1、【】 “圆的标准方程”是人教版高二(上)册第七章第六节“圆的方程”的第一节课。实际上圆是一种简单曲线，它是学生学习了 “直线与方程”之后，“圆锥曲线”之前，从方程角度进一步研究圆及相关的实际应用问题；是从代数结合解析方法研究几何图形问题的。“圆的方程”是学生学习圆锥曲线的基础。因此，本节内容在解析几何这一部分起着承前启后、巩固与引导的作用。 本小节约需3个课时，本节课是第一课时。【学生情况分析【学生情况分析】 我所在学校是我市二类高中，授课对象是高二中等程度班级的学生。学生具有一般的归纳推理能力，学生思维较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成
2、过程。 （根据以上分析，结合新课标的理念，制订如下的教学目标和教学重、难点）。掌握圆的标准方程的形式，能根据圆的标准方掌握圆的标准方程的形式，能根据圆的标准方程写出圆心的坐标和圆的半径；能根据已知条程写出圆心的坐标和圆的半径；能根据已知条件，建立适当的坐标系、件，建立适当的坐标系、 用待定系数法求出圆用待定系数法求出圆的方程；会求过圆上一点与圆相切的直线的方的方程；会求过圆上一点与圆相切的直线的方程。程。本节课要让学生掌握圆的标准方程的求解过本节课要让学生掌握圆的标准方程的求解过程程,体会方程思想，能从方程角度对圆的几何体会方程思想，能从方程角度对圆的几何要素进行数学描述要素进行数学描述,体现
3、了数型结合在解决问体现了数型结合在解决问题中的辩证统一。题中的辩证统一。培养学生积极思考培养学生积极思考,“ 实事求是实事求是”的学习态度，的学习态度，通过让学生欣赏赵州桥的照片和资料，让学通过让学生欣赏赵州桥的照片和资料，让学生体会数学的美生体会数学的美,通过讨论让学生在挫折中体通过讨论让学生在挫折中体验成功的快乐验成功的快乐,“ 提高数学素养，形成积极的提高数学素养，形成积极的情感态度情感态度” 。（1）圆的标准方程的求法）圆的标准方程的求法.；（2）能正确应用圆的标准方程解决一些简单的问）能正确应用圆的标准方程解决一些简单的问题。题。 （1）待定系数法求圆的方程）待定系数法求圆的方程.
4、（2）会选择适当的坐标系解决与圆有关的实）会选择适当的坐标系解决与圆有关的实际问题际问题.（1）解析、归纳、总结圆的标准方程）解析、归纳、总结圆的标准方程 ；（2）三个独立条件（）三个独立条件（a、b、r）确定圆。）确定圆。因为本节课是学生对圆的基本形状、性质有所认识的基础上，对圆进行代数解析研究。所以以采用启示法，类比、讨论法进行教学。针对学生的学习过程，结合学生认识水平，在遵循启发式教学的基础上，通过采用类比发现、讨论相结合的教学方法，调动全班同学认真思考，积极参与，体现学生学习的主体性。 制作多媒体课件，以增加课堂容量，提高学生的兴趣，使学生加深对公式、概念的理解。 主体参与、分层优化、
5、及时反馈、激励评价主体参与、分层优化、及时反馈、激励评价2、创设情境、创设情境 “兴趣是最好的老师!”可利用生活中的实例：小学课本中所学习的赵州桥、学生在游乐场见过的摩天轮等，以两个圆的模型为背景，激发学生学习圆的兴趣.圆圆？为了激发学生学习圆的标准方程，为了激发学生学习圆的标准方程，更好掌握圆的标准方程，采用多媒体课更好掌握圆的标准方程，采用多媒体课件向学生展示赵州桥图片及坐标系中圆件向学生展示赵州桥图片及坐标系中圆形成的过程，引导学生用代数研究圆，形成的过程，引导学生用代数研究圆，引出圆的方程。引出圆的方程。让学生感知数学问题来源于生活，让学生感知数学问题来源于生活，调动学生学习的兴趣。调
6、动学生学习的兴趣。3、讨论研究、讨论研究引例：河北省赵县的赵州桥，是世界上历史最悠久的石拱桥，赵州桥的跨度约为37.4m，圆拱高约为7.2m，如何写出这个圆拱所在的圆的方程？第一步：建立坐标系；第二步：设点写条件；第三步：求相关量；第四步：写出所求的方程.解析过程：问题问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.问题问题2：图：图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？ 圆心圆心C是定点，圆周上的点是定点，圆周上的点M是动点，它是动点，它们到圆心距离等于定长们到圆心距离等于定
