1、=【; 精品教育资源文库 】=第 31 讲 不等关系与不等式考纲要求 考情分析 命题趋势2016北京卷，52016浙江卷，82016江苏卷，51.了解现实世界和日常生活中的不等关系2了解不等式(组)的实际背景3掌握不等式的性质及应用.分值：5 分利用作差、作商法比较大小，利用不等式的性质判断关于不等式的命题的真假.1两个实数比较大小的方法(1)作差法Error!(2)作商法Error!2不等式的基本性质性质 性质内容 特别提醒对称性 a b?_b a_ ?传递性 a b， b c?_a c_ ?可加性 a b?_a c b c_ ?Error!?_ac bc_可乘性Error!?_ac bc_
2、注意 c 的符号同向可加性 Error!?_a c b d_ ?同向同正可乘性 Error!?_ac bd0_?可乘方性 a b0? _an bn_(nN， n1)可开方性 a b0?_ _(nN， n2)na nba， b 同为正数3不等式的一些常用性质(1)倒数的性质 a b， ab0? _ ；1a 1b=【; 精品教育资源文库 】= a0 b? _ ；1a 1b a b0， dc0? _ ；ac bd0 a x b 或 a x b0? _ _ .1b 1x 1a(2)有关分数的性质若 a b0， m0，则： ， (b m0)；ba b ma m ba b ma m ， (b m0)ab
3、a mb m ab a mb m1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)两个实数 a， b 之间，有且只有 a b， a b， a b 三种关系中的一种( )(2)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变( )(3)一个非零实数越大，则其倒数就越小( )(4)同向不等式具有可加和可乘性( )(5)两个数的比值大于 1，则分子不一定大于分母( )解析 (1)正确两个实数 a， b 之间的大小关系只有三种(2)错误同乘以一个负数或 0 时不等号改变(3)错误如24.(5)正确当这个比值中的分母小于零时，分子小于分母，当这个比值中的分母大于零时，分子大于分母2下列四个结论，正确的是(
4、D ) a b， c d?a c b d； a b0， c d0? ac bd； a b0? ；3a 3b a b0? .1a2 1b2A B C D解析 利用不等式的同向可加性可知正确；根据不等式的性质可知 ac bd，故不=【; 精品教育资源文库 】=正确；因为函数 y x 是单调递增的，所以正确；对由 a b0 可知 a2 b20，所以13 ，所以不正确故选 D1a2 1b23若 a b0， c d0，则一定有( D )A B ac bd ac bdC D ad bc ad bc解析 因为 c d0，所以 c d0，即得 0，又 a b0，得1 d 1 c ，从而有 .a d b c a
5、d bc4设 a， b， cR，且 a b，则( D )A ac bc B 1a 1bC a2 b2 D a3 b3解析 y x3在(，)上为增函数，所以 a3 b3.5下列各组代数式所有正确的判断是_. x25 x62 x25 x9；( x3) 2( x2)( x4)；当 x1 时， x3 x2 x1； x2 y212( x y1)解析 2 x25 x9 x25 x6 x230，所以 x25 x62 x25 x9，故正确( x3) 2( x2)( x4)1，所以( x3) 2( x2)( x4)，故错误当 x1 时， x3( x2 x1)( x1)( x21)0，所以当 x1 时， x3 x
6、2 x1，故正确 x2 y212( x y1)( x1) 2( y1) 210，所以 x2 y212( x y1)，故正确一 比较两个数(式)的大小=【; 精品教育资源文库 】=比较大小的常用方法(1)作差法：其基本步骤为作差、变形、判断符号、得出结论用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法(2)作商法：即判断商与 1 的关系，得出结论要特别注意当商与 1 的大小确定后必须对商式分子分母的正负进行判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤(3)单调性法：利用有关函数的单调性比较大小(4)特殊值验证法：对于一些题目，有的给出取值范围，可采用特
7、殊值验证法比较大小【例 1】 (1)已知 a1， a2(0,1)，记 M a1a2， N a1 a21，则 M 与 N 的大小关系是( B )A M N B M NC M N D不确定(2)对于 0 a1，给出下列四个不等式：log a(1 a)log a ；(11a)log a(1 a)log a ；(11a) a1 a a1 ；1a a1 a a1 .1a其中成立的是( D )A与 B与C与 D与(3)若 a ， b ，则 a 与 b 的大小关系为_ a b_.ln 33 ln 22解析 (1) M N a1a2( a1 a21) a1a2 a1 a21 a1(a21)( a21)( a1
