1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标 第 24 讲 平面向量基本定理及坐标表示 解密考纲 本考点重点考查平面向量的基本定理、坐标表示及其运算，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等偏下 一、选择题 1若向量 AB (2,4)， AC (1,3)，则 BC ( B ) A (1,1) B ( 1， 1) C (3,7) D ( 3， 7) 解析 因为 AB (2,4)， AC (1,3)，所以 BC AC AB (1,3) (2,4) ( 1， 1)故选 B 2已知向量 m (a， 2)， n (1,1 a)，且 m n，则实数 a ( B ) A 1 B 2 或 1 C 2 D 2 解析
2、 因为 m n，所以 a(1 a) 2，即 a2 a 2 0，解得 a 1 或 a 2.故选 B 3在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 O(0,0)， A(0,1)， B(1， 2)， C(m,0)若 OB AC ，则实数 m 的值为 ( C ) A 2 B 12 C 12 D 2 解析 在平面直角坐标系 xOy 中，点 O(0,0)， A(0,1)， B(1， 2)， C(m,0)，所以 OB (1， 2)， AC (m， 1)又因为 OB AC ，所以 m1 1 2， m 12.故选 C 4已知点 O 是 ABC 的外接圆圆心，且 AB 3， AC 4.若存在非零实数 x， y，使得 A
3、O xAB yAC ，且 x 2y 1，则 cos BAC 的值为 ( A ) A 23 B 33 C 23 D 13 解析 设 M 为 AC 的中点，则 AO xAB yAC xAB 2yAM .因为 x 2y 1，所以 O， B， M三点共线又因为 O 是 ABC 的外接圆圆心，所以 BM AC，从而 cos BAC 23.故选 A 5如图，在 OAB 中， P 为线段 AB 上的一点， OP xOA yOB ，且 BP 2PA ，则 ( A ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A x 23， y 13 B x 13， y 23 C x 14， y 34 D x 34， y 14 解析
4、由题意知 OP OB BP ，又 BP 2PA ，所以 OP OB 23BA OB 23(OA OB ) 23OA 13OB ，所以 x 23， y 13. 6如图所示，在 ABC 中，点 M， N 分别在 AB， AC 上，且 AM 2MB ， AN 35AC ，线段 CM与 BN 相交于 点 P，且 AB a， AC b，则 AP 用 a 和 b 表示为 ( A ) A AP 49a 13b B AP 49a 23b C AP 29a 43b D AP 47a 37b 解析 由于 AM 23a， MB a3， AN 35b， NC 25b，则 MC AC AM b 23a， BN AN A
5、B 35b a.设 MP MC ? ?b 23a ， BP BN ? ?35b a ，由 MP BP MB ，得 ? ?b 23a ? ?35b a 13a，得? 35 ， 23 13，解得? 13， 59，因此 AP AB BP a 59?35b a 49a13b. 二、填空题 7已知向量 a (3,1)， b (1,3)， c (k,7)，若 (a c) b，则 k _5_. 解析 a (3,1)， b (1,3)， c (k,7)， a c (3 k， 6) (a c) b， 1( 6) 3(3 k)，解得 k 5. 8已知向量 a ( 1,1)， b ( 2,2)，若 (a b) (a
6、 b)，则 _0_. 解析 a b (2 3,3)， a b ( 1， 1)，且 (a b)( a b)， 2 3 1 3 1，=【 ;精品教育资源文库 】 = 0. 9已知向量 OA (3,4)， OB (6， 3)， OC (5 m， 3 m)，若点 A， B， C 能构成三角形，则实数 m 应满足的条件是 _m 710_. 解析 因为 AB OB OA (3， 7)， AC OC OA (2 m， 7 m)，点 A， B， C 能构成三角形，所以点 A， B， C 不共线，即 AB 与 AC 不共线，所以 3( 7 m) ( 7)(2 m)0 ，解得 m 710，故实数 m 应满足 m
7、710. 三、解答题 10已知 a (1,0)， b (2,1)求： (1)|a 3b|； (2)当 k 为何实数时， ka b 与 a 3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ 解析 (1) a (1,0)， b (2,1)， a 3b (7,3)故 |a 3b| 72 32 58. (2)ka b (k 2， 1)， a 3b (7,3) ka b 与 a 3b 平行， 3(k 2) 7 0，即 k 13. 此时 ka b (k 2， 1) ? ? 73， 1 ， a 3b (7,3)，则 a 3b 3(ka b)， 即此时向量 a 3b 与 ka b 方向相反 11在 OAB 的边 OA，
8、 OB 上分别取 M， N，使 |OM| |OA| 1 3， |ON| |OB| 1 4，设线段 AN 与 BM 的交点为 P， OA a， OB b，用 a， b 表示 OP . 解析 A， P， N 三点共线， OP OA (1 )ON a 14(1 )b. 又 M， P， B 三点共线， OP OM (1 )OB 13 a (1 )b. ? 13 ，14 1 ，解得? 311， 911，=【 ;精品教育资源文库 】 = OP 311a 211b. 12已知平面上三个点的坐标分别为 A( 2,1)， B( 1,3)， C(3,4)，求点 D 的坐标，使得 A， B， C， D 四点构成平行四边形 解析 设 D(x， y)，由 ABCD 为平行四边形得 AB DC ，即 (1,2) (3 x， 4 y)，可解得D(2,2)；由 ABDC 为平行四边形得 AB CD ，即 (1,2) (x 3， y 4)，可解得 D(4,6)；由 ADBC为平行 四边形得 AD CB ，即 (x 2， y 1) ( 4， 1)，可解得 D( 6,0)因此 A， B， C，D 四点构成平行四边形的 D 点坐标是 (2,2)或 (4,6)或 ( 6,0)