7、长|MC|=r，圆心和半径分，圆心和半径分别确定了圆的位置别确定了圆的位置(定位）和大小（定型）定位）和大小（定型）问题问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如）建立适当的坐标系，用有序实数对例如(x,y)表示曲线上表示曲线上任意一点任意一点M的坐标；的坐标；（2）写出适合条件）写出适合条件 p 的点的点M的集合的集合P=M|p(M)； （3）用坐标表示条件）用坐标表示条件p(M)，列出方程，列出方程f(x,y)=0； （4）化方程）化方程f(x,y)=0为最简形式；为最简形式； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点
8、）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 其中步骤其中步骤(1)(3)(4)必不可少必不可少下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程( , )C a br求圆心是，半径是 的圆的方程。解：设M(x,y)是圆上任意一点，xyOrM根据圆的定义|MC|=rC由两点间距离公式，得22xaybr把式两边平方，得222xaybr说明：1.特点：明确给出了特点：明确给出了圆心圆心和和半径半径。2.确定圆的方程必须具备确定圆的方程必须具备三个三个独立的条件。独立的条件。结论：结论：1、方程 叫做以为圆心，为半径的圆的标准方程.2、特别地，当圆心为原点时，圆的方程为3、单位圆：以原点为圆心半径
9、为1的圆通常称为单位圆.222ryx222r)by()ax(教师根据引例可直接给出解析过程，以此来培教师根据引例可直接给出解析过程，以此来培养学生建立数学模型的能力。同时根据设问，引养学生建立数学模型的能力。同时根据设问，引导学生归纳、总结出圆心导学生归纳、总结出圆心(a,b)半径为半径为 r的圆的标准的圆的标准方程方程 。同时要明确圆的标准方。同时要明确圆的标准方程的三个独立条件。程的三个独立条件。222rb)(ya)(x 1.写出下列各圆的方程：写出下列各圆的方程： （1）圆心在原点，半径是）圆心在原点，半径是3；（3）经过点）经过点P(5,1)，圆心在点，圆心在点C(8,-3)229xy
10、22345xy（2）圆心在点）圆心在点C(3,4)，半径是，半径是 ；5228325xy即时训练：即时训练：练习练习2.写出下列各圆的圆心坐标和半径写出下列各圆的圆心坐标和半径（1）2216xy（2）22129xy（3）222xaya1,06（-1，2） 3,0|aa(4) (2x-2)2+(2y+4)2=22221），半径，圆心（ 此环节旨在直接应用，内化新知。此环节旨在直接应用，内化新知。意在加强对圆的标准方程的识记和理意在加强对圆的标准方程的识记和理解。解。因题目简单，不应用时太多，可因题目简单，不应用时太多，可采用口答方式回答问题。采用口答方式回答问题。例1、 求满足下列条件的各圆的方
11、程:解:已知圆心是C(1,3),那么只要再求出圆的半径r,就能写出圆的方程. 因为圆C和直线3x-4y-7=0相切,所以半径r等于圆心C到这条直线的距离.根据点到直线的距离公式,得OXYM(1,3).)3() 1.2525622516)4(37341322yxr（是因此，所求的圆的方程3x-4y-7=0以以C(1,3)为圆心为圆心,并且和直线并且和直线3x-4y-7=0相切的圆相切的圆.应用举例：应用举例：例例2.已知圆的方程是已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点，求经过圆上一点M(x0,y0) 的切线的方程。的切线的方程。解：如图，xyOM(x0,y0)设切线的斜率为k半径OM的斜
12、率为k1,因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是11kk 010ykx00 xky 经过点M的切线方程是0000 xyyxxy 整理得，x0 x+y0y=x02+y02因为点M(x0,y0)在圆上，所以x02+y02=r2所求切线方程是x0 x+y0y=r2当点M在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。 例例2 已知圆的方程是已知圆的方程是 ，求经过圆上一点，求经过圆上一点 的切线的方程。的切线的方程。222ryx),(00yxMP(x , y ),(00yxM 由勾股定理：由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2解法二（利用平面几何知识）：解法二（利用平面几何知识）：在直角三角形在直角三
