1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 21.2 相互独立事件、 n 次独立重复试验的模型及二项分布 五年高考 考点一 相互独立事件 1.(2015课标 改编 ,4,5分 )投篮测试中 ,每人投 3次 ,至少投中 2次才能通过测试 .已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立 ,则该同学通过测试的概率为 . 答案 0.648 2.(2015湖南 ,18,12分 )某商场举行有奖促销活动 ,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖 .每次抽奖都是从装有4个红球、 6个白球的甲箱和装有 5个红球、 5个白球的乙箱中 ,各随机摸出 1个球 .在摸出的 2个球中 ,若都是红球 ,则获一等奖
2、;若只有 1个红球 ,则获二等奖 ;若没有红球 ,则不获奖 . (1)求顾客抽奖 1次能获奖的概率 ; (2)若某顾客有 3次抽奖机会 ,记该顾客在 3次抽奖中获一等奖的次数为 X,求 X的分布列和数学期望 . 解析 (1)记事件 A1=从甲箱中摸出的 1个球是红球 , A2=从乙箱中摸出的 1个球是红球 , B1=顾客抽奖 1次获一等奖 , B2=顾客抽奖 1次获二等奖 , C=顾客抽奖 1次能获奖 . 由题意 ,得 A1与 A2相互独立 ,A1 与 A2互斥 ,B1与 B2互斥 ,且 B1=A1A2,B2=A1 + A2,C=B1+B2. 因为 P(A1)= = ,P(A2)= = , 所
3、以 P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)= = , P(B2)=P(A1 + A2)=P(A1 )+P( A2) =P(A1)P( )+P( )P(A2) =P(A1)1-P(A2)+1-P(A1)P(A2) = + = . 故所求概率为 P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)= + = . (2)顾客抽奖 3次可视为 3次独立重复试验 ,由 (1)知 ,顾客抽奖 1次获一等奖的概率为 ,所以 XB . 于是 P(X=0)= = , P(X=1)= = , P(X=2)= = , =【 ;精品教育资源文库 】 = P(X=3)= = . 故 X的分布列为 X 0 1 2
4、 3 P X的数学期望为 E(X)=3 = . 3.(2014山东 ,18,12分 )乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分 ,如图 ,甲上有两个不相交的区域 A,B,乙被划分为两个不相交的区域 C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球 .规定 :回球一次 ,落点在 C上记3分 ,在 D上记 1分 ,其他情况记 0分 .对落点在 A上的来球 ,队员小明回球的落点在 C上的概率为 ,在 D上的概率为 ;对落 点在 B上的来球 ,小明回球的落点在 C上的概率为 ,在 D上的概率为 .假设共有两次来球且落在 A,B上各一次 ,小明的两次回球互不影响 .求 : (1)小明两次回球的落点中恰有
5、一次的落点在乙上的概率 ; (2)两次回球结束后 ,小明得分之和 的分布列与数学期望 . 解析 (1)记 Ai为事件 “ 小明对落点在 A上的来球回球的得分为 i分 ”(i=0,1,3), 则 P(A3)= ,P(A1)= ,P(A0)=1- - = ; 记 Bi为事件 “ 小明对落点在 B上的来球回球的得分为 i 分 ”(i=0,1,3), 则 P(B3)= ,P(B1)= ,P(B0)=1- - = . 记 D为事件 “ 小明两次回球的落点中恰有 1次的落点在乙上 ”. 由题意得 ,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3, 由事件的独立性和互斥性 ,得 P(D)=P(A3B0+A1B0
6、+A0B1+A0B3) =P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3) =P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3) = + + + = , 所以小明两次回球的落点中恰有 1次的落点在乙上的概率为 . (2)随机变量 可能的取值 为 0,1,2,3,4,6, 由事件的独立性和互斥性 ,得 P(=0)=P(A 0B0)= = , =【 ;精品教育资源文库 】 = P(=1)=P(A 1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)= + = , P(=2)=P(A 1B1)= = , P(=3)=P(A 3B0+A0B3)=P(A3
7、B0)+P(A0B3)= + = , P(=4)=P(A 3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)= + = , P(=6)=P(A 3B3)= = . 可得随机变量 的分布列为 0 1 2 3 4 6 P 所以数学期望 E=0 +1 +2 +3 +4 +6 = . 4.(2014大纲全国 ,20,12分 )设每个工作日甲、乙、丙、丁 4人需使用某种设备的概率分别为 0.6、 0.5、0.5、 0.4,各人是否需使用设备相互独立 . (1)求同一工作日至少 3人需使用设备的概率 ; (2)X表示同一工作日需使用设备的人数 ,求 X的数学期望 . 解析 记 Ai表示事件 :同一工作日乙
8、、丙中恰有 i人需使用设备 ,i=0,1,2, B表示事件 :甲需使用设备 , C表示事件 :丁需使用设备 , D表示事件 :同一工作日至少 3人需使用设备 . (1)D=A1BC+A 2B+A 2 C, P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)= 0.5 2,i=0,1,2,(3分 ) 所以 P(D)=P(A1BC+A 2B+A 2 C) =P(A1BC)+P(A 2B)+P(A 2 C) =P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P( )P(C) =0.31.(6分 ) (2)X的可能取值为 0,1,2,3,4,则 P(X=0)=P( A 0 ) =P( )P(A0
9、)P( ) =(1-0.6)0.5 2(1 -0.4) =0.06, =【 ;精品教育资源文库 】 = P(X=1)=P(BA 0 + A 0C+ A 1 ) =P(B)P(A0)P( )+P( )P(A0)P(C)+P( )P(A1)P( ) =0.60.5 2(1 -0.4)+(1-0.6)0.5 20.4+(1 -0.6)20.5 2(1 -0.4)=0.25, P(X=4)=P(A2BC)=P(A 2)P(B)P(C)=0.520.60.4=0.06, P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25, P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4) =1-0.
