1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 40 讲 一元二次不等式 考试要求 1.从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 ， 一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系 (B 级要求 )； 2.求解一元二次不等式 (C 级要求 ). 诊 断 自 测 1.(教材改编 )不等式 x2 3x 100 的解集是 _. 解析 解方程 x2 3x 10 0 得 x1 2， x2 5， 由于 y x2 3x 10 的图象开口向上 ， 所以 x2 3x 100 的解集为 ( ， 2)(5 ， ). 答案 ( ， 2)(5 ， ) 2.(扬州市 2018 届 高三上学期期中 )不等 式 x 1x 0 的解集是
2、 ? ? 12， 13 ， 则 a b _. 解析 x1 12， x2 13是方程 ax2 bx 2 0 的两个根 ， ?a4 b2 2 0，a9b3 2 0，解得?a 12，b 2， a b 14. 答案 14 4.(必修 5P78 例 3 改编 )某厂生产一批产品 ， 日销售量 x(单位：件 )与货价 p(单位：元 /件 )之间的关系为 p 160 2x， 生产 x 件所需成本 C 500 30x 元 .若使得日获利不少于 1300元 ， 则该厂日产量所要满足的条件是 _. 解析 由题意得 (160 2x) x (500 30x)1300 ， 解得 20 x45. 答案 20， 45 5.
3、(必修 5P80 习题 8 改编 )若不等式 x2 2x k2 20 对于任意的 x2 ， ) 恒成立 ， 则实数 k 的取值范围是 _. 解析 由 x2 2x k2 20， 得 k2 x2 2x 2， 设 f(x) x2 2x 2， f(x) (x 1)2 3， 当 x2 ， 可求得 f(x)max 2， 则 k2f(x)max 2， 所以 k 2或 k0 0 0)的图象 一元二次方程 ax2bx c 0(a0)的根 有两个相异实根 x1，x2(x10(a0)的解集 ( ， x1)( x2， ) ( ， b2a) ( b2a， ) R 一元二次不等式 ax2 bx c0)的解集 (x1， x
4、2) ? ? 2.常用结论 (x a)(x b)0 或 (x a)(x b)b (x a)( x b)0 x|xb x|x a x|xa (x a)( x b)0(0(0， 方程 6x2 5x 1 0 的解为 x1 16， x2 1.根据 y 6x2 5x 1 的图象 ， 可得原不等式的解集为 ? ?x|x16 . (2)原不等式变形为 x 1x 30 ， 即 2x 1x 0， 所以原不等式的解集为 ? ?x|x 12， 或 x0(a0，x 13 x或者 ?x1 时 ， x2 (a 1)x a1. 若 a0， 解得 x1. 若 a0， 原不等式等价于 ? ?x 1a (x 1)1 时 ， 1a
5、1， 解 ? ?x 1a (x 1)1； 当 a 0 时 ， 解集为 x|x1； 当 01 时 ， 解集为 ? ?x|1aa3 ； 当 a 0 时 ， x2 0， 解集为 x|x R， 且 x0 ； 当 a 0 时 ， a4 a3， 解集为 ? ?x|x a4 . 综上所述 ， 当 a 0 时 ， 不等式的解集为 ?x|x a4， 或 x a3 ； 当 a 0 时 ， 不等式的解集为 x|x R， 且 x0 ； 当 a 0 时 ， 不等式的解集为 ? ?x|x a3， 或 x a4 . (2) 当 k 0 时 ， 不等式的解为 x 0. 当 k 0 时 ， 若 4 4k2 0， 即 0 k 1
6、 时 ， 不等式的解为 1 1 k2k x1 1 k2k ； =【 ;精品教育资源文库 】 = 若 0 ， 即 k1 时 ， 不等式无解 . 当 k 0 时 ， 若 4 4k2 0， 即 1 k 0 时 ， 不等式的解为 x 1 1 k2k 或 x1 1 k2k ； 若 0， 即 k 1 时 ，不等式的解集为 R； 若 0， 即 k 1 时 ， 不等式的解集为 x|x 1. 综上所述 ， k 1 时 ， 不等式的解集为 ?； 0 k 1 时 ， 不等式 的解集为 ?x|1 1 k2k x1 1 k2k ； k 0 时 ， 不等式的解集为 x|x 0； 当 1 k 0 时 ， 不等式的解集为 ?
