 P(2， 2)和圆 C： x2 y2 1， 设 k1， k2分别是过点 P 的圆 C 两条切线的斜率 ， 则k1 k2的值为 _ 答案 1 解析 设过点 P 的切线斜率为 k， 方程为 y 2 k(x 2)， 即 kx y 2k 2 0. 其与圆相切则 |2k 2|k2 1 1， 化简得 3k2 8k 3
6、 0. 所以 k1 k2 1. 15 过直线 x y 2 2 0 上一点 P 作圆 x2 y2 1 的两条切线 ， 若两条切线的夹角是 60，则点 P 的 坐标是 _ 答案 ( 2， 2) =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 点 P 在直线 x y 2 2 0 上 ， 可设点 P(x0， x0 2 2)， 且其中一个切点为M. 两条切线的夹角为 60， OPM 30 .故在 Rt OPM 中 ， 有 |OP| 2|OM| 2.由两点间的距离公 式得 ， |OP| x02（ x0 2 2） 2 2， 解得 x0 2.故点 P的坐标是 ( 2， 2) 16 (2014 大纲全国 )直线 l1和
7、 l2是圆 x2 y2 2 的两条切线若 l1与 l2的交点为 (1， 3)，则 l1与 l2的夹角的正切值等于 _ 答案 43 解析 利用两点间距离公式及直角三角形求 AOB 各边 ， 进而利用二倍角公式求夹角的正切值 如图 ， |OA| 12 32 10. 半径为 2， |AB| |OA|2 |OB|2 10 2 2 2. tan OAB |OB|AB| 22 2 12. 所求夹角的正切值为 tan CAB 2tan OAB1 tan2 OAB2 121 14 43. 17 (2017 天津 )设抛物线 y2 4x 的焦点为 F， 准线为 l.已知点 C 在 l 上 ， 以 C 为圆心的圆
8、与 y 轴的正半轴相切于点 A.若 FAC 120， 则圆的方程为 _ 答案 (x 1)2 (y 3)2 1 解析 由题意知该圆的半径为 1， 设圆心坐标为 C( 1， a)(a0)， 则 A(0， a)， 又 F(1， 0)，所以 AC ( 1， 0)， AF (1， a)， 由题意得 AC 与 AF 的夹角为 120， 得 cos120 11 1 a2 12， 解得 a 3， 所以圆的方程为 (x 1)2 (y 3)2 1. 18 (2018 杭州学军中学月考 )已知圆 C： x2 y2 2x a 0 上存在两点关于直线 l： mx y 1 0 对称 (1)求实数 m 的值； (2)若直线
9、 l 与圆 C 交于 A， B 两点 ， OA OB 3(O 为坐标原点 )， 求圆 C 的方程 答案 (1)m 1 (2)x2 y2 2x 3 0 解析 (1)圆 C 的方程为 (x 1)2 y2 1 a， 圆心 C( 1， 0) 圆 C 上存在两点关于直线 l： mx y 1 0 对称 ， 直线 l： mx y 1 0 过圆心 C. m 1 0， 解得 m 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)联立?x2 y2 2x a 0，x y 1 0， 消 去 y， 得 2x2 4x a 1 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 16 8(a 1)0， a0)截直线 x y
10、0 所得线段的长度是 2 2，则圆 M 与圆 N： (x 1)2 (y 1)2 1 的位置关系 是 ( ) A 内切 B相交 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 外切 D相离 答案 B 解析 圆 M： x2 y2 2ay 0 的圆心 M(0， a)， 半径为 a， 所以圆心 M 到直线 x y 0 的距离为 |a|2. 由直线 x y 0 被圆 M 截得的弦长为 2 2， 知 a2 a22 2， 故 a 2， 即 M(0， 2)且圆 M 的半径为 2. 又圆 N 的圆心 N(1， 1)，且半径为 1， 根据 10. 因此 x1 （ 8 2a） 56 16a 4a24 ， x2（ 8 2a）
11、56 16a 4a24 ， 从而 x1 x2 4 a， x1x2 a2 2a 12 . 由于 OAOB ， 可得 x1x2 y1y2 0， 又 y1 x1 a， y2 x2 a， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 2x1x2 a(x1 x2) a2 0. 由 ， 得 a 1， 满足 0 ， 故 a 1. 8 (2015 课标全国 ) 已知过点 A(0， 1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C： (x 2)2 (y 3)2 1交于 M， N 两点 (1)求 k 的取值范围； (2)若 OM ON 12， 其中 O 为坐标原点 ， 求 |MN|. 答案 (1)(4 73 ， 4 73 ) (
12、2)2 解析 (1)由题设 ， 可知直线 l 的方程为 y kx 1. 因为直线 l 与圆 C 交于两点 ， 所以 |2k 3 1|1 k2 1. 解得 4 73 k4 73 . 所以 k 的取值范围为 (4 73 ， 4 73 ) (2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2) 将 y kx 1 代入圆 C 的方程 (x 2)2 (y 3)2 1， 整理 得 (1 k2)x2 4(1 k)x 7 0. 所以 x1 x2 4（ 1 k）1 k2 ， x1x2 71 k2. OM ON x1x2 y1y2 (1 k2)x1x2 k(x1 x2) 1 4k（ 1 k）1 k2 8. 由题设可得 4k（ 1 k）1 k2 8 12， 解得 k 1， 所以 l 的方程为 y x 1. 故圆 C 的圆心 (2， 3)在 l 上 ， 所以 |MN| 2.