13、角形OMP中中yxOx0 x +y0 y = r2P(x , y ),(00yxMyxO 例例2 已知圆的方程是已知圆的方程是 ，求经过圆上一点，求经过圆上一点 的切线的方程。的切线的方程。222ryx),(00yxM解法三（利用平面向量知识）：解法三（利用平面向量知识）：OM MP= 0OM MPx0 x +y0 y = r2x2 + y2 = r2练习练习3.(1)写出过圆写出过圆x2+y2=10上一点上一点M 的切线的方程的切线的方程 2, 62610 xy（2）求过点）求过点A（5，15）向圆）向圆x2+y2=25所引的切线方程。所引的切线方程。（2）解：经验证点）解：经验证点A在已知
14、圆外在已知圆外 ，设所求切线的切点为，设所求切线的切点为M（x0,y0）,则切线方程为：则切线方程为： x0 x+ y0 y=25又点又点A在切线上，所以：在切线上，所以： 5x0+15 y0 =25 252020 yx又05,340000yxyx，或解方程组得所以，所求切线的方程为所以，所求切线的方程为4x-3y+25=0或或x=5即时训练：即时训练：此环节意在灵活应用，提升能力。此环节意在灵活应用，提升能力。为了让学生更好掌握与圆相切直线的一般方程，师生为了让学生更好掌握与圆相切直线的一般方程，师生可共同讨论。教师启发学生理解直线与圆相切的几何可共同讨论。教师启发学生理解直线与圆相切的几何
15、特征，并采用类比方式求解例特征，并采用类比方式求解例2。为了更多应用所学。为了更多应用所学知识，引导学生应用平面几何、平面向量对此题做一知识，引导学生应用平面几何、平面向量对此题做一题多解，体现向量在解析几何中的应用。题多解，体现向量在解析几何中的应用。例 3、某施工队要建一座圆拱桥，其跨度为20m， 拱高为4m。求该圆拱桥所在的圆的方程。解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 。把P（0，4） B（10，0）代入圆的方程得方程组：02+(4-b)2= r2102+(0-b)2=r2解得：b= -10.5 r2=14.52所以圆的方
16、程是： x2+(y+10.5)2=14.52A （-10，0）B （10，0）P （0，4）yxO 析： (x-a)2+(y-b)2=r2 练习4：施工队认为跨度远了，准备在中间每隔4m建一根柱子。试给他们计算中间两根柱子的长度。yxA B P O E F G H C D R T 练习5：已知一条满载货物的集装箱船，该船及货物离水面的高度是2米，船宽4米，问该船能否通过该桥？若能，那么船在什么区域内可通过？若不能，说明理由。x2+(y+10.5)2=14.52即时训练：即时训练：此环节意在实际应用，巩固提高。此环节意在实际应用，巩固提高。此例题是与实际相结合一道例题，此例题是与实际相结合一道例
17、题，教师帮助学生分析、理解题意，将其教师帮助学生分析、理解题意，将其转化为数学语言，再用所学数学知识转化为数学语言，再用所学数学知识求解。求解。222)()(rbyax222ryx222ryx),(00yxM200ryyxx圆心在圆心在 ，半径为，半径为r 的圆的标准方程为的圆的标准方程为圆心在原点时，圆心在原点时，半径为半径为r的的圆的标准方程为圆的标准方程为已知圆的方程是已知圆的方程是，经过圆上一点，经过圆上一点的切线的方程是的切线的方程是),( baC (A)巩固型作业课本课本 习题习题7.6 7.6 1 1，2 2，4 4(B)思维拓展型作业 试推导过圆试推导过圆 222)()(rby
18、ax),(00yxP上一点上一点 的切线方程的切线方程.1.把圆的标准方程展开后是什么把圆的标准方程展开后是什么 形式？形式？2.方程方程 表示什么表示什么 图形？图形？0208622yxyx（1）、本节课从知识上学习了圆的标准方程，）、本节课从知识上学习了圆的标准方程，从方法上通过圆的标准方程的分析总结过程，从方法上通过圆的标准方程的分析总结过程，学会了观察、分析、归纳、类比的数学方法。学会了观察、分析、归纳、类比的数学方法。通过小结，使学生对本节课的知识脉络更加清通过小结，使学生对本节课的知识脉络更加清晰。晰。（2）、通过作业巩固所学知识，发现和弥补教）、通过作业巩固所学知识，发现和弥补教
