1、第7单元 数列第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1=12，S5=90，则等差数列an公差d=（ ）A2BC3D4【答案】C【解析】a1=12，S5=90，解得d=3，故选C2在正项等比数列中，已知，则的值为（ ）ABCD1【答案】D【解析】由题意，正项等比数列中，且，可得，又因为，所以，则，故选D3在等差数列中，则（ ）A72B60C48D36【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知：，故本题选B4中国古代数学名著张丘建算经中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”其大意：现有一匹马
2、行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7天，共走了700里，则这匹马第7天所走的路程等于（ ）A里B里C里D里【答案】A【解析】设马每天所走的路程是，是公比为的等比数列，这些项的和为700，故答案为A5已知等差数列的前项和有最大值，且，则满足的最大正整数的值为（ ）A6B7C10D12【答案】C【解析】设等差数列的公差为，因为等差数列的前项和有最大值，所以，又，所以，且，所以，所以满足的最大正整数的值为106已知等差数列的公差不为零，为其前项和，且，构成等比数列，则（ ）A15BC30D25【答案】D【解析】设等差数列的公差为，由题意，解得故选D7在等差数列中，是方程的两根
3、，则数列的前11项和等于（ ）A66B132CD【答案】D【解析】因为，是方程的两根，所以，又，所以，故选D8我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前15项和为（ ）A110B114C124D125【答案】B【解析】由题意，次二项式系数对应的杨辉三角形的第行，令，可得二项展开式的二项式系数的和，其中第1行为，第2行为，第3行为，以此类推，即每一行的数字之和构成首项为1，公比为2的对边数列，则杨辉三
4、角形中前行的数字之和为，若除去所有为1的项，则剩下的每一行的数字的个数为，可以看成构成一个首项为1，公差为2的等差数列，则，令，解得，所以前15项的和表示前7行的数列之和，减去所有的1，即，即前15项的数字之和为114，故选B9已知数列的前项和为，满足，则通项公式等于（ ）ABCD【答案】C【解析】当时，当且时，则，即，数列是以为首项，为公比的等比数列，本题正确选项C10已知数列满足，且，则（ ）ABCD【答案】B【解析】利用排除法，因为，当时，排除A；当时，B符合题意；当时，排除C；当时，排除D，故选B11已知数列：，那么数列前项和为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意可知：，本题正确选项
5、B12已知数列满足递推关系：，则（ ）ABCD【答案】C【解析】，数列是等差数列，首项为2，公差为1，则故选C第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知等比数列满足，且，则_【答案】8【解析】，则，故答案为814若三数成等比数列，其积为8，首末两数之和为4，则公比q的值为_【答案】1【解析】三数成等比数列，设公比为，可设三数为，可得，求出，公比的值为115在数列中，猜想数列的通项公式为_【答案】【解析】由，可得，猜想数列的通项公式为，本题正确结果16已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为_【答案】2【解析】正项等比数列满足，整理得，又，解得，存在两项，使得，整理得，则的最
6、小值为2，当且仅当取等号，但此时，又，所以只有当，时，取得最小值是2故答案为2三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知等差数列的公差不为0，且成等比数列（1）求的通项公式；（2）求【答案】（1）；（2）【解析】（1）成等比数列，即，化简得，公差，（2）由（1）知，故是首项为4、公差为2的等差数列，所以18（12分）已知公差不为零的等差数列满足，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）若，且数列的前项和为，求证：【答案】（1）；（2）见详解【解析】（1）设等差数列的公差为()，由题意得，则，化简得，解得，所以（2）证明：，所以19（12
7、分）已知数列的前项和为且（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，当时，两式相减可得，即，整理可得，解得，所以数列为首项为，公比为的等比数列，（2）由题意可得：，所以，两式相减可得，20（12分）已知数列满足，（1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和，求证：【答案】（1）证明见解析，；（2）见解析【解析】（1）由，得，即，且，数列是以为首项，为公比的等比数列，数列的通项公式为（2）由（1）得：，又，即21（12分）已知等差数列的前项和为，且是与的等差中项（1）求的通项公式；（2）设数列满足，求的前项和【答案】（1）；（2）【解析】（1）由条件，得，即，所以an的通项公式是（2）由（1）知，（1）当（k=1，2，3，）即n为奇数时，；（2）当（k=1，2，3，）：即n为偶数时，综上所述，22（12分）设正项数列的前n项和为，已知（1）求证：数列是等差数列，并求其通项公式；（2）设数列的前n项和为，且，若对任意都成立，求实数的取值范围【答案】（1）见证明，；（2）【解析】（1）证明：，且，当时，解得当时，有，即，即于是，即，为常数，数列是为首项，为公差的等差数列，（2）由（1）可得，即对任意都成立，当为偶数时，恒成立，令，在上为增函数，；当为奇数时，恒成立，又，在为增函数，由可知：，综上所述的取值范围为5
