1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 29 讲 平面向量的数量积及其应用 考试要求 1.平面向量数量积的含义及其物理意义 (B 级要求 )； 2.数量积的坐标表示，数量积的运算 (C 级要求 )； 3.用数量积表示两个向量的夹角，判断两向量垂直 (B 级要求 ). 诊 断 自 测 1.思考辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)两个向量的夹角的范围是 ? ?0， 2 .( ) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量 .( ) (3)若 a b 0，则 a 和 b 的夹 角为锐角；若 a b 0，则 a 和 b 的夹角为钝角 .( ) (4)a b a c(
2、a 0)，则 b c.( ) 解析 (1)两个向量的夹角的范围是 0， . (3)若 a b0， a 和 b 的夹角可能为 0；若 a b0)，以向量 AB ， AD 为基底，在 ?ABCD 中， AB m， AD 2， BAD 60 ，则 AE BD ? ?AD 12AB ( AD AB ) AD 2 12AB AD 12AB 2 4 12m 12m2，因为 AE BD 1，得m2 m 6 0，因为 m0，所以 m 2，所以 BD BE BD ( BC CE ) (AD AB )( AD 12AB )AD 2 32AB AD 12AB 2 4 3 2 3，故 BD BE 3. (2)以点 A
3、 为坐标原点， AB 所在的直线为 x 轴， AD 所在直线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为 AB 3， AD 2， E 为 BC 的中点， 所以 A(0， 0)， B(3， 0)， D(0， 2)， 设 C(x， 2)， 所以 AB (3， 0)， AC (x， 2). 因为 AB AC 3，所以 3x 3， 解得 x 1，所以 C(1， 2). 因为 E 为 BC 的中点，所以 E? ?3 12 ， 0 22 ， 即 E? ?2， 22 ， 所以 AE ? ?2， 22 ， BC ( 2， 2)， 所以 AE BC 2( 2) 22 2 4 1 3. 答案 (1)3 (2)
4、 3 规律方法 (1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算 .但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补 . 【训练 1】 (1)(一题多解 )(2018 苏州调研 )在 Rt ABC 中， A 90 ， AB AC 2，点 D为 AC 的中点，点 E 满足 BE 13BC ，则 AE BD _. (2)(2016 江苏卷 )如图，在 ABC 中， D 是 BC 的中点， E， F 是 AD 上的两个三等分
5、点， BA CA 4， BF CF 1，则 BE CE 的值是 _. 解析 (1)法一 因为 AE AB BE AB 13BC AB 13(AC AB ) 23AB 13AC ， BD BA AD AB 12AC .因为 AB AC，所以 AB AC 0，所以 AE BD ? ?23AB 13AC ? ? AB 12AC 23|AB |2 16|AC |2 2322 1622 2. 法二 建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0， 0)， B(2， 0)， D(0， 1)， E? ?43， 23 ，所以 AE ? ?43， 23 ， BD ( 2， 1)，所以 AE BD ? ?43， 23
6、( 2， 1) 43( 2) 231 2. (2)设 AB a， AC b，则 BA CA ( a)( b) a b 4. 又 D 为 BC 中 点， E， F 为 AD 的两个三等分点， 则 AD 12(AB AC ) 12a 12b， AF 23AD 13a 13b. AE 13AD 16a 16b， =【 ;精品教育资源文库 】 = BF BA AF a 13a 13b 23a 13b， CF CA AF b 13a 13b 13a 23b， 则 BF CF ? ? 23a 13b ? ?13a 23b 29a2 29b2 59a b 29(a2 b2) 594 1. 可得 a2 b2
7、292. 又 BE BA AE a 16a 16b 56a 16b. CE CA AE b 16a 16b 16a 56b， 则 BE CE ? ? 56a 16b ? ?16a 56b 536(a2 b2) 2636a b 536 292 26364 78. 答案 (1) 2 (2)78 考点二 平面向量的夹角与垂直 【例 2】 (1)(2016 全国 卷改编 )已知向量 a (1， m)， b (3， 2)，且 (a b) b，则m _. (2)(2018 南京、盐城调研 )已知向量 a， b 满足 a (4， 3)， |b| 1， |a b| 21，则向量 a， b 的夹角为 _. 解析
