1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8.2 简单几何体的面积与体积 最新考纲 考情考向分析 了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式 . 本部分是高考考查的重点内容，主要涉及简单几何体的面积与体积的计算命题形式以选择题与填空题为主，考查简单几何体的面积与体积的计算，涉及简单几何体的结构特征、三视图等内容，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想 . 1多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是 所有侧面的面积之和 ，表面积是侧面积与底面面积之和 2圆柱、圆锥、圆 台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式
2、S 圆柱侧 2 rl S 圆锥侧 rl S 圆台侧 ( r1 r2)l 3.柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱 ) S 表面积 S 侧 2S 底 V Sh 锥体 (棱锥和圆锥 ) S 表面积 S 侧 S 底 V 13Sh 台体 (棱台和圆台 ) S 表面积 S 侧 S 上 S 下 V 13(S 上 S 下 S上 S下 )h =【 ;精品教育资源文库 】 = 球 S 4 R2 V 43 R3 知识拓展 1与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差 (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等 2几个与球有关的切、接常用结
3、论 (1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R， 若球为正方体的外接球，则 2R 3a； 若球为正方体的内切球，则 2R a； 若球与正方体的各棱相切，则 2R 2a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a， b， c，外接球的半径为 R，则 2R a2 b2 c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31. 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和 ( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积 ( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方 ( ) (4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差
4、( ) (5)长方体既有外接球又有内切球 ( ) (6)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2 S.( ) 题组二 教材改编 2已知圆锥的表面积等于 12 cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为 ( ) A 1 cm B 2 cm C 3 cm D.32 cm 答案 B 解析 S 表 r2 rl r2 r2 r 3 r2 12 ， r2 4， r 2. 3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 147 解析 设长方体的相邻三条棱长分别为 a， b
5、， c，它截出棱锥的体积 V1 13 12 12a 12b 12c 148abc，剩下的几何体的体积 V2 abc 148abc 4748abc，所以 V1 V2 147. 题组三 易错自纠 4 (2017 西安一中月考 )一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ( ) A 3 B 4 C 2 4 D 3 4 答案 D 解析 由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如 图所示 表面积为 22 2 121 2 12 4 3. 5 (2016 全国 ) 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ( ) A 12 B. 323 C 8 D 4 答案 A 解析 由题意
6、可知正方体的棱长为 2，其体对角线 2 3即为球的直径，所以球的表面积为4 R2 (2R)2 12 ，故选 A. 6 (2018 大连调研 )如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 11 解析 由三视图可知半球的半径为 2，圆锥底面圆的半径为 2，高为 2，所以 V 圆锥 132 3 83 ， V 半球 12 432 3 163 ，所以 V 剩余 V 半球 V 圆锥 83 ，故剩余部分与挖去部分的体积之比为 11. 题型一 求简单几何体的表面积 1 (2018 届云南昆明一中摸底 )一个正方体挖去一个多面体所得
7、的几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图和 俯视图均为边长等于 2 的正方形，则这个几何体的表面积为 ( ) A 16 4 3 B 16 4 5 C 20 4 3 D 20 4 5 答案 D 解析 由三视图可知，该几何体是棱长为 2 的正方体的内部挖去一个底面边长为 2 的正四棱锥，将三视图还原可得如图，可得其表面积为 S 52 2 4 122 5 20 4 5，故选 D. =【 ;精品教育资源文库 】 = 2 (2017 黑龙江哈师大附中一模 )已知某几何体的三视 图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A.73 B.172 C 13 D.17 3 102 答案 C 解析 由三视图可知几
