1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 单元评估检测 (四 ) 第 4 章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 (120 分钟 150 分 ) 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1已知复数 z 1 2i2 i(i 为虚数单位 )，则 z 的虚部为 ( ) A 1 B 0 C 1 D i 答案 C 2若 z 4 3i，则z|z| ( ) A 1 B 1 C.45 35I D 45 35i 答案 D 3若复数 z 满足 (1 i)z 2，则 z 的虚部为 ( ) A 1 B i C I D 1 答案 A 4复数 z 3
2、i2 i 的共扼复数是 ( ) 【导学号： 79140414】 A 2 I B 2 i C 1 I D 1 i 答案 D 5已知向量 a (2,4)， b ( 1,1)，则 2a b ( ) A (5,7) B (5,9) C (3,7) D (3,9) 答案 D 6复数 z1 3 i， z2 1 i，则 z z1 z2在复平面内的对应点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 D 7设向量 a， b 满足 |a b| 10， |a b| 6，则 a b ( ) A 1 B 2 C 3 D 5 答案 A 8设复数 z1 2sin icos ? ? 4 2 在复平面上对
3、应向量 OZ1 ，将 OZ1 按顺时针方向旋转 34 后得到向量 OZ2 ， OZ2 对应的复数为 z2 x yi(x， y R)，则 yx ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.2tan 12tan 1 B 2tan 12tan 1 C. 12tan 1 D 12tan 1 答案 A 9与向量 a (3,4)同方向的单位向量为 b，又向量 c ( 5,5)，则 b c ( ) A ( 3,4) B (3， 4) C 1 D 1 答案 C 10如图 41，在平行四边形 ABCD 中， O 是对角线 AC 与 BD 的交点， N 是线段 OD 的中点，AN 的延长线与 CD 交于点 E，
4、则下列说法错误的是 ( ) 图 41 A.AC AB AD B.BD AD AB C.AO 12AB 12AD D.AE 53AB AD 答案 D 11复数 z1， z2在复平面内对应的点关于直线 y x 对称 ，且 z1 3 2i，则 z2 ( ) A 3 2i B 2 3i C 3 2i D 2 3i 答案 D 12已知向量 a (1， m)， b (3， 2)，且 (a b) b，则 m ( ) A 8 B 6 C 6 D 8 答案 D 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确答案填在题中横线上 ) 13已知正方形 ABCD 的边长为 2， E 为 CD 的
5、中点，则 AE BD _. 答案 2 14平面向量 a (1,2)， b (4,2)， c ma b(m R)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m _. 答案 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 15已知两个单位向量 a， b 的夹角为 60 ， c ta (1 t)b，若 b c 0，则 t _. 答案 2 16对于复数 z1， z2，若 (z1 i)z2 1，则称 z1 是 z2 的 “ 错位共轭 ” 复数，则复数 32 12i的 “ 错位共轭 ” 复数为 _. 【导学号： 79140415】 答案 32 32i 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分解答时应
6、写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17 (本小题满分 10 分 )已知 A( 1,0)， B(0,2)， C( 3,1)， AB AD 5， |AD | 10. (1)求 D 点坐标； (2)若 D 点在第二象限，用 AB ， AD 表示 AC ； (3)AE (m,2)，若 3AB AC 与 AE 垂直，求 AE 的坐标 解 (1)D(2,1)或 D( 2,3) (2)AC AB AD . (3)AE ( 14,2) 18 (本小题满分 12 分 )如图 42，在 ABC 中， D 是 BC 的中点， E， F 是 AD 上两个三等分点，BA CA 4， BF CF 1，求 BE
7、CE 的值 . 【导学号： 79140416】 图 42 解 78. 19 (本小题满分 12 分 )已知复数 z 1 i， z2 3z 6z 1 . (1)求复数 ； (2)设复数 在复平面内对应的向量为 OA ，把向量 (0,1)按照逆时针方向旋转 到=【 ;精品教育资源文库 】 = 向量 OA 的位置，求 的最小值 解 (1)1 i. (2)54. 20 (本小题满分 12 分 )在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c. 已知向量 m ? ?2cosA2， sinA2 ， n ? ?cosA2， 2sinA2 ， m n 1. (1)求 cos A 的值； (2
8、)若 a 2 3， b 2，求 c 的值 解 (1) 12. (2)2. 21 (本小题满分 12 分 )在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知向量 m (cos A， cos B)， n (a,2c b)，且 m n. 【导学号： 79140417】 (1)求角 A 的大小； (2)若 a 4，求 ABC 面积的最大值 解 (1)因为 m n， 所以 acos B (2c b)cos A 0， 由正弦定理得 sin Acos B (2sin C sin B)cos A 0， 所以 sin Acos B sin Bcos A 2sin Ccos A， 所以 si
9、n(A B) 2sin Ccos A， 因为 A B C ， 所以 sin C 2sin Ccos A， 因为 0 C ， 所以 sin C 0， 所以 cos A 12， 因为 0 A ， 所以 A 3. (2)由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccos A， 所以 16 b2 c2 bc2 bc bc bc， 因此 bc16 ， 当且仅当 b c 4 时，等号成立； 因此 ABC 的面积 S 12bcsin A4 3， =【 ;精品教育资源文库 】 = 因此 ABC 面积的最大值为 4 3. 22 (本小题满分 12 分 )已知平面上的两个向量 OA ， OB 满足 |OA | a， |
10、OB | b，且 OA OB ，a2 b2 4.向量 OP xOA yOB (x， y R)，且 a2? ?x 12 2 b2? ?y 12 2 1. (1)如果点 M 为线段 AB 的中点，求证： MP ? ?x 12 OA ? ?y 12 OB ； (2)求 |OP |的最大值，并求出此时四边形 OAPB 面积的最大值 解 (1)因为点 M 为线段 AB 的中点， 所以 OM 12(OA OB ) 所以 MP OP OM (xOA yOB ) 12(OA OB ) ? ?x 12 OA ? ?y 12 OB . (2)设点 M 为线段 AB 的中点，则由 OA OB ，知 |MA | |M
11、B | |MO | 12|AB | 1. 又由 (1)及 a2? ?x 122 b2? ?y 122 1， 得 |MP |2 |OP OM |2 ? ?x 122OA 2 ? ?y 122OB 2 a2? ?x 122 b2? ?y 122 1. 所以 |MP | |MA | |MB | |MO | 12|AB | 1，所以 P， O， A， B 四点都在以 M 为圆心， 1为半径的圆上所以当且仅当 OP 是直径时， |OP |max 2，这时四边形 OAPB 为矩形，则 S 四边形 OAPB |OA | OB | ab a2 b22 2，当且仅当 a b 2时，四边形 OAPB 的面积最大，最大值为 2.
