1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 2.5 指数与指数函数 最新考纲 考情考向分析 1.了解指数函数模型的实际背景 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算 3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10， 12， 13的指数函数的图象 4.体会指数函数是一类重要的函数模型 . 直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，中档难度 . 1分数指数幂 (1)我们规定 正数的正分数指数幂的意义是 mna n am(a0， m， n N ，且 n1)于是，在条件 a0， m， n
2、 N ，且 n1 下，根式都可以写成分数指数幂的形式正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定 mna 1mna(a0， m， n N ，且 n1).0 的正分数指数幂等于 0； 0 的负分数指数幂 没有意义 (2)有理数指数幂的运算性质： aras ar s， (ar)s ars， (ab)r arbr，其中 a0， b0， r， s Q. 2指数函数的图像与性质 y ax a1 00 时， y1；当 x0 时， 01 (6)在 ( ， ) 上是 增函数 (7)在 ( ， ) 上是 减函数 知识拓展 1指数函数图像的画法 画指数函数 y ax(a 0，且 a1) 的图像，应抓
3、住三个关键点： (1， a)， (0,1)， ? ? 1， 1a . 2.指数函数的图像与底数 大小的比较 如图是指数函数 (1)y ax， (2)y bx， (3)y cx， (4)y dx的图像，底数 a， b， c， d 与 1 之间的大小关系为 cd1ab0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数 yax(a0， a1) 的图像越高，底数越大 3指数函数 y ax(a 0， a1) 的图像和性质跟 a 的取值有关，要特别注意应分 a 1 与 0 a 1 来研究 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)n an (n a)n a(n N
4、) ( ) (2)分数指数幂 mna 可以理解为 mn个 a 相乘 ( ) (3)函数 y 32 x与 y 2x 1都不是指数函数 ( ) (4)若 am an(a 0，且 a1) ，则 m n.( ) (5)函数 y 2 x在 R 上为减函数 ( ) 题组二 教材改编 2化简 4 16x8y4(x 0， y 0) . 答案 2x2y 3若函数 f(x) ax(a0，且 a1) 的图像经过点 P? ?2， 12 ，则 f( 1) . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 2 解析 由题意知 12 a2，所以 a 22 ， 所以 f(x) ? ?22 x，所以 f( 1) ? ?22 1 2.
5、 4已知 a 133()5 ， b 143()5 ， c 343()2 ，则 a， b， c 的大小关系是 答案 cb1， 又 c ? ?32 34 0， a1) 在 1,2上的最大值比最小值大 a2，则 a 的值为 答案 12或 32 解析 当 01 时， a2 a a2， =【 ;精品教育资源文库 】 = a 32或 a 0(舍去 ) 综上所述， a 12或 32. 题型一 指数幂的运算 1化简 ? ?14 12 1311 3 3 2( 4 )(0.1) ( )abab?(a0， b0) . 答案 85 解析 原式 2 333 223322210abab? 21 310 1 85. 2计算
6、： ? ? 278 23 120.002 10( 5 2) 1 0 . 答案 1679 解析 原式 ? ? 32 2 12500 10? 5 2? 5 2? 5 2? 1， 49 10 5 10 5 20 1 1679 . 3 (2017 兰州模拟 )化 简 ： 41 2 333 3223338242a a b baab a b a? ? ? a 3 a25a 3 a(a0) . 答案 a2 解析 原式 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1333 3 3 3 3 3 2 3 3 31 1 1 1 1 11223 3 3 3 3 52( ) ( 2 ) 2 ( ) ( 2 )( ) ( 2 )
7、 ( 2 ) ( )a a b a b a a a a baa a b b a a? ? ? ? ? ? ? ? 561 1 13 3 62aaa b a? a2. 思维升华 (1)指数幂的 运算首先将根式，分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，=【 ;精品教育资源文库 】 = 还应注意： 必须同底数幂相乘，指数才能相加； 运算的先后顺序 (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数 (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 题型二 指数函数的图像及应用 典例 (1)函数 f(x) 1 e|x|的图像大致是 ( ) 答案 A 解析 f(x) 1 e|x
