1、22.1 矩阵与变换 考纲解读 考点 内容解读 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 1.矩阵与变换 1.矩阵与逆矩阵 2.矩阵变换的运用 3.矩阵的特征值与特征向量 B 21B, 10 分 21B, 10分 21B, 10分 21B, 10分 21B, 10分 解答题 2.极坐标方程和直角坐标方程的互化 极坐标方程及简单运用 B 21C, 10分 解答题 3.参数方程和普通方程的互化 参数方程及简单运用 B 21C, 10 分 21C, 10分 21C, 10分 21C, 10分 解答题 4.不等式的解法与证明 1.绝对值不等式的解法 2.
2、简单不等式的证明 B 21D, 10 分 21D, 10分 21D, 10分 21D, 10分 21D, 10分 解答题 分析解读 江苏高考对选修 4的考查方式是从 “ 矩阵与变换 ,坐标系与参数方程 ,不等式选讲 ” 三个题目中任意选做两题 ,试题为容易题 ,基本是课本改编题 ,只要掌握基本概念和基本公式、定理就能解决 .复习时要严格控制难度 ,注意解题的准确性和规范性 . 命题探究 直线 l的普通方程为 x-2y+8=0. 因为点 P在曲线 C上 ,所以设 P(2s2,2 s), 从而点 P到直线 l的距离 d= = . 当 s= 时 ,dmin= . 因此当点 P的坐标为 (4,4)时
3、,曲线 C上点 P到直线 l的距离取到最小值 .五年高考 考点 矩阵与变换 1.(2017江苏 ,21B,10分 )选修 4 2:矩阵与变换 已知矩阵 A= ,B= . (1)求 AB; (2)若曲线 C1: + =1在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C2,求 C2的方程 . 解析 本小题主要考查矩阵的乘法、线性 变换等基础知识 ,考查运算求解能力 . (1)因为 A= ,B= , 所以 AB= = . (2)设 Q(x0,y0)为曲线 C1上的任意一点 ,它在矩阵 AB对应的变换作用下变为 P(x,y), 则 = ,即 所以 因为点 Q(x0,y0)在曲线 C1上 ,则 + =1,
4、 从而 + =1,即 x2+y2=8. 因此曲线 C1在矩阵 AB对应的变换作用下得到曲线 C2:x2+y2=8. 2.(2016江苏 ,21B,10分 )已知矩阵 A= ,矩阵 B的逆矩阵 B-1= ,求矩阵 AB. 解析 设 B= , 则 B-1B= = , 即 = , 故 解得 所以 B= . 因此 ,AB= = . 3.(2015江苏 ,21B,10分 )已知 x,yR, 向量 = 是矩阵 A= 的属于特征值 -2的一个特征向量 ,求矩阵 A以及它的另一个特征值 . 解析 由已知 ,得 A= -2, 即 = = , 则 即 所以矩阵 A= . 从而矩阵 A的特征多项式 f()=(+2)
5、( -1), 所以矩阵 A的另一个特征值为 1. 4.(2014江苏 ,21B,10分 )已知矩阵 A= ,B= ,向量 = ,x,y为实数 ,若 A=B, 求 x+y的值 . 解析 由已知 ,得 A= = ,B= = . 因为 A= B, 所以 = .故 解得 所以 x+y= . 5.(2013江苏 ,21B,10分 )已知矩阵 A= ,B= ,求矩阵 A-1B. 解析 设矩阵 A的逆矩阵为 ,则 = , 即 = , 故 a=-1,b=0,c=0,d= ,从而 A的逆矩阵为 A-1= , 所以 A-1B= = . 教师用书专用 (6) 6.2013福建 ,21(1),7分 选修 4 2:矩阵
6、与变换 已知直线 l:ax+y=1在矩阵 A= 对应的变换作用下变为直线 l:x+by=1. (1)求实数 a,b的值 ; (2)若点 P(x0,y0)在直线 l上 ,且 A = ,求 点 P的坐 标 . 解析 (1)设直线 l:ax+y=1 上任意点 M(x,y)在矩阵 A对应的变换作用下的像是 M(x,y). 由 = = ,得 又点 M(x,y)在 l上 ,所以 x+by=1,即 x+(b+2)y=1, 依题意得 解得 (2)由 A = ,得 解得 y0=0. 又点 P(x0,y0)在直线 l上 ,所以 x0=1. 故点 P的坐标为 (1,0). 三年模拟 A组 2016 2018 年模拟
7、 基础题组 考点 矩阵与变换 1.(2018江苏徐州铜山中学期中 )已知矩阵 A= ,若直线 y=kx+1在矩阵 A对应的变 换作用下得到的直线过点P(2,6),求实数 k的值 . 解析 矩阵 A= ,A -1= , 所以 A-1 = = , 将 (2,2)代入 y=kx+1得 k= . 2.(2018江苏扬州中学高三月考 )已知矩阵 A= ,A的逆矩阵 A-1= ,求 A的特征值 . 解析 因为 AA-1= = = ,所以 解得 a=1,b=- . A= , 则 A的特征多项式 f()= =( -3)( -1). 令 f()=0, 解得 1=1, 2=3. 所以 A的特征值为 1,3. 3.
