1、第15单元 算法、推理证明与复数第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复平面内，复数(为虚数单位)，则复数对应的点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】C【解析】，故选C2某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为（ ）A5B6C7D8【答案】D【解析】由题意得，这种树的从第一年的分枝数分别是1，1，2，3，5，则，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第6年树的分枝数是，故选D3定义，则（ ）ABCD【答案】B【解析】，同理，周期为，故选B4观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（ ）
2、ABCD【答案】A【解析】由所给图形的规律看出，空心的矩形、三角形、圆形都是一个，实心的图形应均为两个，空白处应填实心的矩形，故选A5已知复数，则复数的虚部为（ ）ABCD【答案】D【解析】，复数的虚部为，故选D6对任意非零实数，若的运算原理如右图程序框图所示，则的值是（ ）A0BCD9【答案】C【解析】根据程序框图知，故选C7关于复数，下列说法中正确的是（ ）A在复平面内复数对应的点在第一象限B复数的共轭复数C若复数为纯虚数，则D设，为复数的实部和虚部，则点在以原点为圆心，半径为1的圆上【答案】C【解析】由题意可知，若为纯虚数，则，故选C8已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（
3、 ）ABC2D1【答案】B【解析】设每次循环所得到的的值构成数列，由框图可，所以an的取值具有周期性，且周期为T3又由框图可知输出的，故选B9已知，观察以上等式，若(，均为实数)，则（ ）A76B77C78D79【答案】D【解析】观察以上等式，类比出等式，当时，可得，所以，所以故选D10阅读如图所示的程序框图，若输入，则输出的值是（ ）A9B10C11D12【答案】C【解析】当时，若，则输出的值是11，故选C11网络工作者经常用网络蛇形图来解释网络的运作模式，如图所示，数字1出现在第一行;数字2，3出现在第二行;数字6，5，4(从左至右)出现在第三行;数字7，8，9，10出现在第四行;以此类推
4、，则按网络运作顺序第63行从左到右的第2个数字(如第2行第1个数字为2，第3行第1个数字为4，)是（ ）A2014B2015C2016D2017【答案】B【解析】网络蛇形图中每一行的第一个数1，2，4，7，11，按原来的顺序构成数列，易知，且，第63行的第一个数字为，而偶数行的顺序为从左到右，奇数行的顺序为从右到左，第63行从左到右的第2个数字就是从右到左的第62个数字，这个数为故选B12如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列的前12项(即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项)，按如此规律下去，则（ ）A1008B1009C2017
5、D2018【答案】B【解析】观察点的坐标，写出数列的前12项：1，1，2，2，3，4，3，5，6可提炼出规律，偶数项的值等于其序号的一半，奇数项的值有正负之分，且，故选B第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13若复数与都是纯虚数，则_【答案】或【解析】由已知可设，则，或，当时，；当时，14若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是_【答案】5【解析】，；，；，；，；，输出515我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示的为刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是有相同的小正方形构成，小正方形越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图案包含个小正方形，则的表达式为 【答案】
6、【解析】我们考虑，归纳得出，16在计算“”时，某位数学教师采用了以下方法：构造等式：，以此类推得：，相加得类比上述计算方法，可以得到 【答案】【解析】构造等式：，相加得三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）设复数，若实数，满足，其中为的共轭复数求实数，的值【答案】或【解析】由，可知，代入得，即，解得或18（12分）如图，已知单位圆与轴正半轴交于点，当圆上一动点从出发沿逆时针旋转一周回到点后停止运动设扫过的扇形对应的圆心角为，当时，设圆心到直线的距离为，与的函数关系式是如图所示的程序框图中的两个关系式（1）写出程序框图中处的函数关系式；（2）
7、若输出的值为，求点的坐标【答案】（1）的式子分别为，；（2）当时，此时点的坐标为；当时，此时点的坐标为【解析】（1）当时，；当时，；综上可知，函数解析式为，所以框图中处应填充的式子分别为，（2）若输出的值为，则时，得，此时点的坐标为；当时，得，此时点的坐标为19（12分）已知函数（1）证明：函数的图象关于点对称；（2）求【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）函数的定义域为，在函数的图象上任取一点，它关于点的对称点为则，函数图象上任意一点关于点的对称点仍在函数的图象上即函数的图象关于点对称（2）由（1）得，；20（12分）已知数列满足:，数列满足：（1）求数列、的通项公式；（2）证明：数列中
8、的任意三项不可能成等差数列【答案】（1），；（2）见解析【解析】（1）由题意可知，令，则，又，则数列是首项为，公比为的等比数列，即，故，又，故，（2）反证法：假设数列存在三项，按某种顺序成等差数列，由于数列是首项为，公比为的等比数列，于是有，则只能有成立，两边同乘以，化简得由于，上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾21（12分）下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为（1）求出，；（2）找出与的关系，并求出的表达式；（3）求证【答案】（1），；（2），；（3）见解析【解析】（1）由题意有：，（2）由题意及（1）知，即（3），所以对于任意，
9、原不等式成立22（12分）将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：已知数表中每一行的第一个数，构成一个等差数列，记为，且，数表中每一行正中间一个数，构成数列，其前项和为（1）求数列的通项公式；（2）若数表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数且，求数列的前项和；（3）在满足（2）的条件下，记，若集合的元素个数为3，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）设数列的公差为，则解得，所以（2）设每一行组成的等比数列的公比为，由于前行共有个数，且，又，所以，解得因此所以，所以，即（3）由（1）知，不等式，可化为设，计算得，因为，所以当时，因为集合的元素的个数为，所以的取值范围是5
