1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 22 讲 解三角形应用举例 考纲要求 考情分析 命题趋势 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 . 2015 湖北卷， 13 2014 四川卷， 13 解三角形是三角函数的知识在三角形中的应用，高考中可单独考查，也可以与三角函数、不等式、向量等综合考查 . 分值： 5 分 1仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 _上方 _的角叫仰角，在水平线 _下方 _的角叫俯角 (如图 ) 2方位角 从指北方向 _顺时针 _转到目标方向线的水平角叫 方位角，如 B 点的方位角为 (如图 ) 3方向角 相对于某一正方向
2、的水平角 (如图 ) (1)北偏东 ，即由指北方向 _顺时针 _旋转 到达目标方向 (2)北偏西 ，即由指北方向 _逆时针 _旋转 到达目标方向 (3)南偏西等其他方向角类似 4坡角和坡度 (比 ) 坡角：坡面与水平面所成的 _二面角 _的度数 (如图 ，角 为坡角 ) 坡度 (比 )：坡面的铅直高度与水平长度之比 (如图 ， i 为坡度 (比 ) 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”) =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)公式 S 12bcsin A 12acsin B 12absin C 适用于任意三角形 ( ) (2)东北方向就是北偏东 45 的方向 ( ) (3)俯角是铅垂线与
3、视线所成的角 ( ) (4)方位角大小的范围是 0,2) ，方向角大小的范围一般是 ? ?0， 2 .( ) 解析 (1)正确三角形的面积公式对任意三角形都成立 (2)正确数学中的东北方向就是北偏东 45 或东偏北 45 的方向 (3)错误俯角是 视线与水平线所构成的角 (4)正确方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，故大小的范围为0,2) ，而方向角大小的范围由定义可知为 ? ?0， 2 . 2若点 A 在点 C 的北偏东 30 ，点 B 在点 C 的南偏东 60 ，且 AC BC，则点 A 在点 B的 ( B ) A北偏东 15 B北偏西 15 C北偏东 10 D北偏西 10 解
4、析 如图所示， ACB 90. 又 AC BC， CBA 45 ，而 30 ， 90 45 30 15. 点 A 在点 B 的北偏西 15. 3如图，设 A， B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m， ACB 45 ， CAB 105 ，则 A， B 两点的距离为 ( A ) A 50 2 m B 50 3 m C 25 2 m D 25 22 m =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由正弦定理得 AB ACsin ACBsin B 50 2212 50 2(m) 4 在相距 2 千米的 A， B 两点处测量目标点 C，若 CAB 75 ，
5、 CBA 60 ，则 A， C两点之间的距离为 _ 6_千米 解析 如图所示，由题意知 C 45 ， 由正弦定理得 ACsin 60 2sin 45 ， AC 222 32 6. 5一船向正北航行，看见正东方向有相距 8 海里的两个灯塔恰好在一条直线上继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东 60 ，另一灯塔在船的南偏东 75 ，则这艘船每小时航行 _8_海里 解析 如图，由题意知在 ABC 中， ACB 75 60 15 ， B 15 ， AC AB 8. 在 Rt AOC 中， OC ACsin 30 4. 这艘船每小时航行 412 8(海里 ) 一 距离问题 求解距离问题的一般步骤 (1
6、)选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化为三角形问题 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)明确要求的距离所在的三角形有哪些已知元素 (3)确 定使用正弦定理或余弦定理解三角形 【例 1】 要测量对岸 A， B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的 C， D 两点，并测得 ACB 75 ， BCD 45 ， ADC 30 ， ADB 45 ，则 A， B 之间的距离为 _ 5_km. 解析 如图，在 ACD 中， ACD 120 ， CAD ADC 30 ， AC CD 3 km. 在 BCD 中， BCD 45 ， BDC 75 ， CBD 60. BC 3sin 75sin 60 6
7、 22 . 在 ABC 中，由余弦定理，得 AB2 ( 3)2 ? ?6 22 2 2 3 6 22 cos 75 3 2 3 3 5， AB5 km，即 A， B 之间的距离为 5 km. 二 高度问题 高度问题一般是把它转化成三角 形的问题，要注意三角形中边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合 【例 2】 要测量电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45 ，在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30 ，并测得水平面上的 BCD 120 ， CD 40 m，则电视塔的高度为 _40_m. 解析 设电视塔 AB 高为 x m，则在 Rt ABC 中，由 AC