8、(2017江苏南京、盐城一模 )设矩阵 M= 的特征值 对应的一个特征向 量为 ,求 m与 的值 . 解析 由题意得 = , 则 解得 m=0,= -4. 4.(2017江苏扬州期中 )已知矩阵 M= 的一个特征值为 4,求实数 a的值 . 解析 矩阵 M的特征多项式 f()= =( -2)( -1)-3a,因为矩阵 M= 的一个特征值为 4, 所以 4为方程 f()=0 的一个根 ,所以 23 -3a=0,解得 a=2. 5.(2017江苏徐州期末调研 )已知矩阵 A= 的一个特征值为 2,其对应的一个特征向量 = .求 a,b的值 . 解析 由条件知 ,A=2, 即 =2 ,即 = , 所
9、以 解得 所以 a,b的 值分别为 2,4. 6.(2016江苏苏北四市一模 ,21)已知矩阵 A= ,求矩阵 A的特征值和特征向量 . 解析 矩阵 A的特征多项式 f()= = 2-5+6, 由 f()=0, 解得 1=2, 2=3. 当 =2 时 ,特征方程组为 故属于特征值 2的一个特征向量 1= ; 当 =3 时 ,特征方程组为 故属于特征值 3的一个特征向量 2= . B组 2016 2018 年模拟 提升题组 (满分 :40分 时间 :20分钟 ) 解答题 (共 40分 ) 1.(2017江苏苏州期中 )已知二阶矩阵 M有特征值 =8 及对应的一个特征向量 e1= ,并且矩阵 M将
10、点 (-1,3)变换为 (0,8). (1)求矩阵 M; (2)求曲线 x+3y-2=0在 M的作用下所得的新曲线方程 . 解析 (1)设 M= , 由题意得 =8 , = , 解得 M= . (2)设原曲线上任一点 P(x,y)在 M的作用下的对应点为 P(x,y), 则 = ,即 解得 代入 x+3y-2=0,得 x-2y+4=0, 即曲线 x+3y-2=0在 M的作用下得到的新曲线方程为 x-2y+4=0. 2.(2017江苏海安中学质检 )已知二阶矩阵 A= ,矩阵 A属于特征值 1=-1的一个特 征向量为 1= ,属于特征值 2=4 的一个特征向量为 2= .求矩阵 A. 解析 由特
11、征值、特征向量的定义可知 ,A 1= 1 1, 即 =-1 ,所以 同理可得 解得 a=2,b=3,c=2,d=1. 因此矩阵 A= . 3.(苏教选 4 2,二 ,5,3,变式 )二阶矩阵 A有特征值 =6, 其对应的一个特征向量 e= ,并且矩阵 A对应的变换将点 (1,2)变换成点 (8,4),求矩阵 A. 解析 设所求二阶矩阵 A= ,则 解方程组得 A= . 4.(2016 江苏南通二模 ,21)在平面直角坐标系 xOy 中 ,设点 A(-1,2)在矩阵 M= 对应的变换作用下得到点 A,将点 B(3,4)绕点 A逆时针旋转 90 得到点 B,求点 B的坐标 . 解析 设 B(x,y
12、), 由 = ,得 A(1,2). 则 =(2,2), =(x-1,y-2). 记旋转矩阵 N= , 则 = ,即 = ,解得 所以点 B的坐标为 (-1,4). C组 2016 2018 年模拟 方法题组 方法 1 求解逆矩阵 1.已知二阶矩阵 M对应的变换 T 将平面上的点 (2,-1),(-1,2)分别变换成点 (3,-4),(0,5),试求矩阵 M的逆矩阵 . 解析 设 M= , 则 = , = , 所以 解得 所以矩阵 M= ,设矩阵 M的 逆矩阵 M-1= ,易知 MM-1= ,所以解得 所以 M-1= . 方法 2 矩阵变换的应用 2.(2016江苏南京、盐城一模 ,21)设矩阵 M= 的一个特征值为 2,若曲线 C在矩阵 M对应的变换下的方程为x2+y2=1,求曲线 C 的方程 . 解析 由题意 ,知矩阵 M的特征多项式为 f()=( -a)( -1), 因矩阵 M的一个特征值为 2,所以 f(2)=0,所以 a=2. 设曲线 C上任一点的坐标为 (x,y),其在矩阵 M对应的变换下的对应点的坐标为 (x,y). 所以 M = = ,即 因为曲线 C在矩阵 M对应的变换下的方程为 x2+y2=1,所以 (2x)2+(2x+y)2=1,即曲线 C的方程为 8x2+4xy+y2=1.