8、 (1)由题知 a b (4， m 2)，因为 (a b) b，所以 (a b) b 0， 即 43 ( 2)( m 2) 0，解之得 m 8. (2)设向量 a， b 的夹角为 ，由 |a b| 21得 21 (a b)2 a2 b2 2a b 25 1 10cos ， 即 cos 12，所以向量 a， b 的夹角为 3. 答案 (1)8 (2) 3 规律方法 (1)根据平面向量数量积的性质：若 a， b 为非零向量， cos a b|a|b|(夹角公式 )， a b?a b 0 等，可知平面向量的数量积可以用 来解决有关角度、垂直问题 . (2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐
9、角，数量积等于 0 说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角 . 【训练 2】 (1)(教材改编 )已知向量 a (2， 4)， b (1， 1)，若向量 b (a b)，则实数=【 ;精品教育资源文库 】 = 的值是 _. (2)(教材改编 )已知向量 a (1， 3)， b (3， m).若向量 a， b 的夹角为 6 ，则实数 m_. 解析 (1)b( a b) b a b b 21 4 1 2 0? 3. (2) a b (1， 3)(3 ， m) 3 3m， 又 a b 12（ 3） 2 32 m2cos 6 ， 3 3m 12（ 3） 2
10、32 m2cos 6 ， m 3. 答案 (1) 3 (2) 3 考点三 平面向量的模及其应用 (典例迁移 ) 【例 3】 (经典母题 )(1)(2018 苏北四市调研 )已知平面向量 a 与 b 的夹角等于 3 ，若 |a| 2， |b| 3，则 |2a 3b| _. (2)(2018 盐城模拟 )已知 |OA | |OB | 2，且 OA OB 1.若点 C 满足 |OA CB | 1，则 |OC|的取值范围是 _. 解析 (1)由题意可得 a b |a| b|cos 3 3，所以 |2a 3b| （ 2a 3b） 24|a|2 9|b|2 12a b 16 81 36 61. (2)由题
11、意可得 OA OB |OA | OB |cos AOB 2cos AOB 1，则 cos AOB 12， AOB 3.以点 O 为坐标原点， OA 所在直线为 x 轴，过 O 点垂直于 OA 的直线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A( 2， 0)， B? ?22 ， 62 .设点 C(x， y)，则 OA CB ? ?3 22 x， 62 y ，又 |OA CB | 1，所以 ? ?3 22 x2 ? ?62 y2 1，即点 C 的轨迹是以点 ? ?3 22 ， 62 为圆心，半径为 1 的圆 .|OC |的几何意义是点 C 到坐标原点的距离，圆心 ? ?3 22 ， 62 到坐标原点的距离
12、为 6，所以 6 1| OC | 6 1. 答案 (1) 61 (2) 6 1， 6 1 【迁移探究 1】 (2018 启东中学阶段测试 )已知向量 a， b， c 满足 a b c 0，且 a 与 b的夹角等于 150 ， b 与 c 的夹角等于 120 ， |c| 2，求 |a|， |b|. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 由 a b c 0， 得?a b c，b c a ?a2 b2 2a b c2，b2 c2 2b c a2， ?|a|2 |b|2 2|a|b|cos 150 4，|b|2 4 22| b|cos 120 |a|2， 解之得 |a| 2 3， |b| 4. 【迁移
13、探究 2】 (1)已知直角梯形 ABCD 中， AD BC， ADC 90 ， AD 2， BC 1， P 是腰DC 上的动点，则 |PA 3PB |的最小值为 _. (2)在平面直角坐标系中， O 为原点， A( 1， 0)， B(0， 3)， C(3， 0)，动点 D 满足 |CD | 1，则 |OA OB OD |的最大值是 _. 解析 (1)以 D 为原点，分别以 DA， DC 所在直线为 x 轴， y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 DC a， DP x(0 x a)， D(0， 0)， A(2， 0)， C(0， a)， B(1， a)， P(0， x).PA (2， x)，
14、PB (1， a x)， PA 3PB (5， 3a 4x)， |PA 3PB |2 25 (3a 4x)225 ，当 x 3a4 时取等号 . |PA 3PB |的最小值为 5. (2)设 D(x， y)，由 |CD | 1，得 (x 3)2 y2 1， 向量 OA OB OD (x 1， y 3)， 故 |OA OB OD | （ x 1） 2（ y 3） 2的最大值为圆 (x 3)2 y2 1 上的动点到点 (1， 3)距离的最大值，其最大值为圆 (x 3)2 y2 1 的圆心 (3， 0)到点 (1， 3)的距离加上圆的半径，即 （ 3 1） 2（ 0 3） 2 1 1 7. 答案 (1)5 (2)1 7 规律方法 (1)求向量的模的方法： 公式法，利用 |a| a a及 (a b)2 |a|22 a b|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算； 几何法，利用向量的几何意义，即利用向量=【 ;精品教育资源文库 】 = 加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解 . (2)求向量模的最值
