1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层训练 (十四 ) 导数与函数的单调性 A 组 基础达标 一、选择题 1函数 f(x) ex x 的单调递增区间是 ( ) A ( ， 1 B 1， ) C ( ， 0 D 0， ) D f(x) ex x， f( x) ex 1，令 f( x)0 ，得 ex 10 ，即 x0 ，故 f(x)的单调递增区间是 0， ) 2已知函数 f(x) 12x3 ax 4，则 “ a 0” 是 “ f(x)在 R 上单调递增 ” 的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 A f( x) 32x2 a，当 a0 时， f( x
2、)0 恒成立，故 “ a 0” 是 “ f(x)在 R 上单调递增 ” 的充分不必要条件 3若幂函数 f(x)的图像过点 ? ?22 ， 12 ，则函数 g(x) exf(x)的单调递减区间为 ( ) 【导学号： 79140078】 A ( ， 0) B ( ， 2) C ( 2， 1) D ( 2,0) D 设幂函数 f(x) x ，因为图像 过点 ? ?22 ， 12 ，所以 12 ? ?22， 2，所以 f(x) x2，故 g(x) exx2，令 g( x) exx2 2exx ex(x2 2x) 0，得 2 x 0，故函数g(x)的单调递减区间为 ( 2,0) 4已知函数 y f(x)
3、的图像是下列四个图像之一，且其导函数 y f( x)的图 像如图 2112所示，则该函数的图像是 ( ) 图 2112 =【 ;精品教育资源文库 】 = B 由 y f( x)的图像知， y f(x)在 1,1上为增函数，且在区间 1,0)上增长速度越来越快，而在区间 (0,1上增长速度越来越慢 5 (2017 安徽二模 )已知 f(x) ln xx ，则 ( ) A f(2) f(e) f(3) B f(3) f(e) f(2) C f(3) f(2) f(e) D f(e) f(3) f(2) D f(x)的定义域是 (0， ) ， f( x) 1 ln xx2 ，令 f( x) 0，得
4、x e. 所以当 x(0 ， e)时， f( x) 0， f(x)单调递增，当 x(e ， ) 时， f( x) 0，f(x)单调递减，故 x e 时， f(x)max f(e) 1e，而 f(2) ln 22 ln 86 ， f(3) ln 33 ln 96 ，所以 f(e) f(3) f(2)，故选 D. 二、填空题 6函数 f(x) (x 3)ex的单调递增区间为 _ (2， ) 函数 f(x) (x 3)ex的导数为 f( x) (x 3)ex ex (x 3)ex(x 2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当 f( x) 0 时，函数 f(x)单调递增，此时由不等式 f( x)
5、(x 2)ex 0，解得 x 2. 7已知函数 f(x) ax ln x，则当 a 0 时， f(x)的单调递增区间是 _，单调递减区间是 _ ?0， 1a ? 1a， 由已知得 f(x)的定义域为 (0， ) ；当 a 0时，因为 f( x) a 1xa? ?x 1ax ，所以当 x 1a时， f( x)0 ，当 0 x1a时， f( x) 0，所以f(x)的单调递增区间为 ? ?0， 1a ，单调递减区间为 ? ? 1a， . =【 ;精品教育资源文库 】 = 8若函数 f(x) 13x3 12x2 2ax 在 ? ?23， 上存在单调递增区间，则 a 的取值范围是_. 【导学号： 791
6、40079】 ? 19， 对 f(x)求导，得 f( x) x2 x 2a?x 122 14 2a. 当 x ? ?23， 时， f( x)的最大值为 f ? ?23 29 2a. 令 29 2a 0，解得 a 19， 所以 a 的取值范围是 ? ? 19， . 三、解答题 9已知函数 f(x) x4 ax ln x 32，其中 a R，且曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线垂直于直线 y 12x. (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间 解 (1)对 f(x)求导得 f( x) 14 ax2 1x， 由 f(x)在点 (1， f(1)处的切线垂直于直线 y 12x
