1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（四十四） 双 曲 线 小题对点练 点点落实 对点练 (一 ) 双曲线的定义和标准方程 1若实数 k 满足 0 k 9，则曲线 x225y29 k 1 与曲线x225 ky29 1 的 ( ) A离心率相等 B虚半轴长相等 C实半轴长相等 D焦距相等 解析：选 D 由 00， b0)的右焦点为 F，点 B 是 虚轴的一个端点，线段 BF 与双曲线 C 的右支交于点 A，若 BA 2 AF ，且 | BF | 4，则双曲线 C 的方程为 ( ) A.x26y25 1 B.x28y212 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = C.x28y24 1 D.
2、x24y26 1 解析：选 D 不妨设 B(0， b)，由 BA 2 AF ， F(c,0)，可得 A? ?2c3 ， b3 ，代入双曲线 C的方程可得 49 c2a219 1， 即 49 a2 b2a2 109 ， b2a232， 又 | BF | b2 c2 4， c2 a2 b2， a2 2b2 16， 由 可得， a2 4， b2 6， 双曲线 C 的方程为 x24y26 1，故选 D. 5设双曲线 x24y23 1 的左、右焦点分别为 F1， F2，过点 F1的直线 l 交双曲线左支于 A，B 两点，则 |BF2| |AF2|的最小值为 ( ) A.192 B 11 C 12 D 1
3、6 解析：选 B 由题意，得? |AF2| |AF1| 2a 4，|BF2| |BF1| 2a 4， 所以 |BF2| |AF2| 8 |AF1| |BF1| 8 |AB|，显然，当 AB 垂直于 x 轴时其长度最短， |AB|min 2 b22 3，故 (|BF2| |AF2|)min 11. 6 (2018 河北武邑中学月考 )实轴长为 2，虚轴长为 4 的双曲线的标准方程为_ 解析： 2a 2,2b 4.当焦点在 x 轴时，双曲线的标准方程为 x2 y24 1；当焦点在 y 轴时，双曲线的标准方程为 y2 x24 1. 答案： x2 y24 1 或 y2 x24 1 7设 F1， F2分
4、别是双曲线 x2 y2b2 1 的左、右焦点， A 是双曲线上在第一象限内的点，若 |AF2| 2 且 F1AF2 45 ，延长 AF2交双曲线右支于点 B，则 F1AB 的面积等于 _ 解析：由题意可得 |AF2| 2， |AF1| 4，则 |AB| |AF2| |BF2| 2 |BF2| |BF1|.又 F1AF2 45 ，所以 ABF1是以 AF1为斜边的等腰直角三角形，则 |AB| |BF1| 2 2，所以其=【 ;精品教育资源文库 】 = 面积为 122 22 2 4. 答案： 44 对点练 (二 ) 双曲线的几何性质 1 (2018 广州模拟 )已知双曲线 C： x2a2y2b2
5、1(a0， b0)的渐近线方程为 y 2 x，则双曲线 C 的离心率为 ( ) A. 52 B. 5 C. 62 D. 6 解析：选 B 依题意知 ba 2， 双曲线 C 的离心率 e ca a2 b2a 1 ?ba2 5.故选 B. 2 (2018 安徽黄山模拟 )若圆 (x 3)2 y2 1 上只有一点到双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的一条渐近线的距离 为 1，则该双曲线的离心率为 ( ) A.3 55 B.3 34 C. 3 D. 5 解析：选 A 不妨取渐近线为 bx ay 0，由题意得圆心到渐近线 bx ay 0 的距离 d |3b|b2 a2 2，化简得 b 23c，
6、 b2 49c2， c2 95a2， e ca 3 55 ，故选 A. 3 (2018 湖北四地七校联考 )双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，直线 l 经过点 F1及虚轴的一个端点，且点 F2到直线 l 的距离等于实半轴的长，则双曲线的离心率为 ( ) A.1 52 B.3 54 C. 1 52 D. 3 52 解析：选 D 设虚轴的一个端点为 B，则 S F1BF2 12b2 c 12a b2 c2，即 b2 ca b2 c2， 4c2(c2 a2) a2( a2 2c2)， 4e4 6e2 1 0，解得 e2 3 54 ， e3 52 (舍负 )
7、故选 D. =【 ;精品教育资源文库 】 = 4设双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的右焦点是 F，左、右顶点分别是 A1， A2，过 F 作 A1A2的垂线与双曲线交于 B, C 两点若 A1B A2C，则该双曲线的渐近线的 斜率为 ( ) A 12 B 22 C 1 D 2 解析 ： 选 C 由题设易知 A1( a,0)， A2(a,0)， B? ?c， b2a ， C?c， b2a . A1B A2C， b2ac a b2ac a 1， 整理得 a b. 渐近线方 程为 y bax， 即 y x， 渐近线的斜率为1. 5 (2018 江西五市部分学校联考 )已知双曲线 x2a2
