1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 讲 平面向量的数量积及应用 板块四 模拟演练 提能增分 A 级 基础达标 1 2018 许昌模拟 设 x， y R，向量 a (x,1)， b (1， y)， c (2， 4)，且 a c，b c，则 |a b| ( ) A. 5 B. 10 C 2 5 D 10 答案 B 解析 由 a c，得 a c 2x 4 0，解得 x 2.由 b c，得 12 y 4，解得 y 2.所以a (2,1)， b (1， 2)， a b (3， 1)， |a b| 10.故选 B. 2 2015 广东高考 在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四
2、边形， AB(1， 2)， AD (2,1)，则 AD AC ( ) A 5 B 4 C 3 D 2 答案 A 解析 AC AB AD (1， 2) (2,1) (3， 1)，所以 AD AC (2,1)(3 ， 1) 23 1( 1) 5.故选 A. 3 2016 全国卷 已知向量 BA ? ?12， 32 ， BC ? ?32 ， 12 ，则 ABC ( ) A 30 B 45 C 60 D 120 答案 A 解析 cos ABC BA BC|BA| BC| 32 ，所以 ABC 30. 故选 A. 4已知 |a| 2|b|0 ，且关于 x 的方程 x2 |a|x a b 0 有实根，则
3、a 与 b 的夹角的取值范 围是 ( ) A.? ?0， 6 B.? ? 3 ， C.? ? 3 ， 23 D.? ? 6 ， 答案 B 解析 由于 |a| 2|b|0 ，且关于 x 的方程 x2 |a|x ab 0 有实根，则 |a|24a b0 ，即 ab 14|a|2.设向量 a 与 b 的夹角为 ，则 cos ab|a|b|14|a|212|a|2 12， =【 ;精品教育资源文库 】 = ? ? 3 ， .故选 B. 5在 ABC 中， C 90 ，且 CA CB 3，点 M 满足 BM 2AM，则 CM CA ( ) A 18 B 3 C 15 D 12 答案 A 解析 由题意可得
4、 ABC是等腰直角三角形， AB 3 2， AM BA，故 CM CA (CA AM) CA CA2 AM CA 9 (CA CB) CA 9 CA2 CB CA 9 9 0 18.故选 A. 6 2018 济宁模拟 平面四边形 ABCD 中， AB CD 0， (AB AD) AC 0，则四边形 ABCD是 ( ) A矩形 B正方形 C菱形 D梯形 答案 C 解析 因为 AB CD 0，所以 AB CD DC，所以四边形 ABCD 是平行四边形又 (ABAD) AC DB AC 0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形 ABCD 是菱形故选 C. 7 2018 重庆模拟 已知非零向量 a，
5、b 满足 |b| 4|a|，且 a (2a b)，则 a 与 b 的夹角为 ( ) A. 3 B. 2 C.23 D.56 答案 C 解析 a (2a b)， a(2 a b) 0， 2|a|2 a b 0， 即 2|a|2 |a|b|cos a， b 0. |b| 4|a|， 2|a|2 4|a|2cos a， b 0， cos a， b 12， a， b 23 .故选 C. 8 2018 南宁模拟 已知平面向量 ， ，且 | | 1， | | 2， ( 2 )，则|2 | _. 答案 10 解析 由 ( 2 )得 ( 2 ) 2 2 0，所以 12，所以(2 )2 4 2 2 4 41 2
6、 22 4 12 10，所以 |2 | 10. 9 2018 北京东城检测 已知平面向量 a (2,4)， b (1， 2)，若 c a (a b)b，则 |c| _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 8 2 解析 由题意可得 a b 21 4( 2) 6， c a (a b)b a 6b (2,4) 6(1， 2) (8， 8)， |c| 82 2 8 2. 10如图，在 ABC 中， AB 3， AC 2， D 是边 BC 的中点，则 AD BC _. 答案 52 解析 利用向量的加减法法则可知 AD BC 12(AB AC)( AB AC) 12( AB2 AC2) 52. B
7、级 知能提升 1 2018 石家庄模拟 在 ABC 中， AB 4， AC 3， AC BC 1，则 BC ( ) A. 3 B. 2 C 2 D 3 答案 D 解析 设 A ， 因为 BC AC AB， AB 4， AC 3， 所以 AC BC AC2 AC AB 9 AC AB 1. AC AB 8.cos AC AB|AC|AB| 834 23， 所以 BC 16 9 243 23 3.故选 D. 2在平面直角坐标系 xOy 中，已知 OA (3， 1)， OB (0,2)若 OC AB 0， AC OB，则实数 的值为 _ 答案 2 解析 由已知得 AB ( 3,3)，设 C(x， y
8、)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 OC AB 3x 3y 0，所以 x y. AC (x 3， y 1) 又 AC OB，即 (x 3， y 1) (0,2)， 所以? x 3 0，y 1 2 ， 由 x y 得， y 3，所以 2. 3 2018 东营模 拟 若两个非零向量 a， b 满足 |a b| |a b| 2|a|，则向量 a b与 a 的夹角为 _ 答案 3 解析 由 |a b| |a b|，得 a2 2a b b2 a2 2a b b2， 即 a b 0， 所以 (a b) a a2 a b |a|2. 故向量 a b 与 a 的夹角 的余弦值为 cos a b a|a
9、 b|a| |a|22|a|a|12. 又 0 ，所以 3. 4已知 a (1,2)， b (1,1)，且 a 与 a b 的夹角为锐角，求实数 的取值范围 解 a 与 a b 均为非零向量，且夹角为锐角， a( a b) 0， 即 (1,2)(1 ， 2 ) 0. (1 ) 2(2 ) 0. 53. 当 a 与 a b 共线时，存在实数 m，使 a b ma， 即 (1 ， 2 ) m(1,2)， ? 1 m，2 2m， 解得 0. 即当 0 时， a 与 a b 共线， 综上可知， 53且 0. 5 2017 全国卷 改编 已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内
10、一点，求 PA( PB PC)的最小值 解 解法一：设 BC 的中点为 D， AD 的中点为 E，则有 PB PC 2PD， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 PA( PB PC) 2PA PD 2(PE EA)( PE EA) 2(PE2 EA2) 而 AE2?322 34， 当 P 与 E 重合时， PE2有最小值 0，故此时 PA( PB PC)取最小值， 最小值为 2EA2 2 3432. 解法二：以 AB 所在直线为 x 轴， AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图， 则 A( 1,0)， B(1,0)， C(0， 3)，设 P(x， y)，取 BC 的中点 D，则 D ? ?12， 32 .PA( PB PC) 2PA PD 2( 1 x ， y) ? ?12 x， 32 y 2? ?x ? ?x 12 y ? ?y 32 2? ? ?x 14 2 ? ?y 34 2 34 . 因此，当 x 14， y 34 时， PA( PB PC)取得最小值，为 2 ? ? 34 32.
