1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 最新考纲 考情考向分析 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念 . 2.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 3.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单问题 . 以理解均值与方差的概念为主，经常以频率分布直方图为载体，考查二项分布、正态分布的均值与方差掌握均值与方差、正态分布的性质和求法是解题关键高考中常以解答题形式考查、难度为中等偏上 . 1离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布 列为 P(X ai) pi(i 1,2， ? r) (1)均值 EX
2、 a1p1 a2p2 ? arpr，均值 EX 刻画的是 X 取值的 “ 中心位置 ” (2)方差 DX E(X EX)2为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的 平均偏离程度 2二项分布的均值、方差 若 X B(n， p)，则 EX np， DX np(1 p) 3正态分布 (1)X N( ， 2)，表示 X 服从参数为 和 2的正态分布 (2)正态分布密度函数的性质： 函数图像关于 直线 x 对称； ( 0)的大小 决定函数图像的 “ 胖 ”“ 瘦 ” ； P( 2c 1) P(X2c 1) P(X4，根据正态曲线的对称性，当函数 f(x) x2 4x 没有零点的概
3、率是 12时， 4. 题型一 离散型随机变量的均值、方差 命题点 1 求离散型随机变量的均值、方差 =【 ;精品教育资源文库 】 = 典例 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定 (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率； (2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 X，求 X 的分布列和均值 解 (1)设 “ 当天小王 的该银行卡被锁定 ” 的事件为 A，
4、则 P(A) 56 45 34 12. (2)依题意得， X 所有可能的取值是 1,2,3. 又 P(X 1) 16， P(X 2) 56 15 16， P(X 3) 56 451 23. 所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P 16 16 23 所以 EX 1 16 2 16 3 23 52. 命题点 2 已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值 典例 设袋子中装有 a 个红球， b 个黄球， c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分 (1)当 a 3， b 2， c 1 时，从该袋子中任取 (有放回，且每球取到的机会均等 )2 个球，记随
5、机变量 为取出此 2 球所得分数之和，求 的分布列； (2)从该袋子中任取 (每球取到的 机会均等 )1个球，记随机变量 为取出此球所得分数若 E 53， D 59，求 a b c. 解 (1)由题意得 2,3,4,5,6， 故 P( 2) 3366 14， P( 3) 23266 13， P( 4) 231 2266 518， P( 5) 22166 19， P( 6) 1166 136. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 的分布列为 2 3 4 5 6 P 14 13 518 19 136 (2)由题意知 的分布列为 1 2 3 P aa b c ba b c ca b c 所以 E
6、 aa b c 2ba b c 3ca b c 53， D ? ?1 53 2 aa b c ? ?2 53 2 ba b c ? ?3 53 2 ca b c 59 ，化简得? 2a b 4c 0，a 4b 11c 0. 解得 a 3c， b 2c，故 a b c 321. 思维升华 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略 (1)求离散型随机变量的均值与方差可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解 (2)由已知均值或方差求参数值可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程 (组 )，解方程 (组 )即可求出参数值 (3)由已知条件，作出对两种方案的判断
7、可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断 跟踪训练 (2017 青岛一模 )为迎 接 2022 年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过 1 小时免费，超过 1 小时的部分每小时收费标准为 40 元 (不足 1 小时的部分按 1 小时计算 )有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过 1 小时离开的概率分别为 14， 16； 1 小时以上且不超过 2 小时离开的概率分别为 12， 23；两人滑雪时间都不会超过 3 小时 (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之 和为随机变量 ，求 的分布列与均值
8、E ，方差 D . 解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为 0,40,80 元， 甲、乙两人 2 小时以上且不超过 3 小时离开的概率分别为 ? ?1 14 12 14， ? ?1 16 23 16. =【 ;精品教育资源文库 】 = 两人都付 0 元的概率为 P1 14 16 124， 两人都付 40 元的概率为 P2 12 23 13， 两人都付 80 元的概率为 P3 14 16 124， 则两人所付费用相同的概率为 P P1 P2 P3 124 13 124 512. (2)设甲、乙所付费用之和为 ， 的可能取值为 0,40,80,120,160，则 P( 0) 14 16 12
9、4， P( 40) 14 23 12 16 14， P( 80) 14 16 12 23 14 16 512， P( 120) 12 16 14 23 14， P( 160) 14 16 124. 所以 的分布列为 0 40 80 120 160 P 124 14 512 14 124 E 0 124 40 14 80 512 120 14 160 124 80. D (0 80)2 124 (40 80)2 14 (80 80)2 512 (120 80)2 14 (160 80)2 1244 0003 . 题型二 均值与方差在决策中的应用 典例 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水
10、电站过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量 X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和单位：亿立方米 )都在 40 以上其中，不足 80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立 (1)求未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系： 年入流量 X 40120 发电机最多可运行台数 1 2 3 若某台发电机运
11、行，则该台发电机年利润为 5 000 万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损 800 万元欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 解 (1)依题意，得 p1 P(40120) 550 0.1. 由二项分布可知，在未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 p C04(1 p3)4 C14(1 p3)3p3 ? ?910 4 4 ? ?910 3 110 0.947 7. (2)记水电站年总利润为 Y(单位：万元 ) 安装 1 台发电机的情形 由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机运行的概率为 1，对应的年利润 Y 5 000， E(Y) 5 000
12、1 5 000. 安装 2 台发电机的情形 依题意，当 40120时，三台发电机运行，此时 Y 5 0003 15 000，因此 P(Y 15 000) P(X120) p3 0.1，由此得 Y 的分布列如下： =【 ;精品教育资源文库 】 = Y 3 400 9 200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以， EY 3 4000.2 9 2000.7 15 0000.1 8 620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台 思维升华 随机变量 的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中
13、用于方案取舍的重要理论依据一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定 跟踪训练 (2017 贵州调研 )某投资公司在 2018 年年初准备将 1 000 万元投资到 “ 低碳 ” 项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损 15%，且这两种情况发生的概率分别为 79和 29； 项目二：通信设备据市场调研 ，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失 30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 35， 13和 115. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由 解 若按 “ 项目一 ”
14、投资，设获利为 X1万元，则 X1的分布列为 X1 300 150 P 79 29 EX1 300 79 ( 150) 29 200. 若按 “ 项目二 ” 投资， 设获利为 X2万元，则 X2的分布列为 X2 500 300 0 P 35 13 115 EX2 500 35 ( 300) 13 0 115 200. DX1 (300 200)2 79 ( 150 200)2 29 35 000， DX2 (500 200)2 35 ( 300 200)2 13 (0 200)2 115 140 000. =【 ;精品教育资源文库 】 = EX1 EX2， DX1DX2， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资 题型三 正态分布的应用 典例 (2017 全国 ) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸 (单位： cm)根据长期生产经验，可以
