1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 层级快练 (三十八 ) 1 设 an是首项为 a1， 公差为 1 的等差数列 ， Sn为其前 n 项和 ， 若 S1， S2， S4成等比数列 ，则 a1 ( ) A 2 B 2 C.12 D 12 答案 D 解析 S1 a1， S2 a1 a2 2a1 1， S4 4a1 6. S22 S1S4， (2a1 1)2 a1(4a1 6) 4a12 4a1 1 4a12 6a1?a1 12. 2 (2017 山西四校联考 )已知等比数列 an中 ， 各项都是正数 ， 且 a1， 12a3， 2a2成等差数列 ，则 a9 a10a7 a8 ( ) A 1 2 B
2、1 2 C 3 2 2 D 3 2 2 答案 C 解析 因为 a1， 12a3， 2a2成等差数列 ， 所以 12a3 2 a1 2a2， 即 a1q2 a1 2a1q， 所以 q2 1 2q， 解得 q 1 2或 q 1 2(舍 )， 所以 a9 a10a7 a8 a1q8（ 1 q）a1q6（ 1 q） q2 (1 2)2 32 2. 3 已知 an是等差数列 ， a1 15， S5 55， 则过点 P(3， a2)， Q(4， a4)的直线的斜率为 ( ) A 4 B.14 C 4 D 14 答案 C 解析 S5 5a1 542 d， 所以 515 10d 55， 即 d 2.所以 kP
3、Q a4 a24 3 2d 4. 4 (2016 四川 )某公司为激励创新 ， 计划逐年加大研发资金投入若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元 ， 在此基础上 ， 每年投入的研发资金比上一年增长 12%， 则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 (参考数据： lg1.12 0.05， lg1.3 0.11， lg2=【 ;精品教育资源文库 】 = 0.30) ( ) A 2018 年 B 2019 年 C 2020 年 D 2021 年 答案 B 解析 根据题意 ， 知每年投入的研发资金增长的百分率相同 ， 所以 ， 从 2015 年起 ， 每年投入的研发资金组
4、成一个等比 数列 an， 其中 ， 首项 a1 130， 公比 q 1 12% 1.12， 所以an 1301.12 n 1.由 1301.12 n 1200， 两边同时取对数 ， 得 n 1lg2 lg1.3lg1.12 ， 又lg2 lg1.3lg1.12 0.30 0.110.05 3.8， 则 n4.8， 即 a5开始超过 200， 所以 2019 年投入的研发资金开始超过 200 万元 ， 故选 B. 5 已知各项均不为 0 的等差数列 an， 满足 2a3 a72 2a11 0， 数列 bn是等比数 列 ， 且 b7 a7， 则 b6b8 ( ) A 2 B 4 C 8 D 16
5、答案 D 解析 因为 an为等差数列 ， 所以 a3 a11 2a7， 所以已知等式可化为 4a7 a72 0， 解得 a7 4 或 a7 0(舍去 )， 又 bn为等比数列 ， 所以 b6b8 b72 a72 16. 6 已知 an， bn均为等差数列 ， 且 a2 8， a6 16， b2 4， b6 a6， 则由 an， bn的公共项组成的新数列 cn的通项公式 cn ( ) A 3n 4 B 6n 2 C 6n 4 D 2n 2 答案 C 解析 设 an的公差为 d1， bn的公差为 d2， 则 d1 a6 a26 2 84 2， d2 b6 b26 2 124 3. an a2 (n
6、 2)2 2n 4， bn b2 (n 2)3 3n 2. 数列 an为 6， 8， 10， 12， 14， 16， 18， 20， 22， ? ， 数列 bn为 1， 4， 7， 10， 13， 16，19， 22， ? . cn是以 10 为首项 ， 以 6 为公差的等差数列 cn 10 (n 1)6 6n 4. 7 (2017 重庆巴蜀中学二诊 )中国古代数学名著九章算术中记载： “ 今有大夫、不更、簪袅、上造、公士凡五人 ， 共猎得五鹿 ， 欲以爵次分之 ， 问各得几何？ ” 意思是：今有大夫、=【 ;精品教育资源文库 】 = 不更、簪袅、上造、公士凡五人 ， 他们共猎儿五只鹿 ， 欲
7、按其爵级高低依次递减相同的量来分配 ， 问各得多少若五只鹿的鹿肉共 500 斤 ， 则不更、簪袅、上造这三人共分得鹿肉斤数为 ( ) A 200 B 300 C.5003 D 400 答案 B 解析 由题意可知五人分得的鹿肉斤数成等差数列 ， 记为 a1， a2， a3， a4， a5， 则 a1 a2 a3 a4 a5 500.由等差数列的性质可得 5a3 500， 即 a3 100， 所以 a2 a3 a4 3a3 300. 8 (2017 河南洛阳期末 )已知等差数列 an的公差和首项都不等于 0， 且 a2， a4， a8成等比数列，则 a1 a5 a9a2 a3 ( ) A 2 B
8、3 C 5 D 6 答案 B 解析 a 2， a4， a8 成等比数列 ， a42 a2a8， 即 (a1 3d)2 (a1 d)(a1 7d)， a1 d， a1 a5 a9a2 a3 3a1 12d2a1 3d 3.故选 B. 9 (2017 衡水中学调研卷 )在 1 到 104之间所有形如 2n与形如 3n(n N*)的数 ， 它们各自之和的差的绝对值为 (lg2 0.301 0)( ) A 1 631 B 6 542 C 15 340 D 17 424 答案 B 解析 由 2nb2 B a3b5 D a6b6 答案 A 解析 设等差数列的公差、等比数列的公比分别为 d， q， 则由题意
