1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 49 讲 圆锥曲线的综合问题 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的解题方法 2理解数形结合的思想 3了解圆锥曲线的简单应用 2017 北京卷， 19 2016 全国卷 ，20 2016 全国卷 ，21 2016 全国卷 ，20 1.求直线或曲线所过的定点 2求与圆锥曲线有关的定值问题 3求与圆锥曲线相关的面积、距离等的最值 4探求与圆锥曲线有关的存在性问题 分值： 12 14 分 1直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角 度看，可分为三类： _无公共点 _、 _仅有一个公共点 _及有两个 _相异的公共点 _. (2
2、)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断设直线 l 的方程为 Ax By C 0，圆锥曲线方程为 f(x， y) 0. 由? Ax By C 0，f?x， y? 0， 消元 (如消去 y)，得 ax2 bx c 0. 若 _a 0_，当圆锥曲线是双曲线时，直线 l 与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线 l 与 抛物线的对称轴平行 (或重合 ) 若 a0 ，设 b2 4ac. 当 _ 0_时，直线和圆锥曲线相交于不同的两点； 当 _ 0_时，直线和圆锥曲线相切于一点； 当 _ 0_时，直线和圆锥曲线没有公共点 2直线与圆锥曲线相交时
3、的弦长问题 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)，则所得弦长： | |P1P2 1 k2| |x1 x2 ?1 k2?x1 x2?2 4x1x2 ? ?1 1k2 ?y1 y2?2 4y1y2 =【 ;精品教育资源文库 】 = _ 1 1k2| |y1 y2 _. (2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接求解 (利用坐标轴上两点间距离公式 ) 3圆锥曲线的中点弦问题 遇到弦中点问题常用 “ 根与系数的关系 ” 或 “ 点差法 ” 求解 在椭圆 x2a2y2b2 1 中，以 P(x0， y0)为中点的弦所在直线的斜率 k _ b2x0a2y0
4、_；在双曲线 x2a2y2b2 1 中，以 P(x0， y0)为中点的弦所在直线的斜率 k _ b2x0a2y0 _；在抛物线 y2 2px(p0)中，以 P(x0， y0)为中点的弦所在直线的斜率 _ k py0_.在使用根与系数的关系时，要注意使用条件是 0. 4 (1)直线 y kx m 表示过点 (0， m)且不包括垂直于 x 轴的直线，故设直线 y kx m时，必须先讨论过点 (0， m)且垂直于 x 轴的直线是否符合题设要求 (2)直线 x my n 表示过点 (n,0)且不包括垂直于 y 轴的直线，故设直线 x my n 时，必须先讨论过点 (n,0)且垂直于 y 轴的直线是否符
5、合题设要求 注：过 y 轴上一点 (0， m)的直线通常设为 y kx m；过 x 轴上一点 (n,0)的直线通常设为 x my n. 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)直线 l 与椭圆 C 相切的充要条件是直线 l 与椭圆 C 只有一个 公共点 ( ) (2)直线 l 与双曲线 C 相切的充要条件是直线 l 与双曲线 C 只有一个公共点 ( ) (3)直线 l 与抛物线 C 相切的充要条件是直线 l 与抛物线 C 只有一个公共点 ( ) (4)如果直线 x ty a与圆锥曲线相交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，则弦长 | |AB 1 t2| |y1 y2
6、.( ) (5)若抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的两点，则需 满足直线 l 与抛物线 C 的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式 0.( ) 解析 (1)正确直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点，则直线 l 与椭圆 C 相切，反之亦成立 (2)错误因为直线 l 与双曲线 C 的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切 (3)错误因为直线 l 与抛物线 C 的对称轴平行时，也只有一个公共点，是相交，但不相切 (4)正确 .| |AB ?x1 x2?2 ?y1 y2?2，又 x1 ty1 a， x2 ty2 a，所以 | |AB ?ty1 a? ?ty2 a?2 ?y1 y2?
