1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 22.2 坐标系与参数方程 五年高考 考点一 极坐标方程和直角坐标方程的互化 1.(2017北京理 ,11,5分 )在极坐标系中 ,点 A在圆 2-2cos -4sin +4=0 上 ,点 P的坐标为 (1,0),则|AP|的最小值为 . 答案 1 2.(2017天津理 ,11,5分 )在极坐标系中 ,直线 4cos +1=0与圆 =2sin 的公共点的个数为 . 答案 2 3.(2015北京 ,11,5分 )在极坐标系中 ,点 到直线 (cos + sin )=6 的距离为 . 答案 1 4.(2015重庆 ,15,5分 )已知直线 l的参数方程为 (t为参
2、数 ),以坐标原点为极点 ,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ,曲线 C的极坐标方程为 2cos 2=4 ,则直线 l与曲线 C的交点的极坐标为 . 答案 (2,) 5.(2015广东 ,14,5分 )(坐标系与参数方程选做题 )已知直线 l的极坐标方程为 2sin = ,点 A的极坐标为 A ,则点 A 到直线 l的距离为 . 答案 6.(2014天津 ,13,5分 )在以 O为极点的极坐标系中 ,圆 =4sin 和直线 sin =a 相交于 A,B两点 .若 AOB是等边三角形 ,则 a的值为 . 答案 3 7.(2014重庆 ,15,5分 )已知直线 l的参数方程为 (t为参数 ),以坐标
3、原点为极点 ,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ,曲线 C的极坐标方程为 sin 2 -4cos =0(0,00).在以坐标原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 ,曲线 C2:=4c os . =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)说明 C1是哪一种曲线 ,并将 C1的方程化为极坐标方程 ; (2)直线 C3的极坐标方程为 = 0,其中 0满足 tan 0=2,若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上 ,求 a. 解析 (1)消去参数 t得到 C1的普通方程 :x2+(y-1)2=a2.C1是以 (0,1)为圆心 ,a为半径的圆 .(2分 ) 将 x=cos ,y=sin 代入 C1的
4、普通方程中 ,得到 C1的极坐标方程为 2-2sin +1 -a2=0.(4分 ) (2)曲线 C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 (6 分 ) 若 0, 由方程组得 16cos2 -8sin cos +1 -a2=0,(8分 ) 由已知 tan =2, 可得 16cos2 -8sin cos =0, 从而 1-a2=0, 解得 a=-1(舍去 )或 a=1. a=1时 ,极点也为 C1,C2的公共点 ,在 C3上 . 所以 a=1.(10分 ) 9.(2015江苏 ,21C,10分 )选修 4 4:坐标系与参数方程 已知圆 C的极坐标方程为 2+2 sin -4=0,求圆 C的半径 . 解
5、析 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O,极轴为 x轴的正半轴 ,建立直角坐标系 xOy. 圆 C的极坐标方程为 2+2 -4=0, 化简 ,得 2+2sin -2cos -4=0. 则圆 C的直角坐标方程为 x2+y2-2x+2y-4=0, 即 (x-1)2+(y+1)2=6, 所以圆 C的半径为 . 10.(2015课标 ,23,10 分 )(选修 4 4:坐标系与参数方程 ) 在直角坐标系 xOy中 ,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点 ,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . (1)求 C1,C2的极坐标方程 ; (2)若直线 C3的极坐
6、标方程为 = (R), 设 C2与 C3的交点为 M,N,求 C 2MN的 面积 . 解析 (1)因为 x=cos ,y=sin , 所以 C1的极坐标方程为 cos = -2,C2的极坐标方程为 2-2cos -4sin +4=0.(5 分 ) (2)将 = 代入 2-2cos -4sin +4=0, 得 2-3 +4=0, 解得 1=2 , 2= ,故 1- 2= ,即|MN|= . 由于 C2的半径为 1,所以 C 2MN的面积为 .(10分 ) 11.(2015湖南 ,16(2),12分 )(选修 4 4:坐标系与参数方程 ) 已知直线 l: (t 为参数 ).以坐标原 点为极点 ,x
