1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考达标检测（六十） 不等式证明 1已知 a， b 都是正实数，且 a b 2，求证： a2a 1b2b 11. 证明： a 0， b 0， a b 2， a2a 1b2b 1 1a2 b b2 a a ba b a2b a2 b2a b2 ab a b 1a b a2 b2 ab a b ab a b 1a b a2 b2 2ab ab 3a b a b 2 3 aba b 1 aba b . a b 22 ab， ab1. 1 aba b 0. a2a 1b2b 11. 2已知定义在 R 上的函数 f(x) |x 1| |x 2|的最小值为 a. (1)求
2、 a 的值； (2)若 p， q， r 是正实数 ，且满足 p q r a，求证： p2 q2 r23. 解： (1)因为 |x 1| |x 2|( x 1) (x 2)| 3， 当且仅当 1 x2 时，等号成立， 所以 f(x)的最小值等于 3，即 a 3. (2)证明：由 (1)知 p q r 3， 又因为 p， q， r 是正实数， 所以 (p2 q2 r2)(12 12 12)( p1 q1 r1) 2 (p q r)2 9， 即 p2 q2 r23. 3 (2018 云南统一检测 )已知 a 是常数，对任意实数 x，不等式 |x 1| |2 x| a |x 1| |2 x|都成立 (
3、1)求 a 的值； (2)设 m n 0，求证： 2m 1m2 2mn n22 n a. 解： (1)设 f(x) |x 1| |2 x|， 则 f(x)? 3， x 1，2x 1， 1 x 2，3， x2 ，=【 ;精品教育资源文库 】 = f(x)的最大值为 3. 对任意实数 x， |x 1| |2 x| a 都成立，即 f(x) a， a3. 设 h(x) |x 1| |2 x|， 则 h(x)? 2x 1， x 1，3， 1 x 2，2x 1， x2 ，则 h(x)的最小值为 3. 对任意实数 x， |x 1| |2 x| a 都成立，即 h(x) a， a3. a 3. (2)证明
4、：由 (1)知 a 3. 2m 1m2 2mn n2 2n (m n) (m n) 1m n 2，且 m n 0， (m n) (m n) 1m n 2 33m n m n 1m n 2 3. 2m 1m2 2mn n22 n a. 4已知 x， y， z 是正实数，且满足 x 2y 3z 1. (1)求 1x 1y 1z的最小值； (2)求证： x2 y2 z2 114. 解： (1) x， y， z 是正实数，且满足 x 2y 3z 1， 1x 1y 1z ? ?1x 1y 1z (x 2y 3z) 6 2yx 3zx xy 3zy xz 2yz 6 2 2 2 3 2 6， 当且仅当 2
5、yx xy且 3zx xz且 3zy 2yz 时取等号 (2)由柯西不等式可得 1 (x 2y 3z)2( x2 y2 z2)(12 22 32) 14(x2 y2 z2)， =【 ;精品教育资源文库 】 = x2 y2 z2 114， 当且仅当 x y2 z3，即 x 114， y 17， z 314时取等号 故 x2 y2 z2 114. 5 (2018 石家庄模拟 )已知函数 f(x) |x| |x 1|. (1)若 f(x)| m 1|恒成立，求实数 m 的最大值 M； (2)在 (1)成立的条件下，正实数 a， b 满足 a2 b2 M，证明： a b2 ab. 解： (1)由绝对值
6、不等式的性质知 f(x) |x| |x 1| x x 1| 1， f(x)min 1， 只需 |m 1|1 ， 即 1 m 11 ， 0 m2 ， 实数 m 的最大值 M 2. (2)证明： a2 b22 ab，且 a2 b2 2， ab1 ， ab1 ，当且仅当 a b 时取等号 又 ab a b2 ， aba b 12， aba b ab2 ，当且仅当 a b 时取等号 由 得， aba b 12， a b2 ab. 6 (2018 吉林实验中学模拟 )设函数 f(x) |x a|. (1)当 a 2 时，解不等式 f(x)4 |x 1|； (2)若 f(x)1 的解集为 0,2， 1m
7、12n a(m0， n0)，求证： m 2n4. 解： (1)当 a 2 时，不等式为 |x 2| |x 1|4. 当 x2 时，不等式可化为 x 2 x 14 ，解得 x 72； 当 1 x 2 时，不等式可化为 2 x x 14 ， 不等式的解集为 ?； 当 x1 时，不等式可化为 2 x 1 x4 ，解得 x 12. 综上可得，不等式的解集为 ? ? ， 12 ? ?72， . (2)证明： f(x)1 ，即 |x a|1 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 解得 a 1 x a 1，而 f(x)1 的解集是 0,2， ? a 1 0，a 1 2， 解得 a 1， 所以 1m 12n
8、1(m0， n0)， 所以 m 2n (m 2n)? ?1m 12n 2 m2n 2nm 2 2 m2n 2nm 4， 当且仅当 m 2， n 1 时取等号 7已知 a， b， c， d 均为正数，且 ad bc. (1)证明：若 a db c，则 |a d|b c|； (2)若 t a2 b2 c2 d2 a4 c4 b4 d4，求实数 t 的取值范围 解： (1)证明：由 a db c，且 a， b， c， d 均为正数， 得 (a d)2(b c)2，又 ad bc， 所以 (a d)2(b c)2，即 |a d|b c|. (2)因为 (a2 b2)(c2 d2) a2c2 a2d2
9、b2c2 b2d2 a2c2 2abcd b2d2 (ac bd)2， 所以 t a2 b2 c2 d2 t(ac bd) 由于 a4 c4 2ac, b4 d4 2bd， 又已知 t a2 b2 c2 d2 a4 c4 b4 d4， 则 t(ac bd) 2(ac bd)，故 t 2，当且仅当 a c， b d 时取等号 所以实数 t 的取 值范围为 2， ) 8已知函数 f(x) |x 1|. (1)解不等式 f(2x) f(x 4)8 ； (2)若 |a|f ? ?ba . 解： (1)f(2x) f(x 4) |2x 1| |x 3| ? 3x 2， xf? ?ba 等价于 f(ab)|a|f? ?ba ，即 |ab 1|a b|. 因为 |a|0， 所以 |ab 1|a b|. 故所证不等式成立 .
