1、抽象函数问题分类解析一、分类解析抽象函数问题 我们在学习一类函数时，往往会碰到没有给出解析式的函数，称为抽象函数，而这类问题往往抽象性强，灵活性大，同学们在学习时往往感觉到很困惑，让我们和同学们一起来解决这类问题问题一：灵活思考会求函数定义域 例1：函数的定义域为，则函数的定义域是 分析：这里需要把看作一个整体来求解解：因为相当于中的，则，则可以解得或评注：对于抽象函数的定义域问题，则一定要看清楚中的，或者说对于函数，则可以把其中的看作一个整体，问题就会迎刃而解问题二：条件赋值判断奇偶例2：已知的定义域为，且对于任意的实数、满足，求证：是偶函数分析：本题中可设、为具体的值，可确定=时具体的值，
2、再判断的奇偶性解：在中，令得到，则可以得到，令，得到，则得到，于是，则是偶函数评注：对于抽象函数的奇偶性，结合其特点，不妨取特殊值来解决问题三：利用图象判断单调性 例3：已知偶函数在上是减函数，问是在上是增函数还是减函数，并证明你的结论分析：本题可根据图形来结合该函数是偶函数且是减函数，画出函数的示意图，以形助数，使问题得到迅速地解决解：如图1，则容易知道是在上是增函数，证明如下：任取，因为是在上是减函数，所以，又是偶函数，所以，从而，故在上是增函数评注：往往有很多关于函数的奇偶性和单调性的问题，则可以通过数形结合来解决 图1问题四：巧妙求解函数值例4：已知的定义域为，且对一切正实数、都成立，
3、若，则 分析：本题可取特殊值代入即可解决问题解：在条件中，令，则得到，则得到，又令，则得到，所以评注：实际上可通过紧扣已知条件进行迭代变换，经过有限次的迭代，发现函数具有周期性，则可以利用周期性巧妙解答问题五：讨论方程根的问题 例5：已知函数对一切实数都满足，并且方程有三个实数根，则这三个实数根之和是 分析：求抽象函数的实数根的问题也是常见的题型，关键是抓住对称轴分析解决解：由知道直线是函数图象的对称轴，又方程有三个实根，则由对称性可以知道必定是方程的一个根，其余两个根、关于直线对称，所以=，故评注：寻找对称，从而确定根的特点，最终寻求到解决的方法与思路问题六：求解析式 例6：设函数存在反函数
4、，与的图象关于直线对称，则函数 分析：要求的解析式，实际上是求的图象上任意一点的横、纵坐标之间的关系解：图象上任意一点关于直线的对称点适合，即， 又，所以得到，即评注：问题转化是解决本题的关键 抽象函数比较抽象，但只要把握好问题的关键，则抽象函数就不抽象了 二、抽象函数-单调性、奇偶性与周期性相结合的经典习题1、已知奇函数的定义域为，且在区间内递减，求满足的实数的取值范围2、已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数。若方程在区间上有四个不同的根，则 3、已知为上的最小正周期为2的周期函数，当时，则函数的图像在区间上与轴的交点的个数为 （ ）A6 B7 C8 D94、定义在上的函数满足，当时
5、，当时，则（ ）A335 B338 C1678 D20125、定义在上的函数满足：且，则的值为（ ）A B0 C1 D无法确定6、已知为上的偶函数，且对任意的，等式都成立，又当时，则（ ）A B C D7、定义在上的函数满足：，若，则 （ ）A13 B2 C D8、定义在上的奇函数满足：，则的值为 （ ）A B0 C1 D29、已知函数满足：，且是偶函数，当时，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）A B C D10、设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，若在区间内关于的方程，恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A B C D 习题答案：1、 2、-8 3、B 4、B 5、B 6、B 7、C 8、B 9、C 10、D