7、轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ,曲线 C的极坐标方程为 =2cos . (1)将曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程 ; =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)设点 M的直角坐标为 (5, ),直线 l与曲线 C的交点为 A,B,求 |MA|MB| 的值 . 解析 (1)=2cos 等价于 2=2cos . 将 2=x2+y2,cos =x 代入 即得曲线 C的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0. (2)将 代入 , 得 t2+5 t+18=0.设这个方程的两个实根分别为 t1,t2,则由参数 t的几何意义即知 ,|MA|MB|=|t 1t2|=18. 12.(2014课标 ,23,10
8、分 )选修 4 4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy中 ,以坐标原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ,半圆 C的极坐标方程为 =2cos , . (1)求 C的参数方程 ; (2)设点 D在 C上 ,C在 D处的切线与直线 l:y= x+2垂直 ,根据 (1)中你得到的参数方程 ,确定 D的坐标 . 解析 (1)C的普通方程为 (x-1)2+y2=1(0y1). 可得 C的参数方程为 (t为参数 ,0t). (2)设 D(1+cos t,sin t).由 (1)知 C是以 G(1,0)为圆心 ,1 为半径的上半圆 .因为 C在点 D处的切线与 l垂直 ,所以直线 GD 与 l的
9、斜率相同 ,tan t= ,t= . 故 D的直角坐标为 ,即 . 教师用书专用 (13 20) 13.(2014安徽改编 ,4,5分 )以平面直角坐标系的原点为极点 ,x轴的正半轴为极轴 ,建立极坐标系 ,两种坐标系中取相同的长度单位 .已知直线 l的参数方程是 (t为参数 ),圆 C的极坐标方程是 =4cos , 则直线l被圆 C截得的弦长为 . 答案 2 14.(2014广东 ,14,5分 )(坐标系与参数方程选做题 )在极坐标系中 ,曲线 C1和 C2的方程分别为 sin 2=cos 和 sin =1. 以极点为平面直角坐标系的原点 ,极轴为 x轴的正半轴 ,建立平面直角坐标系 ,则曲
10、线 C1和 C2交点的直角坐标为 . 答案 (1,1) 15.(2013安徽理改编 ,7,5分 )在极坐标系中 ,圆 =2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为 . 答案 = (R) 和 cos =2 16.(2013湖北理 ,16,5分 )(选修 4 4:坐标系与参数方程 ) 在直角坐标系 xOy中 ,椭圆 C的参数方程为 ( 为参数 ,ab0),在极坐标系 (与直角坐标系 xOy取相同的长度单位 ,且以原点 O为极点 ,以 x轴正半轴为极轴 )中 ,直线 l与圆 O的极坐标方程分别为=【 ;精品教育资源文库 】 = sin = m(m为非零常数 )与 =b. 若直线 l经过椭圆 C的焦点
11、 ,且与圆 O相切 ,则椭圆 C的离心率为 . 答案 17.(2013北京理 ,9,5分 )在极坐标系中 ,点 到直线 sin =2 的距离等于 . 答案 1 18.(2013江西理 ,15,5分 )(坐标系与参数方程选做题 )设曲线 C的参数方程为 (t 为参数 ),若以直角坐标系的原点为极点 ,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ,则曲线 C的极 坐标方程为 . 答案 cos2 =sin 19.(2014辽宁 ,23,10分 )选修 4 4:坐标系与参数方程 将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变 ,纵坐标变为原来的 2倍 ,得曲线 C. (1)写出 C的参数方程 ; (2)设直线 l