8、B 45 ，得 BC x. 在 Rt ADB 中，由 ADB 30 ，得 BD 3x. 在 BDC 中，由余弦定理，得 BD2 BC2 CD2 2BC CDcos 12 0 ，即 ( 3x)2 x2 402 2 x40cos 120 ，解得 x 40， 所以电视塔高为 40 m. 三 角度问题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解决角度问题的注意点 (1)首先应明确方位角或方向角的含义 (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步 (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的 “ 联袂 ” 使用 【例 3】 在一次海上联合作战演习中
9、，红方一艘侦察艇发现在北偏东 45 方向，相距12 海里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时 10 海里的 速度沿南偏东 75 方向前进，红方侦察艇以每小时 14 海里的速度沿北偏东 45 方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值 解析 如图，设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇， 则 AC 14x， BC 10x， ABC 120. 根据余弦定理得 (14x)2 122 (10x)2 240xcos 120 ， 解得 x 2. 故 AC 28， BC 20. 根据正弦定理得 BCsin ACsin 120 ， 解得 sin 20sin 1
10、2028 5 314 . 所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时，角 的正弦值为 5 314 . 1 (2018 河南南阳八校联考 )2017 年国庆节期间，某数学教师进行了一次 “ 说走就走 ” 的登山活动，从山脚 A 处出发，沿一个坡角为 45 的斜坡直行，走了 100 2 m 后，到=【 ;精品教育资源文库 】 = 达山顶 B 处， C 是与 B 在同一铅垂线上的山底，从 B 处测得另一山顶 M 点的仰角为 60 ，与山顶 M 在同一铅垂线上的山底 N 点的俯角为 30 ，两山 BC， MN 的底部与 A 在同一水平面，则山高 MN ( D ) A 200 m B 250 m C 300
11、 m D 400 m 解析 如图由题可知， AB 100 2， A 45 ， M 30 ， MBN 90 ， MNB60 ，所以 BC 100， BN 200， MN 400.故选 D 2如图，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30 ，相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向即沿直线 CB 前往 B 处救援， 则 cos ( B ) A 217 B 2114 C 3 2114 D 2128 解析 如题图所示，在 ABC 中， AB 40 海里， AC 20 海里， BAC 120 ，
12、由余弦定理，得 BC2 AB2 AC2 2AB ACcos 120 2 800，故 BC 20 7 海里 由正弦定理，得 sin ACB ABBCsin BAC 217 ，由 BAC 120 ，知 ACB 为锐角，故 cos ACB 2 77 . 故 cos cos( ACB 30) cos ACBcos 30 sin ACBsin 30 2114 . 3如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB， CD 的高度分别为 20 m， 50 m， BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角 CAD ( B ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 30 B 45 C 60
13、D 75 解析 依题意可得 AD 20 10 m， AC 30 5 m， 又 CD 50 m，所以在 ACD 中， 由余弦定理得 cos CAD AC2 AD2 CD22AC AD ?30 5?2 ?20 10?2 502230 520 10 6 0006 000 222 ， 又 0 CAD180 ，所以 CAD 45 ， 所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45. 4如图，为了测量河对岸 A， B 两点之间的 距离，观察者找到一个点 C，从点 C 可以观察到点 A， B；找到一个点 D，从点 D 可以观察到点 A， C；找到一个点 E，从点 E 可以观察到点 B， C；并测量得到： C
14、D 2， CE 2 3， D 45 ， ACD 105 ， ACB 48.19 ， BCE 75 ， E 60 ，则 A， B 两点之间的距离为 _ 10_? ?cos 48.19 23 . 解析 依题意知，在 ACD 中， A 30 ，由正弦定理得 AC CDsin 45sin 30 2 2，在 BCE 中， CBE 45 ，由正弦定理得 BC CEsin 60sin 45 3 2，在 ABC 中，由余弦定理得AB2 AC2 BC2 2AC BCcos ACB 10， AB 10，即 A， B 两点之间的距离为 10. 易错点 在实际问题中对角的认识不充分 错因分析：空间想象能力较弱，不会迁移空间角的应用 【例 1】 如图，为测量山高 MN，选择 A