8、y2b2 1(a0， b0)的一个焦点为 (1,0)，若双曲线上存在点 P，使得 P 到 y 轴与到 x 轴的距离的比值为 2 2，则实数 a 的取值范围为( ) A.? ?0， 2 23 B.? ?0， 13 C.? ?0， 13 D.? ?0， 2 23 解析：选 D 法一：由双曲线的焦点为 (1,0)，可知 c 1.由双曲线上存在点 P，使得 P到 y轴与到 x轴的距离的比值为 2 2，可知 ba 12 2，所以 8b2a2，即 8(1 a2)a2，所以 0a2，可知 8b2a2，即 8(1 a2)a2，所以 00， b0)的两个焦点，若在双曲线上存在点 P 满足 2|PF1 PF2 |
9、 F1F2 |，则双曲线 C 的离心率的取值范围是 ( ) A (1， 2 B (1,2 C 2， ) D 2， ) 解析：选 D 设 O 为坐标原点，由 2|PF1 PF2 | F1F2 |，得 4| PO |2 c(2c 为双曲线=【 ;精品教育资源文库 】 = 的焦距 )， | PO | 12c，又由双曲线的性质可得 | PO | a，于是 a 12c， e2. 故选 D. 7过双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的左焦点 F1作斜率为 1 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 A， B，若 F1A AB ，则双曲线的渐近线方程为 _ 解析：由? y x c，y b
10、ax 得 xaca b，由 ? y x c，y bax， 解得 x acb a，不妨设 xA aca b， xB acb a， 由 F1A AB 可得 aca b c acb a aca b， 整理得 b 3a. 所以双曲线的渐近线方程为 3x y 0. 答案： 3x y 0 8 (2018 安徽池州模拟 )已知椭圆 x216y212 1 的右焦点 F 到双曲线 E：x2a2y2b2 1(a0，b0)的渐近线的距离小 于 3，则双曲线 E 的离心率的取值范围是 _ 解析：椭圆 x216y212 1 的右焦点 F 为 (2,0)， 不妨取双曲线 E： x2a2y2b2 1(a0， b0)的一条渐
11、近线为 bx ay 0， 则焦点 F 到渐近线 bx ay 0 的距离 d |2b|b2 a21， 10， b0)的右焦点为 F(c,0) (1)若双曲线的一条渐近线方程为 y x 且 c 2，求双曲线的方程； (2)以原点 O 为圆心， c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为 A，过 A 作圆的切线，斜率为 3，求双曲线的离心率 解： (1)因为双曲线的渐近线方程为 y bax，所以 a b， 所以 c2 a2 b2 2a2 4，所以 a2 b2 2， 所以双曲线方程为 x22y22 1. (2)设点 A 的坐标为 (x0， y0)， 所以直线 AO 的斜率满足 y0x0( 3) 1
12、， 所以 x0 3y0， 依题意，圆的方程为 x2 y2 c2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 将 代入圆的方程得 3y20 y20 c2，即 y0 12c， 所以 x0 32 c，所以点 A 的坐标为 ? ?32 c， 12c ， 代入双曲线方程得34c2a2 14c2b2 1， 即 34b2c2 14a2c2 a2b2， 又因为 a2 b2 c2， 所以将 b2 c2 a2代入 式，整理得 34c4 2a2c2 a4 0， 所以 3? ?ca 4 8? ?ca 2 4 0， 所以 (3e2 2)(e2 2) 0， 因为 e1，所以 e 2， 所以双曲线的离心率为 2. 3已知椭圆 C1
13、的方程为 x24 y2 1，双曲线 C2的左、右焦点分别是 C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点， O 为坐标原点 (1)求双曲线 C2的方程； (2)若直线 l： y kx 2与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A 和 B，且 OA OB 2，求k 的取值范围 解： (1)设双曲线 C2的 方程为 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)， 则 a2 4 1 3， c2 4，再由 a2 b2 c2，得 b2 1， 故双曲线 C2的方程为 x23 y2 1. (2)将 y kx 2代入 x23 y2 1， 得 (1 3k2)x2 6 2kx 9 0. 由直线 l 与双曲线
14、 C2交于不同的两点， 得 ? 1 3k20 ， 6 2k 2 1 3k2 k2 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = k2 1 且 k2 13. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1 x2 6 2k1 3k2， x1x2 91 3k2. x1x2 y1y2 x1x2 (kx1 2)(kx2 2) (k2 1)x1x2 2k(x1 x2) 2 3k2 73k2 1. 又 OA OB 2，即 x1x2 y1y2 2， 3k2 73k2 1 2，即 3k2 93k2 1 0，解得13 k2 3. 由 得 13 k2 1， 故 k 的取值范围为 ? ? 1， 33 ? ?33 ， 1 .
