1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（六十一） 坐 标 系 1在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P? ?2， 4 ，圆心为直线 sin? ? 3 32 与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程 解：在 sin? ? 3 32 中，令 0，得 1，所以圆 C 的圆心坐标为 (1,0) 因为圆 C 经过点 P? ?2， 4 ， 所以圆 C 的半径 PC 2 2 12 21 2cos 4 1，于是圆 C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为 2cos . 2设 M， N 分别是曲线 2sin 0 和 sin? ? 4 22 上的动点，求 M， N 的最小距离 解：因为 M， N 分别是曲线 2si
2、n 0 和 sin? ? 4 22 上的动点，即 M， N分别是圆 x2 y2 2y 0 和直线 x y 1 0 上的动点，要求 M， N 两点间的最小距离，即在直线 x y 1 0 上找一点到圆 x2 y2 2y 0 的距离最小，即圆心 (0， 1)到直线 x y 1 0 的距离减去半径，故最小值为 |0 1 1|2 1 2 1. 3 (2018 扬州质检 )求经过极点 O(0,0)， A? ?6， 2 ， B? ?6 2， 94 三点的圆的极坐标方程 解：点 O， A， B 的直角坐标分别为 (0,0)， (0,6)， (6,6)， 故 OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形，圆心为
3、(3,3)，半径为 3 2， 圆的直角坐标方程为 (x 3)2 (y 3)2 18， 即 x2 y2 6x 6y 0， 将 x cos ， y sin 代入上述方程， 得 2 6 (cos sin ) 0， 即 6 2cos? ? 4 . 4 (2018 山西质检 )在极坐标系中，曲线 C 的方程为 2 31 2sin2 ，点 R? ?2 2， 4 . (1)以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程， R 点的极坐标化 为直角坐标； (2)设 P为曲线 C上一动点，以 PR为对角线的矩形 PQRS的一边垂直于极轴，求矩形 PQRS=【
4、;精品教育资源文库 】 = 周长的最小值，及此时 P 点的直角坐标 解： (1)曲线 C： 2 31 2sin2 ，即 2 2 2sin2 3，从而 2cos23 2sin2 1. x cos ， y sin ， 曲线 C 的直角坐标方程为 x23 y2 1， 点 R 的直角坐标为 R(2,2) (2)设 P( 3cos ， sin )， 根据题意可得 |PQ| 2 3cos ， |QR| 2 sin ， |PQ| |QR| 4 2sin? ? 3 ， 当 6 时， |PQ| |QR|取最小值 2， 矩形 PQRS 周长的最小值为 4， 此时点 P 的直角坐标为 ? ?32， 12 . 5 (
5、2018 南京模拟 )已知直线 l： sin? ? 4 4 和圆 C： 2kcos? ? 4 (k0) ，若直线 l 上的点到圆 C 上的点的最小距离等于 2.求实数 k 的值并求圆心 C 的直角坐标 解：圆 C 的极坐标方程可化为 2kcos 2ksin ， 即 2 2k cos 2k sin ， 所以圆 C 的直角坐标方程为 x2 y2 2kx 2ky 0， 即 ? ?x 22 k 2 ? ?y 22 k 2 k2， 所以圆心 C 的直角坐标为 ? ?22 k， 22 k . 直线 l 的极坐标方程可化为 sin 22 cos 22 4， 所以直线 l 的直角坐标方程为 x y 4 2 0
6、， 所以 ? ?22 k 22 k 4 22 |k| 2. 即 |k 4| 2 |k|， 两边平方，得 |k| 2k 3， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以? k 0，k 2k 3 或 ? k 0， k 2k 3， 解得 k 1，故圆心 C 的直角坐标为 ? ? 22 ， 22 . 6已知曲线 C 的极坐标方程是 sin2 8cos 0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系 xOy.在直角坐标系中，倾斜角为 的直线l 过点 (2,0) (1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； (2)设点 Q 和点 G 的极坐标分别为 ? ?2， 32
7、 ， (2， ) ，若直线 l 经过点 Q，且与曲线 C相交于 A， B 两点，求 GAB 的面积 解： (1)曲线 C 的极坐标方程化为 2sin2 8 cos 0，再化为直角坐标方程为 y2 8x. 直线 l 的参数方程为? x 2 tcos ，y tsin (t 为参数 ) (2)点 Q? ?2， 32 的直角坐标为 (0， 2) 因为直线 l 过点 P(2,0)和 Q(0， 2)， 所以直线 l 的倾斜角 4. 所以直线 l 的参数 方程为? x 2 22 t，y 22 t(t 为参数 ) 将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，得 ? ?22 t 2 8? ?2 22 t .
8、整理，得 t2 8 2t 32 0. ( 8 2)2 432 2560. 设 t1， t2为方程 t2 8 2t 32 0 的两个根， 则 t1 t2 8 2， t1 t2 32， 所以 |AB| |t1 t2| t1 t2 2 4t1 t2 256 16. 由极坐标与直角坐标互化公式得点 G 的直角坐标为 ( 2,0) 点 G 到直线 l 的距离为 d |PG|sin 45 4 22 2 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 S GAB 12 d| AB| 12162 2 16 2. 7 (2018 贵州联考 )已知在一个极坐标系中点 C 的极坐标为 ? ?2， 3 . (1)求出以
9、 C 为圆心，半径长为 2 的圆的极坐标方程 (写出解题过程 )； (2)在直角坐标系中，以圆 C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，点 P 是圆 C 上任意一点， Q(5， 3)， M 是线段 PQ 的中点，当点 P 在圆 C 上运动时，求点 M 的轨迹的普通方程 解： (1)如图，设圆 C 上任意一点 A( ， )，则 AOC 3 或 3 . 由余弦定理得， 4 2 4 cos? ? 3 4，所以圆 C 的极坐标方程为 4cos? ? 3 . (2)在直角坐标系中，点 C 的坐标为 (1， 3)，可设圆 C 上任意一点 P(1 2cos ， 3 2sin )，
10、 又令 M(x， y)，由 Q(5， 3)， M 是线段 PQ 的中点， 得点 M 的轨迹的参数方程为? x 6 2cos 2 ，y 2sin 2( 为参数 )， 即? x 3 cos ，y sin ( 为参数 )， 点 M 的轨迹的普通方程为 (x 3)2 y2 1. 8在平面直角坐标系中，曲线 C1的参数方程为? x 2cos ，y sin ( 为参数 )，以原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线 3 与曲线 C2交于点 D? ?2， 3 . (1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； (2)已知极坐标系中两点 A(
11、1， 0)， B? ? 2， 02 ，若 A， B 都在曲线 C1上，求1 21 1 22的值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解： (1) C1的参数方程为? x 2cos ，y sin ， C1的普通方程为 x24 y2 1. 由题意知曲线 C2的极坐标方程为 2acos (a 为半径 )， 将 D? ?2， 3 代入，得 2 2a 12， a 2， 圆 C2的圆心的直角坐标为 (2,0)，半径为 2， C2的直角坐标方程为 (x 2)2 y2 4. (2)曲线 C1的极坐标方程为 2cos24 2sin2 1， 即 2 44sin2 cos2 . 21 44sin20 cos20， 22 44sin2? ? 02 cos2?02 4sin20 4cos20. 1 21 1 22 4sin20 cos204 4cos2 0 sin2 04 54.
