1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测 (七） 函数的奇偶性及周期性 练基础小题 强化运算能力 1 (2018 肇庆模拟 )在函数 y xcos x， y ex x2， y lg x2 2， y xsin x 中，偶函数的个数是 _ 解析： y xcos x 是奇函数， y lg x2 2和 y xsin x 是偶函数， y ex x2是非奇非偶函数，所以偶函数的个数是 2. 答案： 2 2 (2017 北京高考改编 )已知函数 f(x) 3x ? ?13 x，则 _ f(x)在 R 上是增函数； f(x)在 R 上是减函数； f(x)是偶函数； f(x)是奇函数 解析：因为 f(x)
2、 3x ? ?13 x，且定义域为 R， 所以 f( x) 3 x ? ?13 x ? ?13 x 3x 3x ? ?13 x f(x)，即函数 f(x)是奇函数 又 y 3x在 R 上是增函数， y ? ?13 x在 R 上是减函数，所以 f(x) 3x ? ?13 x在 R 上是增函数 答案： 3奇函数 f(x)的周期为 4，且当 x 0,2时， f(x) 2x x2，则 f(2 018) f(2 019) f(2 020)的值为 _ 解析 ：函数 f(x)是奇函数，则 f(0) 0，由 f(x) 2x x2， x 0,2知 f(1) 1， f(2) 0，又 f(x)的周期为 4，所以 f
3、(2 018) f(2 019) f(2 020) f(2) f(3) f(0) f(3) f( 1) f(1) 1. 答案： 1 4 (2018 贵州适应性考试 )已知 f(x)是奇函数， g(x) 2 f xf x .若 g(2) 3，则 g(2) _. 解析：由题意可得 g(2) 2 ff 3，则 f(2) 1，又 f(x)是奇函数，则 f( 2) 1，所以 g( 2) 2 f f 2 1 1 1. 答案： 1 5 (2018 海门中学月考 )已知函数 f(x) log1e ? ?x2 1e ? ?xe ，则使得 f(x 1) f(2x=【 ;精品教育资源文库 】 = 1)成立的 x 的
4、范围是 _ 解析：由题意得，函数 f(x)定义域是 R， f( x) log1e ? ? x 2 1e ? ? xe log1e ? ?x2 1e ? ?xe f(x)， 函数 f(x)是偶函数 偶函数 f(x)在 (0， ) 上单调递减，由 f(x 1) f(2x 1)得 |x 1| |2x 1|，解得 0 x 2.即 x 的范围是 (0,2) 答案： (0,2) 练常考题点 检验高考能力 一、填空题 1设 f(x)是定义在 R 上且周期为 4 的奇函数，若在区间 2， 0) (0,2上， f(x)? ax b， 2 x 0，ax 1， 0 x2 ， 则 f(2 018) _. 解析：设 0
5、 x2 ，则 2 x 0， f( x) ax b.因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 4 的奇函数，所以 ax b f( x) f(x) ax 1，所以 b 1.而 f( 2) f( 24) f(2)，所以 2a 1 2a 1，解得 a 12，所以 f(2 018) f(2) 2 12 1 0. 答案： 0 2 (2017 淮安中学模拟 )奇函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x 1)为偶函数，且 f(1) 2，则 f(4) f(5)的值为 _ 解析：设 g(x) f(x 1)， f(x 1)为偶函数，则 g( x) g(x)，即 f( x 1) f(x 1)， f(x)是奇函数， f(
6、 x 1) f(x 1) f(x 1)，即 f(x 2) f(x)， f(x4) f(x 2 2) f(x 2) f(x)，则 f(4) f(0) 0， f(5) f(1) 2， f(4) f(5)0 2 2. 答案： 2 3设函数 f(x)(x R)满足 f(x ) f(x) sin x当 0 x 时， f(x) 0，则 f ?236 _. 解析： f(x 2) f(x ) sin(x ) f(x) sin x sin x f(x)， f(x)的周期 T 2 ，又 当 0 x 时， f(x) 0， f ? ?56 0， f ? ? 6 f ? ? 6 sin? ? 6 0， f ? ? 6
7、12， f ? ?236 f ? ?4 6 f ? ? 6 12. 答案： 12 4 (2017 全国卷 改编 )函数 f(x)在 ( ， ) 单调递减，且为奇函数若 f(1)=【 ;精品教育资源文库 】 = 1，则满足 1 f(x 2)1 的 x 的取值范 围是 _ 解析： f(x)为奇函数， f( x) f(x) f(1) 1， f( 1) f(1) 1. 故由 1 f(x 2)1 ，得 f(1) f(x 2) f( 1) 又 f(x)在 ( ， ) 单调递减， 1 x 21 ， 1 x3. 答案： 1,3 5已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x 0 时， f(x) x3 1；当 1
8、x1 时， f( x) f(x)；当 x 12时， f ? ?x 12 f ? ?x 12 ，则 f(6) _. 解析：由题意知当 x 12时， f ? ?x 12 f ? ?x 12 ，则 f(x 1) f(x)又当 1 x1时， f( x) f(x)， f(6) f(1) f( 1)又当 x 0 时， f(x) x3 1， f( 1) 2， f(6) 2. 答案： 2 6已知函数 f(x)对任意 x R，都有 f(x 6) f(x) 0， y f(x 1)的图象关于点 (1,0)对称，且 f( 2) 4，则 f(2 018) _. 解析：由题可知，函数 f(x)对任意 x R，都有 f(x
9、 6) f(x)， f(x 12) f(x 6) 6 f(x 6) f(x)， 函数 f(x)的周期 T 12.把 y f(x 1)的图象向左平移 1个单位得 y f(x 1 1) f(x)的图象，关于点 (0,0)对称，因此函数 f(x)为奇函数， f(2 018) f(16812 2) f(2) f( 2) 4. 答案： 4 7 (2018 扬州江都中学模拟 )已知函数 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 x 0,1)时， f(x) lg(x 1)，则 f ? ?2 0185 lg 14 _. 解析：由函数 f(x)是周期为 2 的奇函数得 f ? ?2 0185 f ? ?85 f ?