8、何体为三棱台，作出直观图如图所示则 CC 平面 ABC，上、下底均为等腰直角三角形， AC BC， AC BC 1， A C B C C C 2， AB 2， A B 2 2. 棱台的上底面面积为 1211 12，下底面面积为 1222 2，梯形 ACC A 的面积为 12(1 2)2 3，梯形 BCC B 的面积为 12(1 2)2 3，过 A 作 AD A C 于点 D，过D 作 DE A B ，则 AD CC 2， DE 为 A B C 斜边高的 12， DE 22 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = AE AD2 DE2 32， 梯形 ABB A 的面积为 12( 2 2 2) 32
9、 92， 几何体的表面积 S 12 2 3 3 92 13，故选 C. 思维升华 简单几何体表面积的求法 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量 (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理 (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用 题型二 求简单几何体的体积 命题点 1 以三视图为背景的几何体的体积 典例 (2018 届广雅中学、东华中学、河南名校联考 )如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ( ) A.24 83 B 8 8 C.32 83 D.32
10、 243 答案 A 解析 根据三视图可知，几何体是 34个球与一个直三棱锥的组合体，球的半径为 2，三棱锥底面是等腰直角三角形，面积为 S 122 22 2 4，高 为 2，所以三棱锥的体积 V 1342 83，故组合体的体积 V 34 432 3 83 24 83 ，故选 A. 命题点 2 求简单几何体的体积 典例 (2018 广州调研 )已知 E， F 分别是棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 AA1， CC1的=【 ;精品教育资源文库 】 = 中点，则四棱锥 C1 B1EDF 的体积为 _ 答案 16a3 解析 方法一 如图所示，连接 A1C1， B1D1交 于点 O1
11、，连接 B1D， EF，过点 O1作 O1H B1D 于点 H. 因为 EF A1C1，且 A1C1?平面 B1EDF， EF 平面 B1EDF， 所以 A1C1 平面 B1EDF. 所以 C1到平面 B1EDF 的距离就是 A1C1到平面 B1EDF 的距离 易知平面 B1D1D 平面 B1EDF， 又平面 B1D1D 平面 B1EDF B1D， 所以 O1H 平面 B1EDF， 所以 O1H 等于四棱锥 C1 B1EDF 的高 因为 B1O1H B1DD1， 所以 O1H B1O1 DD1B1D 66 a. 所以11C BEDFV 13S 四边形 B1EDF O1H1312 EF B1D
12、O1H1312 2a 3a66 a16a3. 方法二 连接 EF， B1D. 设 B1到平面 C1EF 的距离为 h1， D 到平面 C1EF 的距离为 h2，则 h1 h2 B1D1 2a. 由题意得， V 四棱锥 C1 B1EDF V 三棱锥 B1 C1EF V 三棱锥 D C1EF 131CEFS( h1 h2) 16a3. 思维升华 简单几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解 (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解 (3)若以三视图的形式给出几何体，则
13、应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解 跟踪训练 (1)(2018 届河南洛阳联考 )一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体 积为=【 ;精品教育资源文库 】 = ( ) A 2 B 1 C.23 D.13 答案 C 解析 几何体如图， 由三视图得底面为对角线为 2的正方形，高为 1，所以体积为 13 122121 23，故选 C. (2)如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 ADE， BCF 均为正三角形， EF AB， EF 2，则该多面体的体积为 ( ) A. 23 B. 33 C.43 D.32 答案 A 解析 如图，分别过点 A
14、， B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G， H，连接 DG， CH， =【 ;精品教育资源文库 】 = 容易求得 EG HF 12， AG GD BH HC 32 ， 取 AD 的中点 O，连接 GO，易得 GO 22 ， S AGD S BHC 12 22 1 24 ， 多面体的体积 V V 三棱锥 E ADG V 三棱锥 F BCH V 三棱柱 AGD BHC 2V 三棱锥 E ADG V 三棱柱 AGD BHC 13 24 122 24 1 23 .故选 A. 题型三 与球有关的切、接问题 典例 (2016 全国 ) 在封闭的直三棱柱 ABC A1B1C1内有一个体积为 V 的球若 AB BC， AB 6， BC 8， AA1 3，则 V 的最大值是 ( ) A 4 B.92 C 6 D.323 答案
