1、专题09 菱形知识网络重难突破一. 菱形的性质1菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2菱形的性质菱形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自己特有的性质，如下： 菱形的四条边都相等；（AB=BC=CD=AD）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（ACBD，AC是DAB和DCB的角平分线，BD是ADC和CBA的角平分线）对称性：菱形是一个轴对称图形，它有两条对称轴.（对称轴是它的两条对角线所在的直线（AC，BD）典例1（2017秋丹东期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），对角线PM与ON交于点B，则点B的坐标为_典例2（2018春沙坪
2、坝区期末）如图，菱形ABCD中，对角线BD与AC交于点O，BD8cm，AC6cm，过点O作OHCB于点H，则OH的长为（）A5cmBcmCcmDcm典例3（2018秋锦州期末）如图，在菱形ABCD中，BAD120，CEAD，且CEBC，连接BE交对角线AC于点F，则EFC_典例4（2018春阜平县期末）如图，菱形ABCD的周长为40cm，对角线AC、BD相交于点O，DEAB，垂足为E，DE：AB4：5，则下列结论：DE8cm；BE4cm；BD45cm；AC8cm；S菱形ABCD80cm，正确的有（）ABCD典例5（2018春渝中区校级期末）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、BC边的中点
3、，EPCD于点P，BAD110，则FPC的度数是（）A35B45C50D55典例6（2018春松北区期末）如图，菱形ABCD，B60，AB4，点E为BC中点，点F在菱形ABCD的边上，连接EF，若EF2，则的值为_典例7（2018春兰陵县期末）在菱形ABCD中，ABC60，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CFAE，连接BE、EF（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BEEF（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由二. 菱形的判定菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互
4、相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形.典例1（2018春玄武区期末）如图，E、F分别为ABC的边BC、AB的中点，延长EF至点D，使得DFEF，连接DA、DB、AE（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）若ABAC，求证：四边形AEBD是菱形典例2（2018春内乡县期末）如图，在等边三角形ABC中，BC6cm，射线AGBC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，试判定四边形AFCE的形状并说明理由；（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形三. 菱形的
5、性质与判定1在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形2菱形的判定方法有两种，有两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，还有一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.3菱形的面积由两种计算方法：平行四边形的面积公式：底高；两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.拓展：任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.4菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 典例1（2018春丹东期末）平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD2AD，E、F、G分别是OC、OD
6、，AB的中点下列结论：EGEF； EFGGBE； FB平分EFG；EA平分GEF；四边形BEFG是菱形其中正确的是_典例2（2018春滁州期末）在ABC中，ABC90，BD为AC边上的中线，过点C作CEBD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FGBD，连接BG，DF（1）求证：BDDF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG5，CF，求四边形BDFG的周长典例3（2018春抚顺期末）如图，在ABC中，ABAC，AD平分BAC交BC于点D，在线段AD上任到一点P（点A除外），过点P作EFAB，分别交AC、BC于点E、F，作PQAC，交AB于点Q，连接Q
7、E与AD相交于点G（1）求证：四边形AQPE是菱形（2）四边形EQBF是平行四边形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由（3）直接写出P点在EF的何处位置时，菱形AQPE的面积为四边形EQBF面积的一半巩固练习1（2018春海淀区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是（）A（0，5）B（0，6）C（0，7）D（0，8）2（2018春柘城县期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC8cm，BD6cm，DHAB于点H，且DH与AC交于点G，AGcm，则GH的长为（）AcmBcmCcmDcm3（2018春南京期
8、末）如图，在菱形ABCD中，A60，点E、F分别为AD、DC上的动点，EBF60，点E从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度（）A逐渐增加B逐渐减小C保持不变且与EF的长度相等D保持不变且与AB的长度相等4（2018春安国市期末）如图，点O是AC的中点，将面积为4cm2的菱形ABCD沿对角线AC方向平移AO长度得到菱形OBCD，则图中阴影部分的面积是（）A1cm2B2cm2C3cm2D4cm25（2018春永康市期末）如图，F是菱形ABCD的边AD的中点，AC与BF相交于E，EGAB于G，已知12，则下列结论：AEBE；BFAD；AC2BF；CEBF+BG其中正确的结论是（）ABCD6（2
9、018春房山区期末）如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形小米的作法是：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形则小米的依据是_7（2018春嘉兴期末）如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，A60，连结DF，则DF的长为_8（2018春天津期末）如图（1），在菱形ABCD中，E、F分别是边CB，DC上的点，BEAF60，（1）求证：BAECEF；（2）如图（2），若点E，F分别移动到边CB，DC的延长线上，其余条件不变，请猜想BAE与CEF的大小关系，并给予证明9（2018春遵义期末）如图，已知点P为ACB平分线上的一点，ACB60，PDCA于D，PECB于E点M是线段CP上的动点（不与两端点C、P重合），连接DM，EM（1）求证：DMME；（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由10（2018春怀远县期末）如图，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF（1）求证：BAFDAF，AFDCFE；（2）若ABCD，试证明：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得EFDBCD，并说理由