12、:2x+y-2=0与 C的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ,求过线段 P1P2的中点且与 l垂直的直线的极坐标方程 . 解析 (1)设 (x1,y1)为圆上的点 ,在已知变换下变为 C上点 (x,y),依题意 ,得 由 + =1得 x2+ =1,即曲线 C的方 程为 x2+ =1. 故 C的参数方程为 (t为参数 ). (2)由 解得 或 不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2的中点坐标为 ,所求直线斜率为 k= ,于是所求直线方程为 y-1= , 化为极坐标方程 ,并整理得 2cos -4sin = -3, 即 = . 20.(201
13、3辽宁理 ,23,10分 )选修 4 4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy中 ,以 O为极点 ,x轴正半轴为极轴建立极坐标系 .圆 C1,直线 C2的极坐标方程分别为 =4sin ,cos =2 . (1)求 C1与 C2交点的极坐标 ; =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)设 P为 C1的圆心 ,Q为 C1与 C2交点连线的中点 .已知直线 PQ的参数方程为 (tR 为参数 ),求 a,b的值 . 解析 (1)圆 C1的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4, 直线 C2的直角坐标方程为 x+y-4=0. 解 得 所以 C1与 C2交点的极坐标为 , .(6分 ) 注 :极坐标系下
14、点的表示不唯一 . (2)由 (1)可得 ,P 点与 Q点的直角坐标分别为 (0,2),(1,3). 故直线 PQ的直角坐标方程为 x-y+2=0. 由参数方程可得 y= x- +1, 所以 解得 a=-1,b=2.(10分 ) 考点二 参数方程和 普通方程的互化 1.(2016天津理 ,14,5分 )设抛物线 (t为参数 ,p0)的焦点为 F,准线为 l.过抛物线上一点 A作 l的垂线 ,垂足为 B.设 C ,AF与 BC相交于点 E.若 |CF|=2|AF|,且 ACE 的面积为 3 ,则 p的值为 . 答案 2.(2015湖北 ,16,5分 )(选修 4 4:坐标系与参数方程 ) 在直角
15、坐标系 xOy中 ,以 O为极点 ,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .已知直线 l的极坐标方程为 (sin -3cos )=0, 曲线 C的参数方程为 (t为参数 ),l与 C相交于 A,B两点 ,则 |AB|= . 答案 2 3.(2014湖北 ,16,5分 )已知曲线 C1的参数方程是 (t为参数 ),以坐标原点为极点 ,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ,曲线 C2的极坐标方程是 =2, 则 C1与 C2交点的直角坐标为 . 答案 ( ,1) 4.(2016江苏 ,21C,10分 )选修 4 4:坐标系与参数方程 =【 ;精品教育资源文库 】 = 在平面直角坐标系 xOy中 ,已知直线 l
16、的参数方程为 (t 为参数 ),椭圆 C的参数方程为 ( 为参数 ).设直线 l与椭圆 C相交于 A,B两点 ,求线段 AB 的长 . 解析 椭圆 C的普通方程为 x2+ =1. 将直线 l的参 数方程 (t为参数 )代入 x2+ =1,得 + =1,即 7t2+16t=0,解得 t1=0,t2=- . 所以 AB=|t1-t2|= . 5.(2016课标全国 理 ,23,10 分 )选修 4 4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中 ,曲线 C1的参数方程为 ( 为参数 ).以坐标原点为极点 ,以 x 轴的正半轴为极轴 ,建立极坐标系 ,曲线 C2的极坐标方程为 sin =2 . (1
17、)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程 ; (2)设点 P在 C1上 ,点 Q在 C2上 ,求 |PQ|的最小值及此时 P的直角坐标 . 解析 (1)C1的普通方程 为 +y2=1. C2的直角坐标方程为 x+y-4=0.(5分 ) (2)由题意 ,可设点 P的直角坐标为 ( cos ,sin ). 因为 C2是直线 ,所以 |PQ|的最小值即为 P到 C2的距离d() 的最小值 ,d()= = .(8 分 ) 当且仅当 =2k+ (kZ) 时 ,d() 取得最小值 ,最小值为 ,此时 P的直角坐标为 .(10分 ) 6.(2016课标全国 ,23,10 分 )选修 4 4:坐标系与参数方程 在直角坐标