7、，得 f(1 ) 34 a 2，解得a 54. (2)由 (1)知 f(x) x4 54x ln x 32，则 f( x) x2 4x 54x2 ，令 f( x) 0，解得 x 1 或 x 5. 因 x 1 不在 f(x)的定义域 (0， ) 内，故舍去 当 x(0,5) 时， f( x) 0，故 f(x)在 (0,5)内为减函数；当 x(5 ， ) 时， f( x) 0，故 f(x)在 (5， ) 内为增函数 所以 f(x)的单调 减区间为 (0,5)，单调增区间为 (5， ) 10 (2017 河南新乡第一次调研 )已知函数 f(x) ex x2 2ax. (1)若 a 1，求曲线 y f
8、(x)在点 (1， f(1)处的切线方程； (2)若 f(x)在 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围 解 (1) f( x) ex 2x 2， f(1) e， 又 f(1) e 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所求切线方程为 y (e 1) e(x 1)，即 ex y 1 0. (2)f( x) ex 2x 2a， f(x)在 R 上单调递增， f( x)0 在 R 上恒成立， a x ex2在 R 上恒成立，令 g(x) xex2， 则 g( x) 1 ex2，令 g( x) 0，则 x ln 2， 在 ( ， ln 2)上， g( x) 0；在 (ln 2， ) 上， g( x
9、) 0， g(x)在 ( ， ln 2)上单调递增，在 (ln 2， ) 上单调递减， g(x)max g(ln 2) ln 2 1， aln 2 1， 实数 a 的取值范围为 ln 2 1， ) B 组 能力提升 11函数 f(x)在定义域 R 内可导，若 f(x) f(2 x)，且当 x( ， 1)时， (x 1)f( x) 0，设 a f(0)， b f? ?12 ， c f(3)，则 ( ) A a b c B c b a C c a b D b c a C 依题意得，当 x 1 时， f( x) 0， f(x)为增函数； 又 f(3) f( 1)，且 1 0 12 1， 因此有 f(
10、 1) f(0) f? ?12 ， 即有 f(3) f(0) f? ?12 ， c a b. 12 (2017 安徽江淮十校第三次联考 )设函数 f(x) 12x2 9ln x 在区间 a 1， a 1上单调递减，则实数 a 的取值范围是 ( ) A 1 a2 B a4 C a2 D 0 a3 A 易知函数 f(x)的定义域为 (0， ) ， f( x) x 9x，由 f( x) x 9x 0，解得 0 x 3.因为函数 f(x) 12x2 9ln x 在区间 a 1， a 1上单调递减，所以? a 1 0，a 13 ， 解得 1 a2 ，选 A. 13若函数 f(x) 2x3 3mx2 6x
11、 在区间 (2， ) 上为增函数，则实数 m 的取值范围为=【 ;精品教育资源文库 】 = _. 【导学号： 79140080】 ? ， 52 f( x) 6x2 6mx 6， 当 x(2 ， ) 时， f( x)0 恒成立， 即 x2 mx 10 恒成立， m x 1x恒成立 令 g(x) x 1x， g( x) 1 1x2， 当 x 2 时， g( x) 0，即 g(x)在 (2， ) 上单调递增， m2 12 52. 14已知函数 f(x) x2 aln x. (1)当 a 2 时，求函数 f(x)的单调递减区间； (2)若函数 g(x) f(x) 2x在 1， ) 上单调，求实数 a
12、的取值范围 解 (1)由题意知 ，函数的定义域为 (0， ) ，当 a 2 时， f( x) 2x 2x2(x 1)(x 1)x ，由 f( x) 0 得 0 x 1，故 f(x)的单调递减区间是 (0,1) (2)由题意得 g( x) 2x ax 2x2，函数 g(x)在 1， ) 上是单调函数 若 g(x)为 1， ) 上的单调增函数，则 g( x)0 在 1， ) 上恒成立，即 a 2x2x2在 1， ) 上恒成立，设 (x) 2x 2x2， (x)在 1， ) 上单调递减， (x)max (1) 0， a0. 若 g(x)为 1， ) 上的单调减函数，则 g( x)0 在 1， ) 上恒成立，不可能 实数 a 的取值范围为 0， )