7、2 t2?y1 y2?2 ?y1 y2?2 1 t2| |y1 y2 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (5)错误应是以 l 为垂直平分线的段线 AB 所在的直线 l 与抛物线方程联立，消元后所得一元二次方程的判别式 0. 2过抛物线 y2 2x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A， B 两点，它们的横坐标 之和等于 2，则这样的直线 ( B ) A有且只有一条 B有且只有两条 C有且只有三条 D有且只有四条 解析 设该抛物线的焦点为 F， A(xA， yA)， B(xB， yB)，则 | |AB | |AF | |FB xA p2xB p2 xA xB 1 2 1 3 2p 2.所 以符合
8、条件的直线有且只有两条故选 B. 3直线 l： y x 3 与曲线 y29x| x|4 1 交点的个数为 ( D ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析 当 x0 时，曲线为 y29x24 1；当 x 0 时，曲线为y29x24 1，如图所示 直线 l： y x 3 过 (0,3)，又由于双曲线 y29x24 1 的渐近线 y32x 的斜率32 1，故直线 l 与曲线 y29x24 1(x0) 有两个交点，显然 l 与椭圆y29x24 1(x0) 有两个交点，又 (0,3)是椭圆与双曲线的公共点，所以共 3 个交点 4已知双曲线 x2 y23 1 的左顶点为 A1，右焦点为 F2， P 为双
9、曲线右支上一点， PA1 PF2的最小值为 ( A ) A 2 B 8116 C 1 D 0 解析 设点 P(x， y)，其中 x1. 依题意得 A1( 1,0)， F2(2,0)，由双曲线方程得 y2 3(x2 1) PA1 PF2 ( 1 x， y)(2 x， y) (x 1)(x 2) y2 x2 y2 x 2 x2 3(x2 1) x 2 4x2 x 5 4? ?x 18 2 8116，其中 x1. 因此，当 x 1 时， PA1 PF2 取得最小值=【 ;精品教育资源文库 】 = 2. 5已知 F1， F2是椭圆 16x2 25y2 1 600 的两个焦点， P 是椭圆上一点，且 P
10、F1 PF2，则 F1PF2的面积为 _64_. 解析 由题意可得 | |PF1 | |PF2 2a 20， | |PF1 2 | |PF2 2 | |F1F2 2 4c2 144(| |PF1 | |PF2 )2 2| |PF1 | |PF2 202 2| |PF1 | |PF2 ，解得 | |PF1 | |PF2 128， 所以 F1PF2的面积为 12| |PF1 | |PF2 12128 64. 一 直线与圆锥曲线的位置关系 解直线与圆锥曲线相交问题的方法 (1)直线与圆锥曲线相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意应用韦达定理及 “ 设而不求 ” 的技巧来解决直线与圆锥曲线的综合问题
11、 (2)运用 “ 点差法 ” 解决弦的中点问题，主要是求出过中点弦的直线的斜率，用 “ 点差法 ” 的计算量较少，但是此法在解决有关存在性的问题时，要结合图形和判别式 加以检验 【例 1】 已知 P(1,1)为椭圆 x24y22 1 内一定点，经过 P 引一条弦，使此弦被点 P 平分，则此弦所在的直线方程为 _x 2y 3 0_. 解析 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为 k，弦的端点坐标为 (x1， y1)， (x2，y2)，则 x214y212 1， x224y222 1， 得 ?x1 x2?x1 x2?4 ?y1 y2?y1 y2?2 0. x1 x2 2， y1 y2 2， x1
12、 x22 y1 y2 0. k y1 y2x1 x2 12. 此弦所在的直线方程为 y 1 12(x 1)，经检验知此直线与椭圆相交，即所求为 x 2y 3 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 【例 2】 已知椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的离心率为32 ，右焦点到直线 x y 6 0 的距离为 2 3. (1)求椭圆的方程； (2)过点 M(0， 1)作直线 l 交椭圆于 A， B 两点，交 x 轴于点 N，且满足 NA 75NB ，求直线 l 的方程 解析 (1)设椭圆的右焦点的坐标为 (c,0)(c0)， 则 | |c 62 2 3， c 6 2 6， c 6或 c 3 6
13、(舍去 ) 又离心率 ca 32 ， 6a 32 ，故 a 2 2， b a2 c2 2， 故椭圆的方程为 x28y22 1. (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， N(x0,0)，因为 NA 75NB ， 所以 (x1 x0， y1) 75(x2 x0， y2)， y1 75y2. 易知当直线 l 的斜率不存在或斜率为 0 时， 不成立，于是设直线 l 的方程为 y kx1(k0) ，联立方程? y kx 1，x2 4y2 8， 消去 x 得 (4k2 1)y2 2y 1 8k2 0， 因为 0，所以直线与椭圆相交，于是 y1 y2 24k2 1， y1y2 1 8k24k2
14、 1， 由 ， 得 y2 54k2 1， y1 74k2 1， 代入 整理得 8k4 k2 9 0， k2 1， k 1 ， 所以直线 l 的方程是 y x 1 或 y x 1. 二 圆锥曲线的最值问题 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法；一是几何法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个 (些 )参数的函数 (解析式 )，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解 =【 ;精品教育资源文库 】 = 【例 3】 已 知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)短轴的两个顶点与右焦点的连线
15、构成等边三角形，椭圆 C 上任意一点到椭圆左右两个焦点的距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程； (2)椭圆 C 与 x 轴负半轴交于点 A，直线过定点 D( 1,0)交椭圆于 M， N 两点，求 AMN面积的最大值 解析 (1)由题意可知 a 2b,2a 4， 所以 a 2， b 1，所以椭圆 C 的方程为 x24 y2 1. (2)点 A 坐标为 ( 2,0)，直线 MN 过定点 D( 1,0)， 令直线 MN 的方程 为 x my 1，联立? x my 1，x24 y2 1， 消去 x 得 (m2 4)y2 2my 3 0. y1 y2 2mm2 4， y1y2 3m2 4， S AMN 12| |AD | |y1 y2 12 ?y1 y2?2 4y1y2 12 4m2?m2 4?212m2 4