19、学中的疏漏与不足，强化基本技能训练，为新学中的疏漏与不足，强化基本技能训练，为新的知识学习打基础。的知识学习打基础。五、教学设计说明圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究了比较系统的研究，因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。首先，在已有圆的定义和求曲圆的标准方程及其简单应用。首先，在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上，用实际问题引导学生探究获得线方程的一般步骤的基础上，用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程，然后，利用圆的标准方程由浅入深的解决问
20、圆的标准方程，然后，利用圆的标准方程由浅入深的解决问题题,并通过圆的方程在实际问题中的应用，增强学生用数学的并通过圆的方程在实际问题中的应用，增强学生用数学的意识。在问题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知意识。在问题的设计中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神。识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神。本节课共设计了六个环节，以问题为纽带，以探究活动为载本节课共设计了六个环节，以问题为纽带，以探究活动为载体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层体，使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入，充分体现以
21、教师为主导，以学生为主体的展开、步步深入，充分体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想。应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转指导思想。应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程，在解决问题的同时锻炼了思维、提高了能力、培养了兴趣，在解决问题的同时锻炼了思维、提高了能力、培养了兴趣、增强了信心。、增强了信心。六、课后反思本节课是圆的方程的第一节课，在教学中注意以下几点：本节课是圆的方程的第一节课，在教学中注意以下几点：1、本节课以方程思想为主线设计的。以生活实例为背景，研究、本节课以方程
22、思想为主线设计的。以生活实例为背景，研究 圆的标准方程，圆的标准方程， 最后又解决了所提出的问题。从生活由来到生活中最后又解决了所提出的问题。从生活由来到生活中去。内容丰富，联系了向量、代数、平面几何等知识，是学科内综去。内容丰富，联系了向量、代数、平面几何等知识，是学科内综合知识的学习。知识遵循由简单到复杂，由具体到一般的规律。同合知识的学习。知识遵循由简单到复杂，由具体到一般的规律。同时引导学生建立模型，独立思考，合作学习，激发了学生学习兴趣时引导学生建立模型，独立思考，合作学习，激发了学生学习兴趣，提高学生的数学素养。，提高学生的数学素养。 2、在例题、练习、作业的配备上，应体现高中学习
23、的特点。如、在例题、练习、作业的配备上，应体现高中学习的特点。如例例2，让学生体会到一题多解思维方式；在每一个例题后的即时练，让学生体会到一题多解思维方式；在每一个例题后的即时练习，培养了学生的及时巩固、举一反三能力。因此，我认为习题的习，培养了学生的及时巩固、举一反三能力。因此，我认为习题的搭配应力求让学生处理每一个问题都必须有所思考，使学生体会到搭配应力求让学生处理每一个问题都必须有所思考，使学生体会到：数学不能生搬硬套，应该用数学的思想方法去学习数学、认识数：数学不能生搬硬套，应该用数学的思想方法去学习数学、认识数学。学。3、以学生为主体，让学生自己去探索、发现、再创造，最能调、以学生为主体，让学生自己去探索、发现、再创造，最能调动学生的积极性，最有利于培养数学能力，数学教学的最终目标并动学生的积极性，最有利于培养数学能力，数学教学的最终目标并非唯一地指向数学具体知识本身，其潜在的也是最重要的恰是指向非唯一地指向数学具体知识本身，其潜在的也是最重要的恰是指向学生的人性品质、生命成长。学生的人性品质、生命成长。
