1、1.2 空间向量基本定理一、知识梳理1空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b0),ab的充要条件是存在唯一的实数,使得ab(2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使pxayb(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组x,y,z,使得pxaybzc其中a,b,c叫做空间的一个基底二每日一练(一)、单选题1如图,在平行六面体中,点M是棱的中点,连结,交于点P,则( )A BCD2已知空间四边形中,点M在OA上,且,N为BC的中点,则等于( )ABC
2、D3在平行六面体中,若,则的值等于( )ABCD4如图,在四棱柱中,底面是平行四边形, ,则线段的长度是( ) A B10 C D5在正方体中,点为棱的中点,点为棱的中点,若,则( )ABCD6已知、是空间的一个基底,若,则、的值分别为( )A,1B,1,C1,D,17如图:在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若,则下列向量中与相等的向量是( )ABCD8已知向量,是空间的一个单位正交基底,向量,是空间的另一个基底,若向量在基底,下的坐标为,则在,下的坐标为( )A B CD(二)、多选题9设是空间一个基底,下列选项中正确的是( )A若,则B则两两共面,但不可
3、能共面C对空间任一向量,总存在有序实数组,使D则,一定能构成空间的一个基底10在以下命题中,不正确的命题有( )A是、共线的充要条件B若,则存在唯一的实数,使C对空间任意一点和不共线的三点、,若,则、四点共面D若为空间的一个基底,则构成空间的另一个基底11下列命题正确的是( )A已知,是两个不共线的向量.若,则,共面B若向量,则,与任何向量都不能构成空间的一个基底C若,则与向量共线的单位向最为D在三棱锥中,若侧棱OA,OB,OC两两垂直,则底面是锐角三角形12(多选)点A(n,n1,2n),B(1,n,n),则|的可能取值为( )A B C1 D2(三)、填空题13如图所示,在正方体中,点是侧
4、面的中心,若,求_14已知,且不共面,若,则_.15如图所示,已知在四面体中,点、分别是棱、的中点,若,其中、为实数,则的值为_16四棱锥的底面是平行四边形,若,则 _(四)、解答题17已知、为空间的9个点(如图所示),并且,求证:(1)、四点共面,、四点共面;(2)18如图,空间四边形的各边及对角线长都为2,E是的中点,F在上,且.(1)用表示;(2)求向量与向量所成角的余弦值.19在所有棱长均为2的三棱柱中,求证:(1);(2)平面.20已知平行六面体,设,;(1)试用、表示;(2)求的长度;21如图,在三棱锥中,G是的重心(三条中线的交点),P是空间任意一点.(1)用向量表示向量,并证明
5、你的结论;(2)设,请写出点P在的内部(不包括边界)的充分必要条件(不必给出证明).22在平行六面体中,分别为,的中点.(1)构成空间的一个基底,用它们表示,设,.(2)求与的夹角.参考答案1B,可得,点M是棱的中点,所以,所以.2B因为N为BC的中点,所以,因为,所以,所以,3A可知在平行六面体中,又,即,.4C因为,所以,所以,5A如图所示:,又因为,所以,所以,6D因为,所以,因为,所以,解得,7A,8C不妨设向量,;则向量,设,即,解得即在,下的坐标为9BCD由是空间一个基底,知:在A中,若,则与的夹角不一定是,故A错误;在B中,两两共面,但不可能共面,故B正确;在C中,根据空间向量的
6、基本定理可知C正确;在D中,因为不共面,假设,共面,设,化简得,可得共面,与已知矛盾,所以,不共面,可作为基底,故D正确.10ABC对于A选项,充分性:若,则、方向相反,且,充分性成立;必要性:若、共线且方向相同,则,即必要性不成立,所以,是、共线的充分不必要条件,A选项错误;对于B选项,若,则,但不存在实数,使得,B选项错误;对于C选项,对空间任意一点和不共线的三点、,若、四点共面,可设,其中、,则,可得,由于,此时,、四点不共面,C选项错误;对于D选项,假设、共面,可设,由于为空间的一个基底,可得,该方程组无解,假设不成立,所以,构成空间的另一个基底,D选项正确.11ABCD对于A,是两个
7、不共线的向量,不妨假设,共面则,即,可得,存在一对实数,使得,即假设成立,故A正确;对于B,向量,则,与任何向量都共面,所以,与任何向量都不能构成空间的一个基底,故B正确;对于C,所以,故C正确;对于D, OA,OB,OC两两垂直,所以与的夹角为锐角,即为锐角,同理,为锐角,是锐角三角形,故D正确.12BCD因为点A(n,n1,2n),B(1,n,n),所以(1n,12n,n),所以|2(1n)2(12n)2n2,当n时,|的最小值为所以|的可能取值有,1,2131,故,则14解:且,即,又不共面,则,.15连接,为的中点,又为的中点,因此,.16由,则 四棱锥的底面是平行四边形,即为平行四边
8、形,则 则 又所以,故17(1)证明见解析;(2)证明见解析.由,由共面向量的基本定理可得:为共面向量且有公共点为共面向量且有公共点所以、C、四点共面,、四点共面(2)因为,又,所以18(1);(2).(1)因为E是的中点,F在上,且,所以,于是.(2)由(1)得,因此,又因为,所以向量与向量所成角的余弦值为.19(1)证明见解析;(2)证明见解析.(1)依题意可知三角形是等边三角形,所以,则.所以.(2)依题意四边形为菱形,所以.因为,所以,又,所以平面.20(1);(2).解:(1)(2),设,;,的长度为21(1);证明见解析;(2),且.解析(1).证明如下:.(2)若,点P在的内部(不包括边界),的充分必要条件是:,且.22(1),;(2)(1)因为,所以,;(2)因为,所以,所以与的夹角为.