10、06-0.25-0.25-0.06=0.38,(10分 ) 数学期望 EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0.25+20.38+30.25+40.06=2.(12分 ) 教师用书专用 (5) 5.(2013陕西理 ,19,12分 )在一场娱乐晚会上 ,有 5位民间歌手 (1 至 5号 )登台演唱 ,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手 .各位观众须彼此独立地在选票上选 3名歌手 ,其中观众甲是 1号歌手的歌迷 ,他必选 1号 ,不选2号 ,另在 3至 5号中随机选 2名 .观众乙和丙对 5位歌手的演唱没有偏爱 ,因此在 1至 5号中随机选 3名
11、歌手 . (1)求观众甲选中 3号歌手且观众乙未选中 3号歌手的概率 ; (2)X表示 3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和 ,求 X的分布列及数学期望 . 解析 (1)设 A表示事件 “ 观众甲选中 3号歌手 ”,B 表示事件 “ 观众乙选中 3号歌手 ”, 则 P(A)= = ,P(B)= = . 事件 A与 B相互独立 , 观众甲选中 3号歌手且观众乙未选中 3号歌手的概率为 P(A )=P(A)P( ) =P(A)1 -P(B) = = . (2)设 C表示事件 “ 观众丙选中 3号歌手 ”, 则 P(C)= = , X 可能的取值为 0,1,2,3,且取这些值的概率分别为 P(X=0
12、)=P( )= = , P(X=1)=P(A )+P( B )+P( C) = + + = , P(X=2)=P(AB )+P(A C)+P( BC) = + + = , =【 ;精品教育资源文库 】 = P(X=3)=P(ABC)= = , X 的分布列为 X 0 1 2 3 P X 的数学期望 EX=0 +1 +2 +3 = = . 考点二 n次独立重复试验的模型及二项分布 1.(2016四川理 ,12,5分 )同时抛掷两枚质地均匀的硬币 ,当至少有一枚硬币正面向上时 ,就说这次试验成功 ,则在 2次试验中成功次数 X的均值是 . 答案 2.(2015广东 ,13,5 分 )已知随机变量
13、X服从二项分布 B(n,p).若 E(X)=30,D(X)=20,则 p= . 答案 3.(2014陕西 ,19,12分 )在一块耕地上种植一种作物 ,每季种植成本为 1 000元 ,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性 ,且互不影响 ,其具体情况如下表 : 作物产量(kg) 300 500 概 率 0.5 0.5 作物市场价格 (元/kg) 6 10 概 率 0.4 0.6 (1)设 X表示在这块地上种植 1季此作物的利润 ,求 X的分布列 ; (2)若在这块地上连续 3季种植此作物 ,求这 3季中至少有 2季的利润 不少于 2 000元的概率 . 解析 (1)设 A表示事件 “ 作
14、物产量为 300 kg”,B 表示事件 “ 作物市场价格为 6元 /kg”, 由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4, 利润 =产量 市场价格 -成本 , X 所有可能的取值为 50010 -1 000=4 000,5006 -1 000=2 000, 30010 -1 000=2 000,3006 -1 000=800. P(X=4 000)=P( )P( )=(1-0.5)(1 -0.4)=0.3, P(X=2 000)=P( )P(B)+P(A)P( )=(1-0.5)0.4+0.5(1 -0.4)=0.5, P(X=800)=P(A)P(B)=0.50.4=0.2, 所以 X的分布
15、列为 X 4 000 2 000 800 P 0.3 0.5 0.2 (2)设 Ci表示 事件 “ 第 i季利润不少于 2 000元 ”(i=1,2,3), 由题意知 C1,C2,C3相互独立 ,由 (1)知 , P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3), 3季的利润均不少于 2 000 元的 概率为 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512; =【 ;精品教育资源文库 】 = 3季中有 2季利润不少于 2 000元的概率为 P( C2C3)+P(C1 C3)+P(C1C2 )=30.8 20.2=0.38
16、4, 所以 ,这 3季中至少有 2季的利润不少于 2 000元的概 率为 0.512+0.384=0.896. 教师用书专用 (4) 4.(2014四川 ,17,12分 )一款击鼓小游戏的规则如下 :每盘游戏都需击鼓三次 ,每次击鼓要么出现一次音乐 ,要么不出现音乐 ;每盘游戏击鼓三次后 ,出现一次音乐获得 10 分 ,出现两次音乐获得 20 分 ,出现三次音乐获得 100 分 ,没有出现音乐则扣除 200分 (即获得 -200分 ).设每次击鼓出现音乐的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立 . (1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X的分布列 ; (2)玩三盘游戏 ,至少有一盘出现音乐的概率
17、是多少 ? (3)玩过这款游戏 的许多人都发现 ,若干盘游戏后 ,与最初的分数相比 ,分数没有增加反而减少了 .请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因 . 解析 (1)X可能的取值为 10,20,100,-200. 根据题意 ,有 P(X=10)= = , P(X=20)= = , P(X=100)= = , P(X=-200)= = . 所以 X的分布列为 X 10 20 100 -200 P (2)设 “ 第 i盘游戏没有出现音乐 ” 为事件 Ai(i=1,2,3), 则 P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)= . 所以 ,“ 三盘游戏中至少有一次出现音乐 ” 的概率为 1-P(A1A2A3)=1- =1- = . 因此
