1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层作业 三十一 等差数列及其前 n 项和 一、选择题 (每小题 5分 ,共 25分 ) 1.若数列 an的通项公式是 an=2(n+1)+3,则此数列 ( ) A.是公差为 2的等差数列 B.是公差为 3的等差数列 C.是公差为 5的等差数列 D.不是等差数列 【解析】 选 A.由题意可得 ,an=2n+5=7+2(n-1),即此数列是公差为 2的等差数列 . 2.设数列 an是等差数列 ,其前 n项和为 Sn,若 a6=2且 S5=30,则 S8等于 ( ) A.31 B.32 C.33 D.34 【解析】 选 B.由已知可得 解得 所以 S8=8a1
2、+ d=32. 【 变式备选】 若等差数列 an的前 n项和为 Sn且 S4=S18,则 S22等于 ( ) A.0 B.12 C.-1 D.-12 【解析】 选 A.设等差数列的公差为 d,由 S4=S18得 4a1+ d=18a1+ d,a1=- d, 所以 S22=22a1+ d=22 +22 d=0. 3.(2018 锦州模拟 )已知 an为等差数列 ,若 a1+a5+a9=4 ,则 cos a5的值为 ( ) A.- B.- C. D. 【解析】 选 A.因为 an为等差数列 ,a1+a5+a9=4 ,所以 3a5=4 ,解得 a5= .所以 cos a5=cos =- . =【 ;
3、精品教育资源文库 】 = 4.(2018武汉模拟 )九章算术是我国古代内容极为丰富的一部数学专著 ,书中有如下问题 :今有女子善织 ,日增等尺 ,七日织二十八尺 ,第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺 ,则第九日所织尺数为 ( ) A.8 B.9 C.10 D.11 【解析】 选 B.该数列为等差数列 ,且 S7=28,a2+a5+a8=15,即 7a1+21d=28,3a1+12d=15,解得a1=1,d=1,a9=a1+8d=9. 5.(2016全国卷 ) 已知等差数列 an前 9 项的和为 27,a10=8,则 a100=( ) A.100 B.99 C.98 D.97 【解析】 选
4、C.由题意可知 , 解得 a1=-1,d=1, 所以 a100=-1+99 1=98. 【 一题多解】 选 C.由等差数列性质可知 : S9= = =9a5=27,故 a5=3, 而 a10=8,因此公差 d= =1, 所以 a100=a10+90d=98. 二、填空题 (每小题 5分 ,共 15分 ) 6.设等差数列 an,bn的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若对任意正整数 n都有 = ,则+ 的值为 _. 【解析】 因为 an,bn为等差数列 , 所以 + = + = = , =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为 = = = = . 所以 = . 答案 : 7.(2018银川模拟 )在
5、等差数列 an中 ,已知 a3=7,a6=16,依次将等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵 ,则此数阵中 ,第 10 行从左到右的第 5个数是 _. 【解析】 由题知公差 d= = =3,所以 an=7+(n-3)d=3n-2,第 10行从左到右的第 5个数是原等差数列中第 1+2+? +9+5=50项 ,即为 a50=350 -2=148. 答案 :148 8.(2018郑州模拟 )在等差数列 an中 ,a1=-2 018,其前 n项的和为 Sn,若 - =2,则 S2 018=_. 【解析】 因为 =a1+ (n-1)d,所以数列 也成等差数列 ,由 - =2 得公差为 1,因此 = +
6、(2 018-1) 1=-1, 则 S2 018=-2 018. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 :-2 018 三、解答题 (每小题 10分 ,共 20分 ) 9.已知等差数列的前三项依次为 a,4,3a,前 n项和为 Sn,且 Sk=110. (1)求 a及 k的值 . (2)已知数列 bn满足 bn= ,证明数列 bn是等差数列 ,并求其前 n项和 Tn. 【解析】 (1)设该等差数列为 an,则 a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有 a+3a=8,得 a1=a=2,公差 d=4-2=2,所以Sk=ka1+ d=2k+ 2=k2+k. 由 Sk=110,得 k2+k-110=
7、0, 解得 k=10或 k=-11(舍去 ),故 a=2,k=10. (2)由 (1)得 Sn= =n(n+1), 则 bn= =n+1, 故 bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1, 即数列 bn是首 项为 2,公差为 1的等差数列 , 所以 Tn= = . 10.(2018太原模拟 ) 设等差数列 an的前 n项和为 Sn,若 a10和m0,则由余弦函数的图象知 x3, , ,x4构成等差数列 , 可得公差 d= - = ,则 x3= - =- 0,显然不可能 ; 若 m0,则由余弦函数的图象知 ,x3,x4, 构成等差数列 ,可得 3d= - ,解得 d= , 所以 x3= + =
8、,m=cos x3=cos =- . 答案 :- 【 变式备选】 已知等差数列 an中 ,an 0,若 n 2且 an-1+an+1- =0,S2n-1=38,则 n等于 _. 【解析】 因为 2an=an-1+an+1, 又 an-1+an+1- =0, 所以 2an- =0,即 an(2-an)=0. 因为 an 0,所以 an=2. 所以 S2n-1=2(2n-1)=38,解得 n=10. 答案 :10 =【 ;精品教育资源文库 】 = 4.(12分 )已知数列 an满足 a1=6,an+1=4- (n为正整数 ). (1)求证 :数列 为等差数列 . (2)若 bn= ,求数列 bn的
9、前 n项和 Sn. 【解析】 (1)因为- = - = - = -= =2, 所以数列 为等差数列 . (2)a1=6, =2,则 =2+2(n-1)=2n,则 an= , bn= = = = - , 则 Sn=b1+b2+? +bn= + +? + = . 5.(13分 )在公差为 d的等差数列 an中 ,已知 a1=10,且 5a3 a1=(2a2+2)2. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求 d,an. (2)若 d0,求 |a1|+|a2|+|a3|+? +|an|. 【解析】 (1)由题意得 5a3 a1=(2a2+2)2,即 d2-3d-4=0, 故 d=-1或 d=4, 所以 an=-n+11,n N*或 an=4n+6,n N*. (2)设数列 an的前 n项和为 Sn,因为 d0, 由 (1)得 d=-1,an=-n+11, 则当 n 11时 ,|a1|+|a2|+|a3|+? +|an|=Sn =- n2+ n, 当 n 12时 ,|a1|+|a2|+|a3|+? +|an|=-Sn+2S11= n2- n+110. 综上所述 , |a1|+|a2|+|a3|+? +|an| =