10、? 25 f ? ?25 ，又当x 0,1)时， f(x) lg(x 1)，所以 f ? ?2 0185 f ? ?25 lg75 lg57，故 f ? ?2 0185 lg 14 lg57 lg 14 lg 10 1. 答案： 1 8函数 f(x) ex x(x R)可表示为奇函数 h(x)与偶函数 g(x)的和，则 g(0)_. 解析：由题意可知 h(x) g(x) ex x ，用 x 代替 x 得 h( x) g( x) e x x，=【 ;精品教育资源文库 】 = 因为 h(x)为奇函数， g(x)为偶函数，所以 h(x) g(x) e x x .由 ( )2 得 g(x) ex e
11、x2 ，所以 g(0)e0 e02 1. 答案： 1 9设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件： f(x) f( x) 0； f(x) f(x2)； 当 0 x1 时， f(x) 2x 1.则 f ? ?12 f(1) f ? ?32 f(2) f ? ?52 _. 解析：依题意知：函数 f(x)为奇函数且周期为 2，则 f ? ?12 f(1) f ? ?32 f(2) f ? ?52 f ? ?12 f(1) f ? ? 12 f(0) f ? ?12 f ? ?12 f(1) f(0) 212 1 21 1 20 1 2. 答案： 2 10已知函数 f(x)是定义在 R 上的周
12、期为 2 的奇函数，当 0 x 1 时， f(x) 4x，则 f ? 52 f(1) _. 解析： f(x)为奇函数，周期为 2， f(1) f(1 2) f( 1) f(1)， f(1) 0. f(x) 4x， x (0,1)， f ? ? 52 f 52 2 f ? ? 12 f ? ?12 412 2. f ? ? 52 f(1) 2. 答案： 2 二、解答题 11已知函数 f(x)? x2 2x， x 0，0， x 0，x2 mx， x 0是奇函数 (1)求实数 m 的值； (2)若函数 f(x)在区间 1， a 2上单调递增，求实数 a 的取值范围 解： (1)设 x 0，则 x 0
13、， 所以 f( x) ( x)2 2( x) x2 2x. 又 f(x)为奇函数，所以 f( x) f(x)， 于是 x 0 时， f(x) x2 2x x2 mx， 所以 m 2. (2)要使 f(x)在 1， a 2上单调递增，结合 f(x)的图象 (如图所示 )知? a 2 1，a 21 ， 所以 1 a3 ，故实数 a 的取值范围是 (1,3 =【 ;精品教育资源文库 】 = 12函数 f(x)的定义域为 D x|x0 ，且满足对任意 x1， x2 D，有 f(x1 x2) f(x1) f(x2) (1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你 的结论； (3)如果 f
14、(4) 1， f(x 1) 2, 且 f(x)在 (0， ) 上是增函数，求 x 的取值范围 解： (1) 对于任意 x1， x2 D，有 f(x1 x2) f(x1) f(x2)， 令 x1 x2 1，得 f(1) 2f(1)， f(1) 0. (2)f(x)为偶函数 证明：令 x1 x2 1，有 f(1) f( 1) f( 1)， f( 1) 12f(1) 0.令 x1 1， x2 x，有 f( x) f( 1) f(x)， f( x) f(x)， f(x)为偶函数 (3)依题 设有 f(44) f(4) f(4) 2，由 (2)知， f(x)是偶函数， f(x 1) 2?f(|x 1|) f(16) 又 f(x)在 (0， ) 上是增函数 0 |x 1| 16， 解得 15 x 17 且 x1. x 的取值范围是 ( 15,1) (1,17).