8、1)( a21)，又 a1(0,1)， a2(0,1)， a110， a210.( a11)( a21)0，即 M N0. M N.(2)当 0 a1 时，(1 a) 0，(11a) ?a 1?a 1?a则 1 a1 ，因此成立1a(3) a 0， b 0，ln 33 ln 22=【; 精品教育资源文库 】= 1， a b.ab ln 33 2ln 2 2ln 33ln 2 ln 9ln 8二 不等式的性质及应用(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明常用的推理判断需要利用不等式的性质(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相
9、近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等【例 2】 (1)已知 a， b， c， d 为实数，则“ a b 且 cd”是“ ac bd bc ad”的( A )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)若 0，则下列不等式： a b ab； ； a b； ab b2中，正确1a 1b |a| |b|的不等式有( C )A BC D解析 (1)因为 c d，所以 c d0.又 a b，所以两边同时乘以( c d)，得 a(c d) b(c d)，即 ac bdbc ad.若 ac bd bc ad，则 a(c
10、 d) b(c d)，所以可能 ab且 cd，也可能 a b 且 c d，所以“ a b 且 cd”是“ ac bdbc ad”的充分不必要条件(2)因为 0，所以 b a0， a b0， ab0，所以 a b ab， ，在 b a1a 1b |a| |b|两边同时乘以 b，因为 b0，所以 ab b2.因此正确的是.三 应用不等式的性质求范围应用不等式性质求范围问题的注意点应用不等式的性质求某些代数式的取值范围应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的
11、运算求解范围此外，这类问题还可以用线性规划的知识求解【例 3】 三个正数 a， b， c 满足 a b c2 a， b a c2 b，则 的取值范围是_ba=【; 精品教育资源文库 】=_.23， 32解析 两个不等式同时除以 a，得Error!将(1)得Error!两式相加，得 1 12 ，2ba ba ba解得 .23 ba 321若 a， bR 且 a b，则下列不等式恒成立的是( C )A a2 b2 B 1abC2 a2 b Dlg( a b)0解析 A 项，当 a1 且 b2 时，显然满足 a b，但不满足 a2 b2，故错误；B项，当 a1 且 b2 时，显然满足 a b，但 ，
12、故错误；C 项，由指数函数的单调ab 12性可知当 a b 时，2 a2 b，故正确；D 项，当 a1 且 b2 时，显然满足 a b，但lg(a b)lg 10，故错误故选 C2已知 ABC 的三边长分别为 a， b， c，且满足 b c3 a，则 的取值范围为( B )caA(1，) B(0,2)C(1,3) D(0,3)解析 由已知及三角形的三边关系得Error!Error!即Error!Error!两式相加，得 02 4， 的取值范围为(0,2)故选 Bca ca3下列命题中正确的是( C )A若 a b， c d，则 ac bdB若 ac bc，则 a bC若 ，则 a bac2 b
13、c2D若 a b， c d，则 a c b d解析 由不等式的性质知 C 项正确故选 C4已知 a， b， cR，那么下列命题中正确的是( C )=【; 精品教育资源文库 】=A若 a b，则 ac2 bc2B若 ，则 a bac bcC若 a3 b3且 ab0，则 1a 1bD若 a2 b2且 ab0，则 1a 1b解析 当 c0 时，可知 A 项不正确；当 c0 时，可知 B 项不正确；对于 C 项，由a3 b3且 ab0 知 a0 且 b0，所以 成立，C 项正确；当 a0 且 b0 时，可知 D 项1a 1b不正确易错点 忽视两个变量的相互制约关系错因分析：由两个不等式的范围求另一个式
14、子的范围时，宜采用待定系数法，否则会扩大所求范围【例 1】 已知 1 a b5，1 a b3，求 3a2 b 的取值范围解析 设 3a2 b m(a b) n(a b)( m n)a( m n)b，则有Error!解得Error!3 a2 b (a b) (a b)12 52 (a b) ， (a b) ，12 12 52 52 52 15223 a2 b10，即 3a2 b 的范围是2,10【跟踪训练 1】 已知函数 f(x) ax2 bx，且 1 f(1)2,2 f(1)4，求 f(2)的取值范围解析 f(1) a b， f(1) a b， f(2)4 a2 b.由题意得Error!设 m(a b) n(a b)4 a2 b，则Error!解得Error!故 f(2)3( a b)( a b)33( a b)6,2 a b4，53( a b)( a b)10，即 5 f(2)10， f(2)的取值范围是5,10课时达标 第 31 讲解密考纲主要考查不等式及其性质，以选择题或填空题的形式出现，位于选择题或填空题的中间位置，难度较易或中等一、
