1、第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章 立体几何初步8 8. .6 6 空间直线、平面的垂直空间直线、平面的垂直8.6.3 平面与平面垂直（第1课时）第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步1、直线与平面垂直、直线与直线垂直是怎样定义的？温故知新 在平面几何中，我们在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况. .类似地，我们需要先引进类似地，我们需要先引进二面角
2、的概念二面角的概念，用以刻画两个相交平面，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直的位置关系，进而研究两个平面互相垂直. .方法：用角度刻画用角度刻画第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 从一条直线出发的两个半平面所组成从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角的图形叫做二面角. .这条直线叫做二面角这条直线叫做二面角的棱的棱, ,这两个半平面叫做二面角的面这两个半平面叫做二面角的面. .棱记作棱记作l, ,这个二面角记作这个二面角记作二面角二面角- -l-或或P-P-l- -Q Q. .记法：记法： 棱为棱为ABAB, ,面为面为
3、、的二面角记作的二面角记作二面角二面角-AB-AB-. .也可在也可在、内内( (棱以外的半平面部分棱以外的半平面部分) )分别取点分别取点P P、 Q Q，将，将这个二面角记作这个二面角记作二面角二面角P-AB-QP-AB-Q. .二面角第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 如右图如右图, ,在日常生活中在日常生活中, ,我们常说我们常说“把门把门开大一些开大一些”，是指哪个角大一些，是指哪个角大一些? ?受此启发受此启发, ,你认为应该怎样刻画二面角的大小呢你认为应该怎样刻画二面角的大小呢? ?思考思考：怎样才能找到这样的一个角，它的：怎样才能找到这
4、样的一个角，它的大小唯一，且由二面角的大小决定？大小唯一，且由二面角的大小决定？第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 在二面角在二面角- -l-的棱的棱l上任取一点上任取一点O，以点，以点O为垂足，在半平面为垂足，在半平面和和内分别作垂直于棱内分别作垂直于棱l的射线的射线OA A和和OB B，则射线，则射线OA A和和OB B构成的构成的AAOB B叫做叫做二面角的平面角二面角的平面角. .二面角的平面角OABlOBlOA ,的平面角的平面角为二面角为二面角 lAOB思考思考：在二面角的平面角的定义中：在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任取的，那么点是
5、在棱上任取的，那么A AOB B的大小与点的大小与点O在棱上的位置有关系吗？在棱上的位置有关系吗？第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度角是多少度，就说这个二面角是多少度. .平面角是平面角是直角直角的二的二面角叫做面角叫做直二面角直二面角. .二面角的大小二面角的大小的取值的取值范围是范围是0 0 180180 . .第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 教室相邻的两个墙面与地面可以构
6、成几个二面角教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角? ?分别分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数. . 一般地， 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂直，记作.平面与平面垂直的概念第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？ 如果系有铅锤的细线紧如果系有铅锤的细线紧贴墙面贴墙面, ,工人师傅就认为墙工人师傅就认为墙面垂直于地面面垂直于地面, ,否则他就认否则他就认为墙面不垂直于地面为墙面不垂直于地面
7、. .这种这种方法说明了什么道理方法说明了什么道理? ?第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步 类似结论也可以在长方体中发现类似结论也可以在长方体中发现. .如图如图, ,在长方体在长方体ABCDABCD- -ABCDABCD中中, ,平面平面A ADDDDAA经过平面经过平面ABCDABCD的一条垂线的一条垂线AAAA，此时，平面，此时，平面A ADDDDAA垂直垂直于平面于平面ABCD.ABCD. 如果一个平面经过另一个平面的一条如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直垂线，那么这两个平面互相垂直.平面与平面垂直的判定定理平面与平面
8、垂直的判定定理: : aa线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步定理：定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线， 那么这两个平面互相垂直那么这两个平面互相垂直. 证明：证明：在平面在平面内过内过B点作直线点作直线BECD，则则ABE就是二面角就是二面角- -CD- -的平面角，的平面角，设设=CD，AB在在上上，则则BCD.AB，CD ，ABCD.AB，BE ， ABBE. 二面角二面角- -CD- -是直二面角，是直二面角，.第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体
9、几何初步立体几何初步例1 已知：如右图,正方体ABCD-ABCD. 求证：平面ABD平面ACCA.证明：证明：ABCD-ABCDABCD-ABCD是正方体，是正方体，AAAA平面平面ABCDABCD. .又又BDBD 平面平面ABCDABCDBDBDAAAA. . 又又BDACBDAC，ACAA=AACAA=A，ACAC、AAAA 平面平面ACCAACCABDBD平面平面ACCAACCA，又又BDBD 平面平面ABDABD平面平面ABDABD平面平面ACCA.ACCA.第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步例2 已知：如右图,AB是O的直径,PA垂直于O所
10、在 的平面,C是圆周上不同于A、B的任意一点. 求证：平面PAC平面PBC.PABOC因为点因为点C是圆周上不同于是圆周上不同于A，B的任意一的任意一点，点，AB是是O的直径的直径所以，所以，BCA是直角，即是直角，即BC AC又因为又因为PA与与AC是是PAC所在平面内的两条相交直线，所在平面内的两条相交直线，所以，所以，BC 平面平面PAC。又因为又因为BC在平面在平面PBC内，内，所以，平面所以，平面PAC 平面平面PBC。证明证明：设：设O所在的平面为所在的平面为 ，由已知条件，由已知条件，PA，BC在在内，所以内，所以PA BC第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体
11、几何初步立体几何初步练习练习1：如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，的底面为矩形，PA底面底面ABCD，PA=AD，M为为AB的中点，求证：平面的中点，求证：平面PMC平面平面PCD。PABCDMEF第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步练习练习2：如图，在四面体如图，在四面体ABCD中，中，ACBD，BAD=60， BAC=CAD=45，求证：平面求证：平面ABC平面平面ACD。ABCDE第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步2.如果平面如果平面内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面内的两条直线，
12、则内的两条直线，则.（ ）1.如果平面如果平面内有一条直线垂直于平面内有一条直线垂直于平面内的一条直线，则内的一条直线，则.（ ）3. 如果平面如果平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线垂直于平面内内的两条相交直线的两条相交直线, 则则.（ ）4.若若m，m ，则，则.( )课堂检测第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步1.过平面过平面的一条垂线可作的一条垂线可作_个平面个平面 与平面与平面垂直垂直.2.过一点可作过一点可作_个平面与已知平面垂直个平面与已知平面垂直.3.过平面过平面的一条斜线，可作的一条斜线，可作_个平个平 面与平面面与平面垂直垂直.4.过平面过平面的一条平行线可作的一条平行线可作_个平个平 面与面与垂直垂直.一一无数无数无数无数一一第八章第八章 立体几何初步立体几何初步第八章第八章 立体几何初步立体几何初步作业：