7、x|x 1 1 k2k ， 或 x1 1 k2k ； k 1 时 ， 不等式的解集为 x|x 1； k 1 时 ， 不等式的解集为 R. 考点三 三个二次的关系 【例 3】 已知函数 f(x) 2x2 bx c(b， c R)的值域为 0， ) ， 若关于 x 的不等式 f(x)0， （ a） 2 4a0 ， 得 00)的解集为 (x1， x2)， 且 x2 x1 15， 则 a _. 解析 由 x2 2ax 8a20， 所以不等式 的解集为 ( 2a， 4a)， 即 x2 4a， x1 2a， 由 x2 x1 15， 得 4a ( 2a) 15， 解得 a 52. 答案 52 6.已知不等式
8、 ax2 bx 10 的解集是 ? ? 12， 13 ， 则不等式 x2 bx a1， 即 02 时 ， 解集为 ? ?x|2a1； 当 a1 . 二、选做题 11.解关于 x 的不等式 ax2 (2a 1)x 2 0(a R). 解 原不等式可化为 (ax 1)(x 2) 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)当 a 0 时 ， 原不等式可以化为 a(x 2)? ?x 1a 0， 根据不等式的性质 ， 这个不等式等价于 (x 2) ? ?x 1a 0.因为方程 (x 2)? ?x 1a 0 的两个根分别是 2， 1a， 所以当 0 a 12时 ， 2 1a， 则原不等式的解集是 ?
9、?x|2 x 1a ；当 a 12时 ， 原不等式的解集是 ?； 当 a 12时 ， 1a 2， 则原不等式的解集是 ? ?x?1a x 2 . (2)当 a 0 时 ， 原不等式为 (x 2) 0， 解得 x 2， 即原不等式的解集是 x|x 2. (3)当 a 0 时 ， 原不等 式可以化为 a(x 2)? ?x 1a 0， 根据不等式的性质 ， 这个不等式等价于 (x 2) ? ?x 1a 0， 由于 1a 2， 故原不等式的解集是 ?x? ?x 1a或 x 2 . 综上所述 ， 当 a 0 时 ，不等式的解集为 ? ?x?x 1a或 x 2 ； 当 a 0 时 ， 不等式的解集为 x|
10、x 2；当 0 a 12时 ， 不等式的解集为 ? ?x?2 x 1a ；当 a 12时 ， 不等式的解集为 ?；当 a 12时 ， 不等式的解集为 ? ?x?1a x 2 . 12.(扬州市 2018 届高三上学期期中 )函数 f(x) log3(x2 2x 8)的定义域为 A， 函数 g(x) x2 (m 1)x m. (1)若 m 4 时 ， g(x)0 的解集为 B， 求 A B； (2)若存在 x ? ?0， 12 使得不等式 g(x) 1 成立 ， 求实数 m 的取值范围 . 解 (1)由 x2 2x 80， 解得 x2， 则 A ( ， 4)(2 ， ) ， 若 m 4， g(x) x2 3x 4， 由 x2 3x 40 ， 解得 1 x 4， 则 B 1， 4， 所以 A B (2， 4. (2)存在 x ? ?0， 12 使得不等式 x2 (m 1)x m 1 成立 ， 即存在 x ? ?0， 12 ， 使得不等式 m x2 x 1x 1 成立 ， 所以 m ?x2 x 1x 1 min， 因为 x2 x 1x 1 x1x 1 x 11x 1 11 ， 当且仅当 x 1 1， 即 x 0 时取得等号 ， 所以 m1 ， 解得 m 1. 即实数 m 的取值范围是 ( ， 1.
