1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层作业 四十八 利用向量求空间角和距离 一、选择题 (每小题 5分 ,共 25分 ) 1.若直线 l的方向向量与平面 的一个法向量的夹角等于 120, 则直线 l与平面 所成的角等于( ) A.120 B.60 C.30 D.60 或 30 【解析】 选 C.设直线 l与平面 所成的角为 , 直线 l与平面 的法向量的夹角为 . 则 sin =|cos |=|cos 120 |= . 又因为 0 90 ,所以 =30 . 2.在棱长为 1的正方体 ABCD -A1B1C1D1中 ,E,F分别为棱 AA1,BB1的中点 ,G 为棱 A1B1上的一点 ,且
2、A1G=(0 1),则点 G到平面 D1EF 的距离为 ( ) A. B. C. D. 【解析】 选 D.如图所示 ,以射线 DA,DC,DD1分别为 x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系 , 则 G(1, ,1),E , D1(0,0,1),F , = , =(0,1,0), = .过点 G向平面 D1EF 作垂线 ,垂足为 H,由于点 H 在平面 D1EF 内 ,故存在实数 x,y,使 = +x +y = , 由于 GH EF,GH ED1, 所以 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解得 故 = , 所以 | |= , 即点 G到平面 D1EF的距离是 . 3.(2018赣州模拟 )已知
3、两平面的法向量分别为 m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为( ) A.45 B.135 C.45 或 135 D.90 【解析】 选 C.cos= = = ,即 =45 ,其补角为 135 . 所以两平面所成的二面角为 45或 135 . 【 变式备选】 (2018合肥模拟 )在正方体 ABCD -A1B1C1D1中 ,点 E为 BB1的中点 ,则平面 A1ED 与平面 ABCD所成的锐 二面角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 【解析】 选 B.以 A为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A -xyz,设棱长为 1. 则 A1(0,0,1), E ,D(0,1
4、,0), 所以 =(0,1,-1), = . 设平面 A1ED 的一个法向量为 n1=(1,y,z),所以有 =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 所以 所以 n1=(1,2,2). 因为平面 ABCD的一个法向量为 n2=(0,0,1), 所以 cos= = , 即所成的锐二面角的余弦值为 . 4.如图 ,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,M,N分别是棱 CD,CC1的中点 ,则异面直线 A1M与 DN所成的角的大小是( ) A.30 B.45 C.60 D.90 【解析】 选 D.以 A为原点 ,以 AB所在直线为 x轴 ,AD所在直线为 y轴 ,AA1所在直线为 z轴 ,建立空间
5、直角坐标系 ,设棱长为 1,则 A1(0,0,1),M , D(0,1,0),N , = , = . cos= =0, 所以 A1M与 DN所成的角的大小是 90 . 【 一题多解】 连接 D1M,A1D1平面 CC1D1D,则 A1D1 DN,DN D1M,A1D1 D1M=D1,所以 DN平面 A1D1M,A1M?平面A1D1M,所以 DN A1M. 【误区警示】 用直线的方向向量的夹角求异面直线的夹角时 ,注意区别 :当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时 ,就是此异面直线所成的角 ;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时 ,其补角才是异面直线所成的角 . 【 变式备选】 将正方形 ABC
6、D沿对角线 AC折起 ,当以 A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时 ,异面直线AD 与 BC 所成的角为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A. B. C. D. 【解析】 选 C.不妨以 ABC 为底面 ,则由 题意 ,当以 A,B,C,D 为顶点的三棱锥体积最大 ,即点 D到底面 ABC的距离最大时 ,平面 ADC平面 ABC,取 AC的中点 O,连接 BO,DO,则易知 DO,BO,CO两两互相垂直 ,所以分别以 , , 所在直线为 z,x,y 轴建立空间直角坐标系 ,令 BO=DO=CO=1,则有 O(0,0,0),A(0,-1,0), D(0,0,1),B(1,0,0)
7、,C(0,1,0), =(0,1,1), =(-1,1,0),所以 cos = = = ,所以异面直线 AD 与 BC 所成的角为 . 5.如图 ,在空间直角坐标系中 ,正方体 棱长为 2,点 E是棱 AB 的中点 ,点 F是正方体的面 AA1D1D上一点 ,且 CF B1E, 则点 F的轨迹是 ( ) A.线段 B.圆的一部分 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分 【解析】 选 A.设 F(0,y,z)由已知可得 E(1,0,0),B1(2,0,2),C(2,2,0),所以=(-1,0,-2), =(-2,y-2,z).因为 CF B1E,所以 =0,即 2-2z=0,即 z=1.故 F的轨
8、迹是直线的一部分 ,线段 . 二、填空题 (每小题 5分 ,共 15分 ) 6.设动点 P在棱长为 1的正方体 ABCD -A1B1C1D1的对角线 BD1上 ,记 = ,当 APC为钝角时 , 的取值范围是 _. 【 解析】 以 , , 为单位正交基底 ,建立如图所示的空间直角坐标系 D -xyz, 则 A(1,0,0),B(1,1,0), =【 ;精品教育资源文库 】 = C(0,1,0),D1(0,0,1),则 =(1,1,-1),得 = =( , ,- ),所以 = + =(1- ,- , -1), = + =(- ,1- , -1). 显然 APC不是平角 ,所以 APC为钝角等价于
9、 cos APC=cos= = , 记 与平面 BCC1B1所成角为 ,则 sin = ,cos = , 所以 tan = ,因为 s=t+ 1,所以 t ,故 t 0, ,因为 , 所以 tan 2,2 . 答案 :2,2 三、解答题 (每小题 10分 ,共 20分 ) 9.(2018郑州模拟 )在三棱柱 ABC-A1B1C1中 ,侧面 ABB1A1为矩形 ,AB=1,AA1= ,D为 AA1的中点 ,BD与 AB1交于点 O,CO侧面 ABB1A1. (1)证明 :BC AB1. (2)若 OC=OA,求直线 C1D与平面 ABC所成角 的正弦值 . 【解析】 (1)由题意 tan ABD
10、= = , tan AB1B= = , =【 ;精品教育资源文库 】 = 注意到 0= = , 在 PAC中 ,由余弦定理 ,得 cos= = .因为 = ( - )= - ,又 = | | | |cos=2 = , =| | | |cos=2 = ,所以 = - =-1. 事实上 =| | |cos=4cos, 于是 cos=- ,从而 ,异面直线 PA 与 BC所成角的余弦值为 . 2.(5分 )在四面体 P-ABC中 ,PA,PB,PC 两两垂直 ,设 PA=PB=PC=a,则点 P到平面 ABC的距离为 ( ) A. a B. a C. a D. a 【解析】 选 B.根据题意 ,可建立如图所示的空间直角坐标系 P-xyz,则P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a). 过点 P作 PH平面 ABC,交平面 ABC于点 H,则 PH 的长即为点 P到平面 ABC的距离 . 因为 PA=PB=PC, 所以 H为 ABC的外心 . 又因为 ABC为正三角形 , 所以 H为 ABC的重心 , 可得 H点的坐标为 . 所以 PH= = a.