9、得?4 3d 1，4q3 1， 解得=【 ;精品教育资源文库 】 = ?d 1，q3 14，则 a2 b2 3 3 163 3 27 0；故选 A. 11 数列 an是等差数列 ， 若 a1， a3， a4是等比数列 bn中的连续三项 ， 则数列 bn的公比为_ 答案 12或 1 解析 设数列 an的公差为 d， 由题可知 ， a32 a1 a4， 可得 (a1 2d)2 a1(a1 3d)， 整理得(a1 4d)d 0， 解得 d 0 或 a1 4d.当 d 0 时 ， 等比数列 bn的公比为 1；当 a1 4d时 ， a1， a3， a4分别为 4d， 2d， d， 所以等比数列 bn的公
10、比为 12. 12 (2017 广东潮州期末 )从盛满 2 升纯酒精的容器里倒出 1 升纯酒精 ， 然后填满水 ， 再倒出 1 升混合溶液后又用水填满 ， 以此继续下去 ， 则至少应倒 _次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于 10%. 答案 4 解析 设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为 1， 操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比a1 12， 设操作 n 次后 ， 纯 酒精体积与总溶液体积之比为 an， 则 an 1 an 12， an a1qn 1(12)n， (12)n0， n N*. (1)若 a2， a3， a2 a3成等差数列 ， 求数列 an的通项公式； (2)设双曲线 x2
11、y2an2 1 的离心率为 en， 且 e2 2， 求 e12 e22 ? en2. 答案 (1)an 2n 1(n N*) (2)n 12(3n 1) 解析 (1)由已知 Sn 1 qSn 1， 得 Sn 2 qSn 1 1， 两式相减得到 an 2 qan 1， n 1. 又由 S2 qS1 1 得到 a2 qa1， 故 an 1 qan对所有 n1 都成立 所以数列 an是 首项为 1， 公比为 q 的等比数列 从而 an qn 1. 由 a2， a3， a2 a3成等差数列 ， 可得 2a3 a2 a2 a3， 所以 a3 2a2， 故 q 2， 所以 an 2n 1(n N*) (2
12、)由 (1)可知 ， an qn 1. 所以双曲 线 x2 y2an2 1 的离心率 en 1 an2 1 q2（ n 1） . 由 e2 1 q2 2 解得 q 3. 所以 e12 e22 ? en2 (1 1) (1 q2) ? 1 q2(n 1) n 1 q2 ? q2(n 1) n q2n 1q2 1 n 12(3n 1) 15 (2018 衡水中学调研卷 )若某地区 2015 年人口总数为 45 万 ， 实施 “ 放开二胎 ” 新政策后专家 估计人口总数将发生如下变化：从 2016 年开始到 2025 年每年人口比上年增加 0.5万人 ， 从 2026 年开始到 2035 年每年人口
13、为上一年的 99%. (1)求实施新政策后第 n 年的人口总数 an的表达式 (注： 2016 年为第一年 )； (2)若新政策实施后的 2016 年到 2035 年人口平均值超过 49 万 ， 则需调整政策 ， 否则继续实施 ， 问到 2035 年后是否需要调整政策？ (说明： 0.9910 (1 0.01)10 0.9) 答案 (1)?0.5n 45， 1 n 1050 0.99n 10， 11 n 20 (2)不需要 解析 (1)由题意知 ， 当 n10 时 ， 数列 an是以 45.5 为首项 ， 0.5 为公差的等差数列 ， 所=【 ;精品教育资源文库 】 = 以 an 45.5 (
14、n 1)0.5 0.5n 45. 当 11n20 时 ， 数列 an是公比为 0.99 的等比数列 ， 而 a11 500.99 ， 所以 an 50 0.99n 10. 所 以 新 政 策 实 施 后 第 n 年 的 人 口 总 数 an( 单位：万 ) 的 表 达 式 为 an ?0.5n 45， 1 n 10，50 0.99n 10， 11 n 20. (2)设 Sn为数列 an的前 n 项和 ， 则从 2016 年到 2035 年共 20 年 ， 由等差数列及等比数列的求和公式得 S20 S10 (a11 a12 ? a20) 477.5 4 950(1 0.9910)972.5( 万
15、 )， 所以新政策实施到 2035 年人口均值为 S2020 48.630. 因为 S3 9， 所以 a1 a2 a3 3a2 9， 即 a2 3. 因为 2a1， a3 1， a4 1 构成等比数列 ， 所以 (2 d)2 2(3 d)(4 2d)， 所以 d 2.所以 an a2 (n 2)d 2n 1. (2)证明：因为 anbn 2n 1(n N*)， 所以 bn 2n 12n 1 (2n 1)(12)n 1， 所以 Tn 1( 12)0 3( 12)1 ? (2n 1)( 12)n 1， 所以 12Tn 1( 12)1 3( 12)2 ? (2n 3)( 12)n 1 (2n 1)(
16、 12)n， 由 两式相减得 12Tn 1 2(12)1 2( 12)2 ? 2( 12)n 1 (2n 1)( 12)n 11（ 12） n 11 12 2n 12n 312n 22n 12n ， 整理化简得 Tn 62n 32n 1 .又因为 n N*， 所以 Tn 62n 32n 1 0， 可知 q0)的图像在点 (ak， ak2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为 ak 1(k N*)， 若 a1 16， 则 a1 a3 a5 _ 答案 21 解析 由题意 ， 得函数 y x2(x0)的图像在点 (ak， ak2)处的切线方程是 y ak2 2ak(x ak)令y 0， 得 x 12ak， 即 ak 1 12ak， 因此数列 ak是以
