1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考达标检测（五十四） 数系的扩充与复数的引入的命题 3 角度 一、选择题 1 (2017 山东高考 )已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 zi 1 i，则 z2 ( ) A 2i B 2i C 2 D 2 解析：选 A zi 1 i， z 1 ii 1i 1 1 i. z2 (1 i)2 1 i2 2i 2i. 2 (2018 沈阳质量监测 )已知 i 为虚数单位，则复数 21 i在复平面内所对应的点在( ) A第一象限 B第 二象限 C第三象限 D第四象限 解析：选 A 因为 21 i 1 i，其在复平面内对应的点 (1,1)在第一象限 3已知复数 z
2、 满足 z a i2 i a 为纯虚数，则 |z| ( ) A.12 B 2 C.37 D.13 解析：选 C z a a a a5 为纯虚数， 7a 15 0， a 25 0 ，解得 a 17， z 37 i， |z| 37. 4设复数 z 满足 (1 i)z 2i， i 为虚数单位，则 z ( ) A 1 i B 1 i C 1 i D 1 i 解析：选 B z 2i1 i i 1. 5已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 (1 i)z i，则 |z| ( ) A.12 B. 22 C 1 D. 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：选 B z i1 i 12 12i， |z| ?
3、? 12 2 ? ?12 2 22 . 6 (2018 遵义模拟 )复数 z 4i2 018 5i1 2i(其中 i 为虚数单位 )在复平面内对应的点在 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解析：选 C z 4i2 018 5i1 2i 4i 2 016i 2 4 5 6 i， 故 z 在复平面内对应的点在第三象限 7已知复数 z (cos isin )(1 i)，则 “ z 为纯虚数 ” 的一个充分不必要条件是 ( ) A 4 B 2 C 34 D 54 解析：选 C z (cos isin )(1 i) (cos sin ) (cos sin )i.z是纯虚数等价于?
4、cos sin 0，cos sin 0 ， 等价于 34 k ， k Z.故选 C. 8已知 t R， i 为虚数单位，复数 z1 3 4i， z2 t i，且 z1 z2是实数，则 t 等于( ) A. 34 B. 43 C 43 D 34 解析：选 D 因为 z1 3 4i， z2 t i， 所以 z1 z2 (3t 4) (4t 3)i， 又 z1 z2是实数，所以 4t 3 0，所以 t 34，故选 D. 二、填空题 9 (2017 天津高 考 )已知 a R， i 为虚数单位，若 a i2 i为实数，则 a 的值为 _ 解析：由 a i2 i a 2a 15 2 a5 i 是实数，得
5、 2 a5 0，所以 a=【 ;精品教育资源文库 】 = 2. 答案： 2 10定义运算 ? ?a cb d ad bc，复数 z 满足 ? ?z i1 i 1 i， z 为 z 的共轭复数，则 z _. 解析： 复数 z 满足 ? ?z i1 i zi i 1 i， z 1 2ii i 2 i， z 2 i. 答案： 2 i 11 (2017 江苏高考 )已知复数 z (1 i)(1 2i)，其中 i 是虚数单位，则 z 的模是_ 解析： 法一： 复数 z 1 2i i 2 1 3i， 则 |z| 2 32 10. 法二： |z| |1 i|1 2i| 2 5 10. 答案： 10 12 (
6、2018 山东实验中学诊断 )在复平面内，复数 21 i对应的点到直线 y x 1 的距离是 _ 解析：因为 21 i 1 i，所以复数 21 i对应的点为 (1,1)，点 (1,1)到直线 y x 1 的距离为 |1 1 1|12 2 22 . 答案： 22 三、解答题 13计算： (1) 1 i3 ； (2) 2 2 i ； (3) 1 i 2 1 i 2； (4) 1 3i3 2. 解： (1) 1 i3 3 i i 1 3i. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2) 2 2 i 3 4i 3 3i2 i i2 i5 1525i. (3) 1 i 2 1 i 2 1 i2i 1 i 2
7、i 1 i 2 1 i2 1. (4) 1 3i3 2 3 3 2 i3 i 34 14 34 i. 14已知复数 z x yi(x， y R)满足 z z (1 2i) z (1 2i) z 3，求复数 z 在复平面内对应的点 的轨迹 解： z x yi(x， y R)且 z z (1 2i) z (1 2i) z 3. x2 y2 (1 2i)(x yi) (1 2i)(x yi) 3， 即 x2 y2 x 2y yi 2xi x 2y yi 2xi 3， x2 y2 2x 4y 3 0， 即 (x 1)2 (y 2)2 8. 复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是以 ( 1， 2)为圆心，
8、以 2 2为半径的圆 1已知 t R，若复数 z 1 ti1 i (i 为虚数单位 )为纯虚数，则 | 3 ti| ( ) A 2 B 4 C 6 D 8 解析：选 A z 1 ti1 i t 1 t2 t 12 i 为纯虚数， 1 t2 0， t 12 0 ，解得 t 1. 则 | 3 ti| | 3 i| 3 2 12 2. 2 甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子 (它们的六个面分别标有数字 1,2,3,4,5,6)，设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为 x， y，则满足复数 x yi 的实部大于虚部的概率为 _ 解析： 试验发生所包含的事件是甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子， 所得点数分别为 x， y，得到复数 x yi 共有 36 个， 满足条件的事件是复数 x yi 的实部大于虚部， 当实部是 2 时，虚部是 1； 当实部是 3 时，虚部是 1,2； =【 ;精品教育资源文库 】 = 当实部是 4 时，虚部是 1,2,3； 当实部是 5 时，虚部是 1,2,3,4； 当实部是 6 时，虚部是 1,2,3,4,5， 共有 15 个， 故实部大于虚部的概率是 1536 512. 答案： 512
