1、抽象函数问题分类解析一、分类解析抽象函数问题 我们在学习一类函数时,往往会碰到没有给出解析式的函数,称为抽象函数,而这类问题往往抽象性强,灵活性大,同学们在学习时往往感觉到很困惑,让我们和同学们一起来解决这类问题问题一:灵活思考会求函数定义域 例1:函数的定义域为,则函数的定义域是 分析:这里需要把看作一个整体来求解解:因为相当于中的,则,则可以解得或评注:对于抽象函数的定义域问题,则一定要看清楚中的,或者说对于函数,则可以把其中的看作一个整体,问题就会迎刃而解问题二:条件赋值判断奇偶例2:已知的定义域为,且对于任意的实数、满足,求证:是偶函数分析:本题中可设、为具体的值,可确定=时具体的值,
2、再判断的奇偶性解:在中,令得到,则可以得到,令,得到,则得到,于是,则是偶函数评注:对于抽象函数的奇偶性,结合其特点,不妨取特殊值来解决问题三:利用图象判断单调性 例3:已知偶函数在上是减函数,问是在上是增函数还是减函数,并证明你的结论分析:本题可根据图形来结合该函数是偶函数且是减函数,画出函数的示意图,以形助数,使问题得到迅速地解决解:如图1,则容易知道是在上是增函数,证明如下:任取,因为是在上是减函数,所以,又是偶函数,所以,从而,故在上是增函数评注:往往有很多关于函数的奇偶性和单调性的问题,则可以通过数形结合来解决 图1问题四:巧妙求解函数值例4:已知的定义域为,且对一切正实数、都成立,
3、若,则 分析:本题可取特殊值代入即可解决问题解:在条件中,令,则得到,则得到,又令,则得到,所以评注:实际上可通过紧扣已知条件进行迭代变换,经过有限次的迭代,发现函数具有周期性,则可以利用周期性巧妙解答问题五:讨论方程根的问题 例5:已知函数对一切实数都满足,并且方程有三个实数根,则这三个实数根之和是 分析:求抽象函数的实数根的问题也是常见的题型,关键是抓住对称轴分析解决解:由知道直线是函数图象的对称轴,又方程有三个实根,则由对称性可以知道必定是方程的一个根,其余两个根、关于直线对称,所以=,故评注:寻找对称,从而确定根的特点,最终寻求到解决的方法与思路问题六:求解析式 例6:设函数存在反函数
4、,与的图象关于直线对称,则函数 分析:要求的解析式,实际上是求的图象上任意一点的横、纵坐标之间的关系解:图象上任意一点关于直线的对称点适合,即, 又,所以得到,即评注:问题转化是解决本题的关键 抽象函数比较抽象,但只要把握好问题的关键,则抽象函数就不抽象了 二、抽象函数-单调性、奇偶性与周期性相结合的经典习题1、已知奇函数的定义域为,且在区间内递减,求满足的实数的取值范围2、已知定义在上的奇函数满足,且在区间上是增函数。若方程在区间上有四个不同的根,则 3、已知为上的最小正周期为2的周期函数,当时,则函数的图像在区间上与轴的交点的个数为 ( )A6 B7 C8 D94、定义在上的函数满足,当时
5、,当时,则( )A335 B338 C1678 D20125、定义在上的函数满足:且,则的值为( )A B0 C1 D无法确定6、已知为上的偶函数,且对任意的,等式都成立,又当时,则( )A B C D7、定义在上的函数满足:,若,则 ( )A13 B2 C D8、定义在上的奇函数满足:,则的值为 ( )A B0 C1 D29、已知函数满足:,且是偶函数,当时,若在区间内,函数有4个零点,则实数的取值范围是( )A B C D10、设是定义在上的偶函数,对任意的,都有,且当时,若在区间内关于的方程,恰有3个不同的实数根,则实数的取值范围是()A B C D 习题答案:1、 2、-8 3、B 4、B 5、B 6、B 7、C 8、B 9、C 10、D