1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考达标检测（五十七） 坐标系 1在极坐标系中，直线 (sin cos ) a 与曲线 2cos 4sin 相交于A， B 两点，若 |AB| 2 3，求实数 a 的值 解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为 x y a 0， 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为 (x 1)2 (y 2)2 5， 所以圆心 C 的坐标为 (1， 2)，半径 r 5， 所以圆心 C 到直线的距离为 |1 2 a|2 r2?|AB|22 2， 解得 a 5 或 a 1. 故实数 a 的值为 5 或 1. 2在极坐标系中，求直线 cos? ? 6 1 与圆 4sin 的交点的极坐标
2、解： cos? ? 6 1 化为直角坐标方程为 3x y 2， 即 y 3x 2. 4sin 可化为 x2 y2 4y， 把 y 3x 2 代入 x2 y2 4y， 得 4x2 8 3x 12 0， 即 x2 2 3x 3 0， 所以 x 3， y 1. 所以直线与圆的交点坐标为 ( 3， 1)， 化为极坐标为 ? ?2， 6 . 3 (2018 长春模拟 )已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 2， 2 2 2 cos? ? 4 2. (1)把圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程 解： (1)由 2 知 2 4，所以 x2 y2 4
3、； 因为 2 2 2 cos? ? 4 2， 所以 2 2 2 ? ?cos cos 4 sin sin 4 2， 所以 x2 y2 2x 2y 2 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为 x y 1. 化为极坐标方程为 cos sin 1， 即 sin? ? 4 22 . 4已知曲线 C 的参数方程为 ? x 2 5cos ，y 1 5sin ( 为参数 )，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系 (1)求曲线 C 的极坐标方程； (2)设 l1： 6 ， l2： 3 ，若 l1， l2与曲线 C 相交于异于原点的两
4、点 A， B ，求 AOB 的面积 解： (1) 曲线 C 的参数方程为 ? x 2 5cos ，y 1 5sin ( 为参数 )， 曲线 C 的普通方程为 (x 2)2 (y 1)2 5， 将? x cos ，y sin ， 代入并化简得 4cos 2sin ， 即曲线 C 的极坐标方程为 4cos 2sin . (2)在极坐标系中， C： 4cos 2sin ， 由? 6 ， 4cos 2sin ，得 |OA| 2 3 1， 同理： |OB| 2 3. 又 AOB 6 ， S AOB 12|OA| OB|sin AOB 8 5 34 ， 即 AOB 的面积为 8 5 34 . 5在坐标系中
5、，曲线 C： 2acos (a0)，直线 l： cos 3 32， C 与 l 有且只有一个公共点 (1)求 a 的值； (2)若原点 O 为极点， A， B 为曲线 C 上两点，且 AOB 3 ，求 |OA| |OB|的最大值 解： (1)由已知在直角坐标系中， C： x2 y2 2ax 0?(x a)2 y2 a2(a0)； l： x 3y 3 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为 C 与 l 只有一个公共点，所以 l 与 C 相切， 即 |a 3|2 a，则 a 1. (2)设 A( 1， )，则 B? ? 2， 3 ， |OA| |OB| 1 2 2cos 2cos? ? 3
6、3cos 3sin 2 3cos? ? 6 . 所以，当 6 时， (|OA| |OB|)max 2 3. 6在平面直角坐标系 xOy 中，直线 C1： 3x y 4 0，曲线 C2： x2 (y 1)2 1，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求 C1， C2的极坐标方程； (2)若曲线 C3的极坐标方程为 ? ? 0， 00， 0 2 ， 设 A( 1， )， B( 2， )， 1 43cos sin ， 2 2sin ， 则 |OB|OA| 21 142s in ( 3cos sin ) 142sin2 6 1， 当 3 时， ? ?|OB| |OA| max 3
7、4. 7平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 x23 y2 1，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4sin? ? 3 ，射线 OM 的极坐标方程为 0( 0) (1)写出曲线 C1的极坐标方程和曲线 C2的直角坐标方程； (2)若射线 OM 平分曲线 C2，且与曲线 C1交于点 A，曲线 C1上的点满足 AOB 2 ，求 |AB|. 解： (1)曲线 C1的极坐标方程为 2 31 2sin2 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 曲线 C2的直角坐标方程为 (x 3)2 (y 1)2 4. (2)曲线 C2是圆心为 ( 3， 1)，半
8、径为 2 的圆， 射线 OM 的极坐标方程为 6 ( 0) ， 代入 2 31 2sin2 ，可得 2A 2. 又 AOB 2 ， 2B 65， |AB| |OA|2 |OB|2 2A 2B 4 55 . 8已知在一个极坐标系中点 C 的极坐标为 ? ?2， 3 . (1)求出以 C 为圆心，半径长为 2 的圆的极坐标方程 (写出解题过程 )并画出图形； (2)在直角坐标系中，以圆 C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，点 P 是圆 C 上任意一点， Q(5， 3)， M 是线段 PQ 的中点，当点 P 在圆 C 上运动时，求点 M 的轨迹的普通方程 解： (1)作出图形如图所示， 设圆 C 上任意一点 A( ， )， 则 AOC 3 或 3 . 由余弦定理得， 4 2 4 cos 3 4， 圆 C 的极坐标方程为 4cos? ? 3 . (2)在直角坐标系中，点 C 的坐标为 (1， 3)， 可设圆 C 上任意一点 P(1 2cos ， 3 2sin )， 设 M(x， y)，由 Q(5， 3)， M 是线段 PQ 的中点， 得点 M 的轨迹的参数方程为? x 6 2cos 2 ，y 2sin 2( 为参数 )， 即? x 3 cos ，y sin ( 为参数 )， 点 M 的轨迹的普通方程为 (x 3)2 y2 1.