8、|是偶函数，图像关于 y 轴对称，又 e|x|1 ， f(x)0. 符合条件的图像只有 A. (2)已知函数 f(x) |2x 1|， a b c 且 f(a) f(c) f(b)，则下列结论中，一定成立的是( ) A a 0， b 0， c 0 B a 0， b0 ， c 0 C 2 a 2c D 2a 2c 2 答案 D 解析 作出函数 f(x) |2x 1|的图像，如图， a b c 且 f(a) f(c) f(b)，结合图像知， 0 f(a) 1， a 0， c 0， 0 2a 1. f(a) |2a 1| 1 2a 1， f(c) 1， 0 c 1. 1 2c 2， f(c) |2c
9、 1| 2c 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 f(a) f(c)， 1 2a 2c 1， 2 a 2c 2，故选 D. 思维升华 (1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断选项中的图像是否过这些点，若不满足则排除 (2)对于有关指数型函数的图像可从指数函数的图像通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论 跟踪训练 (1)已知实数 a， b 满足等式 2 018a 2 019b，下列五个关系式： 0 3.又 a0)，则 y t2 2t 的递增区间为 1， ) ，令 2x1 ，得 x0 ，又 y 2x=【 ;精品教育资源文库 】
10、= 在 R 上是增加的， 所以函数 f(x) 4x 2x 1的递增区间是 0， ) 命题点 3 指数函数性质的综合应用 典例 已知函数 f(x) ? ?13 2 43ax x . (1)若 a 1，求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值； (3)若 f(x)的值域是 (0， ) ，求 a 的值 解 (1)当 a 1 时， f(x) ? ?13 2 43xx ， 令 u x2 4x 3 (x 2)2 7. 则 u 在 ( ， 2)上是增加的，在 ( 2， ) 上是减少的，而 y ? ?13 u在 R 上是增加的，所以 f(x)在 ( ， 2)上是减少的，在 ( 2
11、， ) 上是增加的，即函数 f(x)的递增区间是 ( 2， ) ，递减区间是 ( ， 2) (2)令 h(x) ax2 4x 3， y ? ?13 h(x)，由于 f(x)有最大值 3，所以 h(x)应有最小值 1， 因此必有? a 0，12a 164a 1，解得 a 1， 即当 f(x)有最大值 3 时， a 的值为 1. (3)由 f(x)的值域是 (0， ) 知， ax2 4x 3 的值域为 R，则必有 a 0. 思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式，最重要 的是 “ 同底 ” 原则 (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域，单调区间，最
12、值等问题时，都要借助 “ 同增异减 ” 这一性质分析判断 跟踪训练 (1)已知函数 f(x)? ?12x， a x 0， x2 2x， 0 x4的值域是 8,1，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ( ， 3 B 3,0) C 3， 1 D 3 答案 B 解析 当 0 x4 时， f(x) 8,1， 当 a x 0 时， f(x) ? ? ? ?12 a， 1 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = ? ? 12a， 1 8,1， 即 8 12a 1，即 3 a 0， 实数 a 的取值范围是 3,0) (2)(2017 江淮十校第三次联考 )函数 f(x) x2 bx c 满足 f(x 1)
13、f(1 x)，且 f(0)3，则 f(bx)与 f(cx)的大小关系是 ( ) A f(bx) f(cx) B f(bx) f(cx) C f(bx) f(cx) D与 x 有关，不确定 答案 A 解析 f(x 1) f(1 x)， f(x)关于 x 1 对称， 易知 b 2， c 3， 当 x 0 时， b0 c0 1， f(bx) f(cx)， 当 x 0 时， 3x 2x 1，又 f(x)在 (1， ) 上是增加的， f(bx)0， a1) 在区间 ? ? 32， 0 上有最大值 3，最小值 52， 试求 a， b 的值 错解展示： 现场纠错 解 令 t x2 2x (x 1)2 1，
14、=【 ;精品教育资源文库 】 = x ? ? 32， 0 ， t 1,0 若 a1，函数 f(t) at在 1,0上为增函数， at ? ?1a， 1 ， b a 2 2xx ? ?b 1a， b 1 ， 依题意得? b 1a52，b 1 3，解得? a 2，b 2. 若 01， b1， b0 C 00 D 0a1， b0 答案 D 解析 由 f(x) ax b的图像可以观察出，函数 f(x) ax b在定义域上是减少的，所以 0a1.函数 f(x) ax b的图像是在 f(x) ax的基础上向左平移得到的，所以 b0. 2设 2x 8y 1,9y 3x 9，则 x y 的值为 ( ) A 18 B 21 C 24 D 27
